(小学奥数)约数与倍数(三)

5-4-3.約數與倍數（三）

教學目標

1. 本講主要對課本中的：約數、公約數、最大公約數；倍數、公倍數、最小公

倍數性質的應用。 2. 本講核心目標：讓孩子對數字的本質結構有一個深入的認識，

例如：（1）約數、公約數、最大公約數；倍數、公倍數、最小公倍數的內在關係；

（2）整數唯一分解定理：讓學生自己初步領悟“任何一個數字都可以表示為

△☆△☆...△☆的結構，而且表達形式唯一”

知識點撥

一、 約數、公約數與最大公約數概念

(1)約數:在正整數範圍內約數又叫因數,整數a能被整數b整除，a叫做b的倍數，b就叫做a的約數；

(2)公約數:如果一個整數同時是幾個整數的約數，稱這個整數為它們的“公約數”；

(3)最大公約數：公約數中最大的一個就是最大公約數； (4)0被排除在約數與倍數之外 1． 求最大公約數的方法

①分解質因數法：先分解質因數，然後把相同的因數連乘起來．

例如：2313711，25222327，所以(231,252)3721；

21812②短除法：先找出所有共有的約數，然後相乘．例如：

(12,18)236；

39632，所以

③輾轉相除法：每一次都用除數和餘數相除，能夠整除的那個餘數，就是所求的最大公約數．用輾轉相除法求兩個數的最大公約數的步驟如下：先用小的一個數除大的一個數，得第一個餘數；再用第一個餘數除小的一個數，得第二個餘數；又用第二個餘數除第一個餘數，得第三個餘數；這樣逐次用後一個餘數去除

前一個餘數，直到餘數是0為止．那麼，最後一個除數就是所求的最大公約數．(如果最後的除數是1，那麼原來的兩個數是互質的)．

例如，求600和1515的最大公約數：15156002315285130；28530915；301520；所以

315；6003151285；

1515和600的最大公約數是15．

2． 最大公約數的性質

①幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數；

②幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數； ③幾個數都乘以一個自然數n，所得的積的最大公約數等於這幾個數的最大公約數乘以n．

3． 求一組分數的最大公約數

先把帶分數化成假分數，其他分數不變；求出各個分數的分母的最小公倍數a；求出各個分數的分子的最大公約數b；b即為所求．

a4． 約數、公約數最大公約數的關係

（1）約數是對一個數說的；

（2）公約數是最大公約數的約數，最大公約數是公約數的倍數 二、倍數的概念與最小公倍數

(1)倍數:一個整數能夠被另一整數整除，這個整數就是另一整數的倍數 (2)公倍數:在兩個或兩個以上的自然數中，如果它們有相同的倍數，那麼這些倍數就叫做它們的公倍數

(3)最小公倍數：公倍數中最小的那個稱為這些正整數的最小公倍數。 1. 求最小公倍數的方法

①分解質因數的方法；

例如：2313711，25222327，所以231,25222327112772； ②短除法求最小公倍數；

21812例如：

396 ，所以18,12233236；

32③[a,b]ab．

(a,b)2. 最小公倍數的性質

①兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數．

②兩個互質的數的最小公倍數是這兩個數的乘積．

③兩個數具有倍數關係，則它們的最大公約數是其中較小的數，最小公倍數是較大的數．

3. 求一組分數的最小公倍數方法步驟

先將各個分數化為假分數；求出各個分數分子的最小公倍數a；求出各個分數分母的最大公約數b；b即為所求．例如：[3,5]a412[3,5]15 (4,12)4注意：兩個最簡分數的最大公約數不能是整數，最小公倍數可以是整數.例如：141,42,32,34 4． 倍數、公倍數、最小公倍數的關係

（1）倍數是對一個數說的；

（2）最小公倍數是公倍數的約數，公倍數是最小公倍數的倍數

三、最大公約數與最小公倍數的常用性質

1． 兩個自然數分別除以它們的最大公約數，所得的商互質。

如果m為A、B的最大公約數，且Ama，Bmb，那麼a、b互質，所以A、B的最小公倍數為mab，所以最大公約數與最小公倍數有如下一些基本關係：

①ABmambmmab，即兩個數的最大公約數與最小公倍數之積等於這兩個數的積；

②最大公約數是A、B、AB、AB及最小公倍數的約數．

2． 兩個數的最大公約和最小公倍的乘積等於這兩個數的乘積。 即(a,b)[a,b]ab，此性質比較簡單，學生比較容易掌握。 3． 對於任意3個連續的自然數，如果三個連續數的奇偶性為

a)奇偶奇，那麼這三個數的乘積等於這三個數的最小公倍數

例如：567210，210就是567的最小公倍數

b)偶奇偶，那麼這三個數的乘積等於這三個數最小公倍數的2倍

例如：678336，而6,7,8的最小公倍數為3362168

性質（3）不是一個常見考點，但是也比較有助於學生理解最小公倍數與數字乘積之間的大小關係，即“幾個數最小公倍數一定不會比他們的乘積大”。

四、求約數個數與所有約數的和 1． 求任一整數約數的個數

一個整數的約數的個數是在對其嚴格分解質因數後，將每個質因數的指數(次數)加1後所得的乘積。

如:1400嚴格分解質因數之後為23527，所以它的約數有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24個。(包括1和1400本身)

約數個數的計算公式是本講的一個重點和難點，授課時應重點講解，公式的推導過程是建立在開篇講過的數字“唯一分解定理”形式基礎之上，結合乘法原理推導出來的，不是很複雜，建議給學生推導並要求其掌握。難點在於公式的逆推，有相當一部分常考的偏難題型考察的就是對這個公式的逆用，即先告訴一個數有多少個約數，然後再結合其他幾個條件將原數“還原構造”出來，或者是“構造出可能的最值”。 2． 求任一整數的所有約數的和

