《信息经济学》专选期末作业(编写四道不同类型的博弈论题目)

【题型要求】自己编写四道“完全/不完全信息的静态/动态博弈”类型的题并

解答，运用所学知识点，解题过程步骤清晰并且符合答题规范。

类型一：完全信息的静态博弈

题目：在完全信息条件下，求如下静态博弈的全部纯策略以及混合策略的纳什均衡。

解：⑴纯策略均衡：用划线法。Player 1(以下简称P1)的最佳策略用“ ”标注，P2(以下简称P2)的最佳策略用“ ”标注。

∴该博弈的纯策略纳什均衡有2个为(U,L)和(D,R)，纯策略纳什均衡解分别是（2,6）和（6,2）。

⑵混合策略均衡：设P1选择U和D的概率分别为x和1-x，P2选L，R的概率分别为y和1-y.

①P1选择U策略时，得到的期望值为E1(U)=2y+5(1-y)=5-3y P1选择R策略时，得到的期望值为E1(R)=0·y+6(1-y)=6-6y P1在选择这场博弈得到的期望值为E1=xE1(U)+(1-x)E1(R)=3xy-7x+6

②P2选择L策略时，得到的期望值为E2(L)=6x+0·(1-x)=6x

P2选择R策略时，得到的期望值为E2(R)=5x+2(1-x)=3x+2

P2在选择这场博弈得到的期望值为E2=xE2(L)+(1-x)E2(R)=3xy+3x-2y+2 ③ ∵混合策略的均衡下不同策略无差异，分别对E1求x偏导和对E2求y偏导，令其为0，可求得其最大值：

E1 E1(U)E1(D)0，即5-3y=6-6y，解得y=

x123， 1-y=3.

21E2 E1(L)E1(R)0，即6x=3x+2，解得x=3，1-x=3

y21122 ∴混合策略的纳什均衡是：{（3，3），（3，3）}，即P1分别以（3，112；P2分别以（3，3）的概率选策略L和R。 3）的概率选策略U和D，

类型二：不完全信息的静态博弈

题目:男孩与女孩约会，他们必须地决定出门时是否带伞。男孩女孩都知道雨天和晴天的概率相等（都为50%）。雨天和晴天双方的支付矩阵如下表所示：

女孩 雨天（50%） 晴天（50%） 带伞（T） 不带伞（U） 带伞（T） 不带伞（U） 带伞（T） 男孩 不带伞（U） -3，-2.5 -5，-5 0，-1 1，1 -2，-2 -2.5，-3 -1，-1 -1，0 请用扩展式表述方法分别表示以下博弈：

(1) 两人出门时都不知道是否会下雨，并且两人同时决定是否带伞（即每一方在决策时都不知道对方的决策）；

(2) 男孩出门前知道是否会下雨，女孩不知道，但男孩先决策，女孩后决策。

解：⑴若两人同时进行决策：

①当男孩选择带伞（T）时，女孩的最佳应对策略为（T，U）[（T，U）表示当雨天时选择带伞，晴天选择不带伞，以下同]。

②当男孩选择不带伞（U）时，女孩的最佳应对策略为（T，U）。 ⑵①男孩选择T，女孩的最佳策略为（T，U）

而当女孩选择（T，U）时，男孩选择T时，得到的期望值是 E1(T)=(-2)×0.5+(-1)×0.5=-2 而男孩选择U时，得到的期望值是 E1(U)=(-3)×0.5+1×0.5=-1

而E1(T)＜E1(U)，不构成贝叶斯纳什均衡 ②男孩选择U，女孩的最佳策略为（T，U）

而当女孩选择（T，U）时，男孩选择T时，得到的期望值是 E2(T)=(-2)×0.5+(-1)×0.5=-1.5 而男孩选择U时，得到的期望值是 E2(U)=(-3)×0.5+1×0.5=-1

E1(T)＜E1(U)，构成相互最优，即当男孩选择U，女孩的最佳策略为（T，U）时，此题构成唯一的贝叶斯纳什均衡{U，（T，U）}，均衡结果为{-1，（-2.5，1）}

类型三：不完全信息的动态博弈

题目：试解出下述不完美信息动态博弈的完美贝叶斯均衡。

1 M

(1,2)

L R

[μ ] 2 2 [1-μ ]

L’ R’ L’ R’

(2,4) (0,1) (3,1) (7,2)

解：设当Player 2(以下简称P2)看到Player 1(以下简称P1)未选R时，设他认为P1选L的概率为μ， P1选M的概率为1－μ.

