2020版高考数学大一轮复习-5.1平面向量的概念及线性运算教案(文)(含解析)新人教A版

最新考纲 考情考向分析 主要考查平面向量的线性1.了解向量的实际背景． 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3.理解向量的几何表示． 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现.

1

1．向量的有关概念

名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 (共线向量) 相等向量 相反向量 2.向量的线性运算

向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律： 定义 具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 长度为0的向量；其方向不确定 长度等于1个单位的向量 备注 平面向量是自由向量 记作0 非零向量a的单位向量为±a |a|共线向量的方向相同或相反 同向且等长的有向线段 长度相等且方向相反的向量 0与任一向量平行或共线 两向量只有相等或不等，不能比较大小 0的相反向量为0 a＋b＝b＋a； 向量的加法 求两个向量和的运算 (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋ c) 2

求a与b的相反向量向量的减法 －b的和的运算叫做a－b＝a＋(－b) a与b的差 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa求实数λ与向量a的积的运算 的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

3.平行向量基本定理

如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.

(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (2)λ(μa)＝(λμ)a； (3)λ(a＋b)＝λa＋数乘向量 λb 概念方法微思考

3

1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？ 提示 不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa. 2．如何理解数乘向量？

提示 λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定． 3．如何理解平行向量基本定理？

提示 如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

4

(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √ ) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( √ ) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( × )

→→

(4)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编

→→→→

2．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝________.(用a，b表示) 答案 b－a －a－b

→→→→

解析 如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，

→→→→→

BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.

→→→→

3．在平行四边形ABCD中，若|AB＋AD|＝|AB－AD|，则四边形ABCD的形状为________． 答案 矩形

→→→

解析 如图，因为AB＋AD＝AC，

5

→→→AB－AD＝DB， →→所以|AC|＝|DB|.

由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形． 题组三 易错自纠

4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A

解析 若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.

若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．

5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________. 1答案 2

解析 ∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数

λ＝μ，

μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则

1＝2μ，

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

1

解得λ＝μ＝. 2

12→→→

6．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，

23

λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

1

答案 2

→→→1→2→解析 DE＝DB＋BE＝AB＋BC

23

6

＝1→2AB＋23(→BA＋→AC)＝－1→2→6AB＋3AC， ∴λ＝－12116，λ2＝3，即λ1＋λ2＝2

.

题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：

①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；

③若A，B，C，D是不共线的四点，且→AB＝→

DC，则ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；

⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③

7

解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；

②错误，若b＝0，则a与c不一定共线；

→→→→→→

③正确，因为AB＝DC，所以|AB|＝|DC|且AB∥DC；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；

④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；

⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线． 故填③.

2．给出下列四个命题：

①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|，其中正确命题的个数是( ) A．1B．2C．3D．4 答案 A

解析 只有④正确．

思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．

(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．

(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．

题型二 平面向量的线性运算

命题点1 向量加、减法的几何意义

例1(2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( ) A．a⊥b C．a∥b 答案 A

解析 方法一 ∵|a＋b|＝|a－b|， ∴|a＋b|＝|a－b|.

∴a＋b＋2a·b＝a＋b－2a·b. ∴a·b＝0.∴a⊥b. 故选A.

8

2

2

2

2

2

2

B．|a|＝|b| D．|a|>|b|

方法二 利用向量加法的平行四边形法则． →→

在▱ABCD中，设AB＝a，AD＝b， →→

由|a＋b|＝|a－b|知，|AC|＝|DB|，

从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b. 故选A.

命题点2 向量的线性运算

例2(1)(2019·包头模拟)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，→→→

设AB＝a，AD＝b，则向量BF等于( ) 12A.a＋b 3312C．－a＋b

33答案 C

→2→2→→解析 BF＝BE＝(BC＋CE)

33

12

B．－a－b

3312D.a－b 33

2112

＝b－a＝－a＋b， 3233故选C.

→

(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB等于( ) 3→1→A.AB－AC 443→1→C.AB＋AC 44答案 A

9

1→3→

B.AB－AC 441→3→D.AB＋AC 44

解析 作出示意图如图所示．

→→→1→1→EB＝ED＋DB＝AD＋CB

2211→→1→→

＝×(AB＋AC)＋(AB－AC) 2223→1→＝AB－AC. 44故选A.

命题点3 根据向量线性运算求参数

x→→→→→

例3在锐角△ABC中，CM＝3MB，AM＝xAB＋yAC，则＝________.

y答案 3

→→→→

解析 由题意得CA＋AM＝3(AB－AM)， →→→即4AM＝3AB＋AC， →3→1→亦即AM＝AB＋AC，

4431

则x＝，y＝. 44故＝3.

思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．

(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．

xy 10

(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．

→→→→→→

跟踪训练1(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝2DC，CE＝3EA，若AB＝a，AC→

＝b，则DE等于( ) 15A.a＋b 31215C．－a－b

312答案 C

→→→1→3→解析 DE＝DC＋CE＝BC＋CA

34

113

B.a－b 312113D．－a＋b

312

1→→3→＝(AC－AB)－AC 34

1→5→15

＝－AB－AC＝－a－b，故选C.

