第1讲 相交线与平行线提高题
知识点：
1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。
2、三线八角：对顶角（相等），邻补角（互补），同位角，内错角，同旁内角。 3、两条直线被第三条直线所截：
同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧） 内错角Z（在两条直线内部，位于第三条直线两侧） 同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）
…
4，互为余角的有关性质：
①∠1＋∠2＝90°，则∠1、∠2互余；反过来，若∠1，∠2互余，则∠1+∠2＝90°； ②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2＝90°，∠1+∠ 3＝90°，则∠2＝∠3.
5，互为补角的有关性质：
① 若∠A+∠B＝180°，则∠A、∠B互补；反过来，若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180°. ②同角或等角的补角相等.如果∠A+∠C＝180°，∠A+∠B＝180°，则∠B＝∠C.
6，对顶角的性质：对顶角相等.
7、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。 |
垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足
垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线段最短。
8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
9、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b证：AB∥EF.
}
例2、如图，∠B＋∠D＝∠BCD,求证AB∥DE。
）
Ｂ Ｃ
Ａ
Ｅ Ｄ
<
例3、 如图2—15，∠1=∠2，∠2+∠3=180°，AB∥CD吗 AC∥BD吗为什么 ）
考点训练 ^
一．选择题
1．如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠4=∠5 D．∠2+∠4=180°
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可．
解：A、根据内错角相等，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意； B、∠2=∠3，不能判断直线l1∥l2，故此选项符合题意；
C、根据同位角相等，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意； !
D、根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线l1∥l2，故此选项不合题意； 故选：B．
2．如图，直线l1∥l2，则∠α为（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
【分析】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及对顶角相等进行做题． 解：∵l1∥l2，
∴130°所对应的同旁内角为∠1=180°﹣130°=50°， 】
又∵∠α与（70°+∠1）的角是对顶角， ∴∠α=70°+50°=120°． 故选：D．
3．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个．
（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．
A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线． - 解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确； （2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；
（3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确； （4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确． ∴正确的为（1）、（3）、（4），共3个； 故选：C．
4．如图，已知∠1=70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
【分析】先求出∠1的对顶角，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出． 解：如图，∵∠1=70°， ∴∠2=∠1=70°， ∵CD∥BE，
∴∠B=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°． 故选：C．
5．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ） :
$
A．90° B．180° C．210° D．270°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B+∠C=180°，从而得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，根据多边形的外角和定理列式计算即可． 解：∵AB∥CD， ∴∠B+∠C=180°， ∴∠4+∠5=180°，
根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°， ∴∠1+∠2+∠3=360°﹣180°=180°． ~
故选B．
6、已知：如图，AB A、++=360 B、++=180
C、+-=180
D、--=90
3、如图3，把长方形纸片沿EF折叠，使D，C分别落在D，C的位置，若∠EFB65，则∠AED等于（ ）
A．50 D．65
/
二．填空题 1．如图，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF=130°，则∠F= ° ． ~
B．55
C．60
【分析】先根据平行线的性质求出∠AED与∠DEB的度数，再由角平分线的性质求出∠DEF的度数，进而可得出∠GEF的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论． 解：∵AB∥CD，∠CDE=119°，
∴∠AED=180°﹣119°=61°，∠DEB=119°． ∵GF交∠DEB的平分线EF于点F， ∴∠DEF=×119°=°，
∴∠GEF=61°+°=°． ∵∠AGF=130°， .
∴∠F=∠AGF﹣∠GEF=130°﹣°=°． 故答案为：°．
2．如图所示，OP∥QR∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1= 50 度．
【分析】本题主要利用平行线的性质进行做题． 解：∵OP∥QR，
∴∠2+∠PRQ=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵QR∥ST， 。
∴∠3=∠SRQ（两直线平行，内错角相等）， ∵∠SRQ=∠1+∠PRQ， 即∠3=180°﹣∠2+∠1， ∵∠2=110°，∠3=120°， ∴∠1=50°， 故填50．
3．如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α= 40 度．
【分析】过点F作EF∥AB，由平行线的性质可先求出∠3与∠4，再利用平角的定义即可求出∠α．
解：如图，过点F作EF∥AB， ∴∠1+∠3=180°． ∵∠1=100°， ∴∠3=80°． ∵AB∥CD， ∴CD∥EF，
∴∠4+∠2=180°， [
∵∠2=120°， ∴∠4=60°．
∴∠α=180°﹣∠3﹣∠4=40°． 故应填40． 三．解答题
1.如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．将求∠AGD的过程填写完整． ∵EF∥AD，（ 已知 ） ∴∠2= ∠3 ．（两直线平行，同位角相等；） }
又∵∠1=∠2，（ 已知 ） ∴∠1=∠3．（ 等量代换 ） ∴AB∥DG．（ 内错角相等，两直线平行； ）
∴∠BAC+ ∠AGD =180°（ 两直线平行，同旁内角互补； ） 又∵∠BAC=70°，（ 已知 ） ∴∠AGD= 110° ．
'
【分析】根据题意，利用平行线的性质和判定填空即可． ,
解：∵EF∥AD（已知）， ∴∠2=∠3．（两直线平行，同位角相等） 又∵∠1=∠2，（已知） ∴∠1=∠3，（等量代换） ∴AB∥DG．（内错角相等，两直线平行） ∴∠BAC+∠AGD=180°．（两直线平行，同旁内角互补） 又∵∠BAC=70°，（已知） ∴∠AGD=110°． ;
2．如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．
【分析】由已知∠FOC=90°，∠1=40°结合平角的定义，可得∠3的度数，又因为∠3与∠AOD互为邻补角，可求出∠AOD的度数，又由OE平分∠AOD可求出∠2． 解：∵∠FOC=90°，∠1=40°，AB为直线， ∴∠3+∠FOC+∠1=180°，
∴∠3=180°﹣90°﹣40°=50°． ∠3与∠AOD互补，
∴∠AOD=180°﹣∠3=130°， 、
∵OE平分∠AOD，
∴∠2=∠AOD=65°．
3．如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．
【分析】首先判断∠AED与∠ACB是一对同位角，然后根据已知条件推出DE∥BC，得出两角相等．
解：∠AED=∠ACB．
理由：∵∠1+∠4=180°（平角定义），∠1+∠2=180°（已知）． ∴∠2=∠4． 》
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）．
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）． ∵∠3=∠B（已知），
∴∠B=∠ADE（等量代换）．
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）． ∴∠AED=∠ACB（两直线平行，同位角相等）．
4．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB． 证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知） .
∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义）
∴DG∥AC（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠2= ∠ACD （ 两直线平行，内错角相等 ） ∵∠1=∠2（已知）
∴∠1=∠ ACD （等量代换）
∴EF∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠AEF=∠ ADC （ 两直线平行，同位角相等 ） ∵EF⊥AB（已知） ;
∴∠AEF=90°（ 垂直定义 ） ∴∠ADC=90°（ 等量代换 ） ∴CD⊥AB（ 垂直定义 ）
【分析】灵活运用垂直的定义，注意由垂直可得90°角，由90°角可得垂直，结合平行线的判定和性质，只要证得∠ADC=90°，即可得CD⊥AB． 解：证明过程如下：
证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知） ∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义） 】
∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）
∴∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等） ∵∠1=∠2（已知）
∴∠1=∠ACD（等量代换）
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）
∴∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等） ∵EF⊥AB（已知）
∵∠AEF=90°（垂直定义） [
∴∠ADC=90°（等量代换） ∴CD⊥AB（垂直定义）．
5．如图，已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．（证明注明理由）
【分析】要证明EF平分∠BED，即证∠4=∠5，由平行线的性质，∠4=∠3=∠1，∠5=∠2，只需证明∠1=∠2，而这是已知条件，故问题得证． 证明：∵AC∥DE（已知），
∴∠BCA=∠BED（两直线平行，同位角相等）， 即∠1+∠2=∠4+∠5， ￥
∵AC∥DE，
∴∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）； ∵DC∥EF（已知），
∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）； ∴∠1=∠4（等量代换）， ∴∠2=∠5（等式性质）； ∵CD平分∠BCA（已知）， ∴∠1=∠2（角平分线的定义）， \"
∴∠4=∠5（等量代换），
∴EF平分∠BED（角平分线的定义）．
6．如图，已知∠ABC+∠ECB=180°，∠P=∠Q， （1）AB与ED平行吗为什么
（2）∠1与∠2是否相等说说你的理由．
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可得出结论；
（2）由AB∥CD，则∠ABC=∠BCD，再由∠P=∠Q，则∠PBC=∠QCB，从而得出∠1=∠2． 【 解：（1）AB∥ED，
理由是：∵∠ABC+∠ECB=180°，
∴根据同旁内角互补，两直线平行可得AB∥ED； （2）∠1=∠2，
理由是：∵AB∥CD， ∴∠ABC=∠BCD， ∵∠P=∠Q，
∴∠PBC=∠QCB， )
∴∠ABC﹣∠PBC=∠BCD﹣∠QCB， 即∠1=∠2．
7．如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，OG⊥OF于O，AE∥OF，且∠A=30°．
（1）求∠DOF的度数；
（2）试说明OD平分∠AOG．
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等可得∠FOB=∠A=30°，再根据角平分线的定义求出∠COF=∠FOB=30°，然后根据平角等于180°列式进行计算即可得解；
（2）先求出∠DOG=60°，再根据对顶角相等求出∠AOD=60°，然后根据角平分线的定义即可得解． ? 解：（1）∵AE∥OF， ∴∠FOB=∠A=30°， ∵OF平分∠BOC，
∴∠COF=∠FOB=30°，
∴∠DOF=180°﹣∠COF=150°； （2）∵OF⊥OG， ∴∠FOG=90°，
∴∠DOG=∠DOF﹣∠FOG=150°﹣90°=60°， ^
∵∠AOD=∠COB=∠COF+∠FOB=60°，
∴∠AOD=∠DOG， ∴OD平分∠AOG．
8、已知：如图2—33，∠ABC=∠ADC，BF、DE是∠ABC、∠ADC的角平分线，∠1=∠2．
求证：DC∥AB．
8、如图：已知ABC与DEF是一副三角板的拼图，A,E,C,D在同一条线上. （1）、求证EF//BC ； （2）、求1与2的度数
A
P 1 O C D 2 Q B F
E
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