则 P2选L’的期望值为：E2(L’)= 41(1)13

P2选R’的期望值为：E2(R’)= 12(1)2

case1: 当132，即1时，对于P2来说选L’是最佳策略，此4时对于P1来说，当给定P2选L’时，P1选L收益为2，选R的收益为3，选M

P(L)010，与相矛的收益为1，因此P1会选R，即此时P(L)P(R)0141盾，所以E2(L’) ≥E2(R’)，即时不构成完美贝叶斯均衡。

41case2: 当132，即时，对于P2来说选R’是最佳策略，此

4时对于P1来说，当给定P2选R’时， P1选L收益为0，选R的收益为7，选R

P(L)00,的收益为1，因此P1会选L，因此P1会选R，即此时P(L)P(R)01与1相符合，构成一个完美贝叶斯纳什均衡。即P1在第一阶段选择R，并且4P2在看到P1未选M时他认为P1选L的概率为0，所以P2在第二阶段选择R’，于是得到此博弈的完美贝叶斯均衡是： {(R,R');0}，均衡结果为（7，2）。

类型四：完全信息的动态博弈

题目:“索尼”和“三星”两家公司在手机市场上的定位相似，潜在消费群几乎相同，存在着直接的竞争，不同的是索尼更先进入市场。假设两家公司都面临着相同的可行战略：在产品性能上主攻照相功能（简称P）和主攻音乐功能（简称M），但是“索尼”先于“三星”行动，两者行动的博弈树如下所示：

在只考虑纯战略的情况下，找出全部的纳什均衡以及子博弈完美纳什均衡。

解：解法一：用逆向归纳法求解。设索尼选择了主攻拍照（P）,当三星选择时P，他所获得的收益是4，选择M收益是8，所以三星必然选择M来应对；同理，当索尼选择了主攻音乐（M），三星必然选择P。

所以得到此动态博弈唯一的子博弈完美纳什均衡为{M,(M,P)}，均衡结果是（11，9），均衡路径是（M,P）,非均衡路径为(M,M).

解法二：

⑴把上述博弈转化成贝叶斯标准形式： 三星 索尼 P M （M，M） 10，8 6，5 (P，P) 5，4 11，9 (M，P) 10，8 11，9 (P，M) 5，4 6，5 该博弈的贝叶斯标准型表达式的定义如下：

①索尼的全部战略（共2个）为①主攻照相；②主攻音乐。

②三星的对于索尼策略的全部应对战略（共4个）为：(M，M)，(P，P)，(M，P)，(P，M)。

分别表示(M，M) ：不管索尼选择什么策略，均选择主攻音乐；(P，P)：不管索尼选择什么策略，均选择主攻拍照； (M，P)：如果索尼主攻拍照，选择主攻音乐，而如果索尼主攻音乐，选择主攻拍照；(P，M)：如果索尼主攻拍照，也选择主攻拍照，而如果索尼选择主攻音乐，也选择主攻音乐。

⑵用划线法求解得该博弈的全部纳什均衡为{P,(M,M)}, {M,(P,P)}, {M,(M,P)}，此动态博弈唯一的子博弈完美纳什均衡为{M,(M,P)}。

古诺模型和斯坦克尔伯格模型

题目：市场里有两个企业1和2。每个企业的成本都为0。市场的逆需求函数为P=24-Q。其中P是市场价格，Q为市场总产量。 （1）求古诺（Cournot）均衡产量和利润。

（2）求斯坦克尔伯格（Stackelberg）均衡产量和利润。

(1)设两个企业的产量分别为q1，q2，有Qq1q2，求解得利润函数分别为：

1(18q1q2)q118q1q12q1q2

22(18q1q2)q218q2q2q1q2

利润最大化的一阶条件分别为：

12182q1q20 ， 182q2q10 q1q2求解得企业1和企业2的反应函数分别为：

q118q218q1 ， q2 22解反应函数得纳什均衡为：q1q26， 对应的利润为：

**（2）设企业1先于企业 1(q1*,q2)2行动，求解得利润函数分别为：2(q1*,q2)361(18q1q2)q118q1q12q1q2

22(18q1q2)q218q2q2q1q2

由逆向归纳法分析，

在第二阶段，企业2在已知企业1的产量的情况下，会将自己的产量最优化，因此企业2的反应函数为：

218q1182q2q10，求解得q2 q22 在第一阶段，企业1考虑到企业2的反应，因此企业1的利润函数为：

18q1) 1(18q1q2)q118q1q12q1q218q1q12q1(2 要使企业1的利润最大，对利润函数里的q1求偏导，令

10，求得q1q1927，所以q2。 24927均衡时的价格为： P24()11.25

24992991()40 222222727227273 118()30

44448

对应的利润分别为11813此均衡为子博弈完美纳什均衡，均衡为（q1,s2（q1）），均衡结果为(40,30).

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