312312

→→→(2)(2018·营口模拟)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若AB＝xAE＋yAF(x，y∈R)，则x－y＝________. 答案 2

→→→→1→

解析 由题意得AE＝AB＋BE＝AB＋AD，

2→→→→1→AF＝AD＋DF＝AD＋AB，

2→→→因为AB＝xAE＋yAF，

11

所以→AB＝x＋y2→AB＋x2＋y→

AD，

x＋y＝1，所以2x2＋y＝0，

x＝4

3，解得y＝－2

3，

所以x－y＝2.

题型三 平行向量基本定理的应用例4设两个非零向量a与b不共线．

(1)若→AB＝a＋b，→BC＝2a＋8b，→

CD＝3(a－b)， 求证：A，B，D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． (1)证明 ∵→AB＝a＋b，→BC＝2a＋8b，→

CD＝3(a－b)，∴→BD＝→BC＋→

CD＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5→

AB， ∴→AB，→

BD共线．

又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线． (2)解 假设ka＋b与a＋kb共线， 则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b.

又a，b是两个不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0.

消去λ，得k2

－1＝0，∴k＝±1.

12

引申探究

→→

1．若将本例(1)中“BC＝2a＋8b”改为“BC＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？ →→

解 BC＋CD＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b， →

即BD＝4a＋(m－3)b.

→→

若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使BD＝λAB. 即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)．

4＝λ，所以

m－3＝λ，

解得m＝7.

故当m＝7时，A，B，D三点共线．

2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？ 解 因为ka＋b与a＋kb反向共线，

所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)． 所以

k＝λ，

kλ＝1，

所以k＝±1.

又λ<0，k＝λ，所以k＝－1. 故当k＝－1时两向量反向共线．

思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．

→→→

跟踪训练2已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 证明 (1)若m＋n＝1，

→→→→→→

则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA－OB)， →→→→

∴OP－OB＝m(OA－OB)， →→→→

即BP＝mBA，∴BP与BA共线．

→→

又∵BP与BA有公共点B，则A，P，B三点共线． →→

(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使BP＝λBA， →→→→∴OP－OB＝λ(OA－OB)．

13

→→→又OP＝mOA＋nOB.

→→→→故有mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB， →→

即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0. →→

∵O，A，B不共线，∴OA，OB不共线，

m－λ＝0，∴n＋λ－1＝0，

∴m＋n＝1.

14

1．对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b. 若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件．

2．已知向量→AB＝a＋3b，→BC＝5a＋3b，→

CD＝－3a＋3b，则( ) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线

答案 B

解析 ∵→BD＝→BC＋→CD＝2a＋6b＝2→

AB，

15

→→→→

∴BD与AB共线，由于BD与AB有公共点B， 因此A，B，D三点共线，故选B.

3.如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上的一个靠近点B的三等分点，那→

么EF等于( )

1→1→A.AB－AD 231→1→C.AB＋DA 32答案 D

→→→解析 在△CEF中，有EF＝EC＋CF. →1→

因为点E为DC的中点，所以EC＝DC.

2因为点F为BC上的一个靠近点B的三等分点， →2→所以CF＝CB.

3

→1→2→1→2→所以EF＝DC＋CB＝AB＋DA

23231→2→

＝AB－AD，故选D. 23

→→→→1→→4．(2018·锦州模拟)在△ABC中，点G满足GA＋GB＋GC＝0.若存在点O，使得OG＝BC，且OA6→→

＝mOB＋nOC，则m－n等于( ) A．2B．－2C．1D．－1 答案 D

16

1→1→B.AB＋AD 421→2→D.AB－AD 23

→→→

解析 ∵GA＋GB＋GC＝0， →→→→→→

∴OA－OG＋OB－OG＋OC－OG＝0，

→1→1→→→→＝1BC∴OG＝→＝OC－OB，

3OA＋OB＋OC66

()()

1→3→→

可得OA＝－OC－OB，

22

31

∴m＝－，n＝－，m－n＝－1，故选D.

22

→→→

5.如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB＝a，AC＝b，则AD等于( )

1A．a－b 21C．a＋b 2答案 D

解析 连接OC，OD，CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，可得∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，→→

且△OAC和△OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，所以AD＝AO→1→→1

＋AC＝AB＋AC＝a＋b，故选D.

22

1

B.a－b 21

D.a＋b 2

17

6.如图，在△ABC中，→AN＝1→3AC，P是BN上的一点，若→AP＝mAB→＋2→

11

AC，则实数m的值为(

A.9

11 B.5

11 C.311 D.211

答案 B

解析 注意到N，P，B三点共线， 因此→AP＝mAB→＋2→11AC＝mAB→＋6→11AN，

从而m＋611＝1，所以m＝5

11

.