一個整數的所有約數的和是在對其嚴格分解質因數後，將它的每個質因數依次從1加至這個質因數的最高次冪求和，然後再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數的所有約數的和。

如：21000233537，所以21000所有約數的和為

(122223)(13)(155253)(17)74880

此公式沒有第一個公式常用，推導過程相對複雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學生找規律性的記憶即可。

例題精講

模組一、運用大公約和小公倍的模型解題

如果m為A、B的最大公約數，根據模型知道：

（1）且Ama，Bmb （2）那麼a、b互質

（3）所以A、B的最大公約數為m，最小公倍數為mab （4）最大公約數與最小公倍數的成績為A與B的成績

【例 1】 甲數是

36，甲、乙兩數最大公約數是4，最小公倍數是288，那麼乙數

是多少？

【巩固】 已知

A、B兩數的最小公倍數是180，最大公約數是30，若A=90，則

B= 。

【例 2】 已知兩個自然數的積為

240，最小公倍數為60，求這兩個數．

【例 3】 兩個自然數的和是

50，它們的最大公約數是5，試求這兩個數的差．

【巩固】 兩個自然數的和是

125，它們的最大公約數是25，試求這兩個數．

【例 4】 已知兩數的最大公約數是

21，最小公倍數是126，求這兩個數的和是多

少？

【巩固】 已知兩個自然數的最大公約數為

4，最小公倍數為120，求這兩個數．

【例 5】 甲、乙兩個自然數的最大公約數是

7，並且甲數除以乙數所得的商是11.

8乙數是_____.

【例 6】 已知正整數

a、b之差為120，它們的最小公倍數是其最大公約數的105

倍，那麼a、b中較大的數是多少？

【例 7】 已知兩個自然數的和為

54，它們的最小公倍數與最大公約數的差為114，

求這兩個自然數．

【例 8】 有兩個自然數，它們的和等於

297，它們的最大公約數與最小公倍數之和

等於693，這兩個自然數的差是 ．

【例 9】 已知自然數

A、B滿足以下2個性質：（1）A、B不互質；（2）A、B的

最大公約數與最小公倍數之和為35。那麼A+B的最小值是多少？

【例 10】 兩個整數

A、B的最大公約數是C，最小公倍數是D，並且已知C不等於

1，也不等於A或B，C+D=187，那麼A+B等於多少？

【例 11】 若 a , b , c 是三個互不相等的大於

0的自然數，且a + b + c = 1155 ，

則它們的最大公約數的最大值為 ，最小公倍數的最小值為 ，最小公倍數的最大值為 ．

模組二、約數的個數與約數的和

【例 12】 2008

的約數有（ ）個。

【巩固】 2008006

共有( )個質因數。

（A）4 （B)5 (C)6 (D)7

【巩固】 105

的約數共有幾個?

【巩固】 已知

300=2×2×3×5×5，則300一共有 個不同的

約數。

【例 13】 筐中有

60個蘋果，將它們全部都取出來，分成偶數堆，使得每堆的個數

相同。問：有多少種分法？

【例 14】 數

360的約數有多少個?這些約數的和是多少?

【例 15】 2008ab6,a,b均為自然數．a有____________種不同的取值．

【巩固】 2010

除以正整數N，餘數是15，那麼N的所有可能值的個數是

。

【例 16】 自然數

N有45個正約數。N的最小值為 。

【巩固】 自然數N有20個正約數，N的最小值為 。

【巩固】 恰有

20 個因數的最小自然數是（ ）。

（A）120 （B）240 （C）360 （D）432

【例 17】 設

A共有9個不同的約數，B共有6個不同的約數，C共有8個不同的

約數，這三個數中的任何兩個都不整除，則這三個數之積的最小值是多

少？

【例 18】 在

1到100中，恰好有6個約數的數有多少個？

【巩固】 恰有

8個約數的兩位數有________個．

【巩固】 在三位數中，恰好有

9個約數的數有多少個？

【例 19】 能被

2145整除且恰有2145個約數的數有 個．

【巩固】 能被

210整除且恰有210個約數的數有 個．

【巩固】 1001

的倍數中，共有 個數恰有1001個約數．

【巩固】 如果一個自然數的2004倍恰有2004個約數，這個自然數自己最少有多

少個約數？

【例 20】 已知偶數

A不是4的整數倍，它的約數的個數為12，求4A的約數的個

數.

【例 21】 已知m、n兩個數都是只含質因數

3和5，它們的最大公約數是75，已知m有12個約數，n有10個約數，求m與n的和．

【例 22】 已知A數有

7個約數，B數有12個約數，且A、B的最小公倍數A,B1728，

則B ．

【例 23】 一個自然數恰好有

18個約數，那麼它最多有 個約數的個位是3.

【例 24】 一個分子是

1的分數，化成小數後是一個混循環小數，且迴圈節為兩位，

不迴圈也有兩位，那麼這種分數共有多少個？

123【例 25】 ,,,10,2002中，共有_ __個最簡分數。 2009

【例 26】 設a，b，c是0~9的數字（允許相同），將循環小數0.abc化成最簡分數後，

分子有 種不同情況．

【例 27】 在循環小數中類似於

••••11迴圈節是從小數點右邊的0.142857，0.076923等，

713第一位（即十分位）就開始的小數，叫做純循環小數，包括7和13在內，

共有 個正整數，其倒數是迴圈節恰好為六位的純循環小數。