二、填空题(每小题8分,共24分)6.定义在R上的偶函数f(x),对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有
f(x1)−f(x2)x1−x2
<0,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为 .
7.若f(x)是偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是 .
8.函数f(x)是定义在R上的奇函数,且它是减函数,若实数a,b满足f(a)+f(b)>0,则a+b 0(填“>”“<”或“=”). 三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.
10.(2013·唐山高一检测)已知定义在R上的函数f(x)=x2+ax+b的图象经过原点,且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立. (1)求实数a,b的值.
(2)若函数g(x)是定义在R上的奇函数,且满足当x≥0时,g(x)=f(x),试求g(x)的解析式.
11.(能力挑战题)已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2. 若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,求m-n的值.
答案解析
1.【解析】选A.偶函数图象关于y轴对称,在[-2,-1]上有最大值,那么该函数在[1,2]上也有最大值.
2.【解析】选D.令F(x)=f(x)+4=ax3+bx,显然F(x)=ax3+bx为奇函
数,F(-2)=f(-2)+4=6,F(2)=f(2)+4=-6,故f(2)=-10. 3.【解析】选D.设x<0,则-x>0,f(-x)=x2+|x|-1, ∵f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=x2+|x|-1,f(x)=-x2-|x|+1.
533
4.【解析】选C.a2+2a+2=(a+1)2+2≥2,f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上335是减函数,所以f(-2)=f(2)≥f(a2+2a+2).
【变式备选】若函数f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且在[-6,0]上单调递减,则( )
A.f(3)+f(4)>0 B.f(-3)-f(-2)<0 C.f(-2)+f(-5)<5 D.f(4)-f(-1)>0
【解析】选D.f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,则f(4)=f(-4).又f(x)在[-6,0]上单调递减,-4<-1,所以f(-4)>f(-1),故f(4)-f(-1)>0. 5.【解析】选C.∵p(x),g(x)都是奇函数, ∴f(x)-2=ap(x)+bg(x)为奇函数. 又f(x)在(0,+∞)上有最大值5, ∴f(x)-2在(0,+∞)上有最大值3, ∴f(x)-2在(-∞,0)上有最小值-3, ∴f(x)在(-∞,0)上有最小值-1.
1)−f(x2)6.【解析】由已知f(xx<0,得f(x)在x∈[0,+∞)上单调递减,由偶1−x2
函数性质得f(3)【拓展提升】判断f(x1)-f(x2)符号时的常见形式(1)[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,则f(x1)-f(x2)与x1-x2同号.
1)−f(x2)
(2)f(xx>0,则f(x1)-f(x2)与x1-x2同号. 1−x2
7.【解析】偶函数的图象关于y轴对称,先作出f(x)的图象,如图所示,
由图可知f(x)<0的解集为 {x|-18.【解题指南】根据f(x)的奇偶性和单调性,将f(a)+f(b)>0,化为关于a,b的关系式,求解可得答案. 【解析】f(a)+f(b)>0,∴f(a)>-f(b). 又f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(a)>f(-b),又∵f(x)为减函数, ∴a<-b,∴a+b<0. 答案:<9.【解析】由f(m)+f(m-1)>0, 得f(m)>-f(m-1),即f(m)>f(-m+1).
又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[-2,2]上为奇函数,∴f(x)在[-2,2]上为减函数.
−1≤m≤3,−2≤−m+1≤2,
∴{−2≤m≤2,即{−2≤1m≤2,
m<2,−m+1>m,
1
得-1≤m<2. 10.【解析】(1)∵函数图象经过原点,∴b=0, 又因为对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立. ∴f(x)的对称轴为x=1, ∴a=-2.
(2)当x≥0时,g(x)=f(x)=x2-2x, 当x<0时,-x>0,g(-x)=(-x)2-2(-x) =x2+2x,
∵g(x)为奇函数,∴g(-x)=-g(x), ∴g(x)=-x2-2x,
x2−2x,x≥0,∴g(x)={2
−x−2x,x<0.
11.【解题指南】可由x<0时的解析式求出x∈[-3,-1]上的最大值和最小值,再根据函数为奇函数,确定出函数在x∈[1,3]的最小值和最大值,从而求m-n的值. 【解析】∵x<0时,f(x)=x2+3x+2
321
=(x+2)-4,
∴当x∈[-3,-1]时,
31f(x)min=f(-2)=-4,f(x)max=f(-3)=2.
∵函数为奇函数,
1
∴函数在x∈[1,3]上的最小值和最大值分别是-2,4, 1∴m为4,n为-2. 19∴m-n=4-(-2)=4. 9即m-n的值为4.