)

18

→→→→→→

7．若|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，则|AB＋AC|＝________. 答案 23

→→→→

解析 因为|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2， 所以△ABC是边长为2的正三角形，

→→

所以|AB＋AC|为△ABC的边BC上的高的2倍， →→

所以|AB＋AC|＝23.

→→→→→

8．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________． 答案 直角三角形

→→→→→→→

解析 因为OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA →→→→→→→＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC， →→→→

所以|AB＋AC|＝|AB－AC|， →→

即AB·AC＝0，

→→

故AB⊥AC，△ABC为直角三角形．

→→→→→

9．若M是△ABC的边BC上的一点，且CM＝3MB，设AM＝λAB＋μAC，则λ的值为________． 3答案 4

解析 由题设知＝3，过M作MN∥AC交AB于N，

CMMB 19

则＝＝MNBNBM1

＝，

ACBABC4

AN3从而＝，

AB4

→→→→→3→1→又AM＝λAB＋μAC＝AN＋NM＝AB＋AC，

443

所以λ＝.

4

→→

10．(2019·包头质检)已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，MN＝2e1－3e2，NP＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________. 答案 －4

解析 因为M，N，P三点共线， →→所以存在实数k使得MN＝kNP， 所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)， 又e1，e2为平面内两个不共线的向量，

2＝kλ，可得

－3＝6k，

解得λ＝－4.

→→→

11．如图所示，设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，求△ABC与△AOC的面积之比．

20

解 取AC的中点D，连接OD，

→→→则OA＋OC＝2OD， →→∴OB＝－OD，

∴O是AC边上的中线BD的中点， ∴S△ABC＝2S△OAC，

∴△ABC与△AOC面积之比为2∶1.

→→

12.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设AB＝a，AC＝

b，试用a，b表示向量AO.

→

21

解 方法一 由D，O，C三点共线， 可设→DO＝k→→→1DC＝k1(AC－AD)＝k11b－2a

＝－1

2k1a＋k1b(k1为实数)，

同理，可设→BO＝k→k→→

2BF＝2(AF－AB) ＝k1122b－a＝－k2a＋2k2b(k2为实数)，① 又→BO＝→BD＋→DO＝－12a＋1－2k1a＋k1b ＝－1

2

(1＋k1)a＋k1b，②

所以由①②，得－k11

2a＋2k2b＝－2(1＋k1)a＋k1b，即12(1＋k1－2k2)a＋12k2－k1b＝0.

又a，b不共线， 121＋k1

－2k2

＝0，k1＝1

，所以 解得1

3

2k2

－k1

＝0，

k2

＝2

3.所以→

BO＝－213a＋3b.

所以→AO＝→AB＋→BO

22

211

＝a＋－a＋b＝(a＋b)．

333

方法二 延长AO交BC于点E，O为△ABC的重心，则E为BC的中点， →2→21→→1

所以AO＝AE＝×(AB＋AC)＝(a＋b)．

3323

→→→

13．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若DE＝λAB＋μAD(λ，μ为实数)，则λ＋μ等于( )

2

2

515A.B.C．1D. 8416答案 A

→1→1→1→1→解析 DE＝DA＋DO＝DA＋DB

2224

23

1→1→→1→3→＝DA＋(DA＋AB)＝AB－AD， 2444

13522

所以λ＝，μ＝－，故λ＋μ＝，故选A.

448

→

14．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若OC＝

λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )

A．(0,1) C．(1，2] 答案 B

→→

解析 设OC＝mOD，则m>1， →→→因为OC＝λOA＋μOB， →→→所以mOD＝λOA＋μOB， →λ→μ→即OD＝OA＋OB，

B．(1，＋∞) D．(－1,0)

→→

mm又知A，B，D三点共线， 所以＋λμ＝1，即λ＋μ＝m， mm所以λ＋μ>1，故选B.

→1→1→1→

15．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP＝2OA＋OB＋OC，

223则点P一定为△ABC的( ) A．BC边中线的中点

B．BC边中线的三等分点(非重心)

24

C．重心 D．BC边的中点 答案 B

解析 设BC的中点为M， 1→1→→则OC＋OB＝OM， 22

→1→→1→2→∴OP＝(OM＋2OA)＝OM＋OA，

333→→→→→即3OP＝OM＋2OA，也就是MP＝2PA， ∴P，M，A三点共线，

且P是AM上靠近A点的一个三等分点．

16．设W是由一平面内的n(n≥3)个向量组成的集合．若a∈W，且a的模不小于W中除a外的所有向量和的模．则称a是W的极大向量．有下列命题： ①若W中每个向量的方向都相同，则W中必存在一个极大向量；

②给定平面内两个不共线向量a，b，在该平面内总存在唯一的平面向量c＝－a－b，使得W＝{a，b，c}中的每个元素都是极大向量；

③若W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量，且W1，W2中无公共元素，则W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量． 其中真命题的序号是________． 答案 ②③

解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a，b，

c围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量

都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W1＝{a1，a2，a3}，W2＝{b1，b2，b3}中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．

25