(易错题精选)初中数学圆的易错题汇编附解析

一、选择题

1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )

A．53 42B．53 42C．23

D．432

【答案】A 【解析】 【分析】

连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可. 【详解】

连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H， 则有AD=2AH，∠AHO=90°，

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，tan∠A=∴∠A=30°， ∴OH=

BC23， AB2331333OA=，AH=AO•cos∠A=3，∠BOC=2∠A=60°， 2222∴AD=2AH=3，

60∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=1232133222故选A.

32=36053， 42

【点睛】

本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

2．如图，在ABC中，ABC90，AB6，点P是AB边上的一个动点，以BP为直径的圆交CP于点Q，若线段AQ长度的最小值是3，则ABC的面积为（ ）

A．18 【答案】B 【解析】 【分析】

B．27 C．36 D．54

如图，取BC的中点T，连接AT，QT．首先证明A，Q，T共线时，△ABC的面积最大，设QT=TB=x，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】

解：如图，取BC的中点T，连接AT，QT．

∵PB是⊙O的直径， ∴∠PQB=∠CQB=90°，

1BC=定值，AT是定值， 2∵AQ≥AT-TQ，

∴QT=

∴当A，Q，T共线时，AQ的值最小，设BT=TQ=x， 在Rt△ABT中，则有（3+x）2=x2+62，

9， 2∴BC=2x=9，

11∴S△ABC=•AB•BC=×6×9=27，

22故选：B． 【点睛】

解得x=

本题考查了圆周角定理，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，则有中考选择题中的压轴题．

3．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣2，7）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是（ ）

A．6 【答案】C 【解析】 【分析】

B．8 C．10 D．12

设点P（x，y），表示出PA2+PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可． 【详解】 设P（x，y），

∵PA2＝（x+1）2+y2，PB2＝（x﹣1）2+y2， ∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2， ∵OP2＝x2+y2， ∴PA2+PB2＝2OP2+2，

当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最值， ∴OP的最小值为CO﹣CP＝3﹣1＝2， ∴PA2+PB2最小值为2×22+2＝10． 故选：C． 【点睛】

本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最小值，难度较大．

4．如图，ACBC，ACBC8，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作»AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则图中阴影部分的面积是（ ）

2083 3【答案】A 【解析】 【分析】

A．

B．

2083 3C．8320 3D．4320 3如图，连接CE．图中S阴影＝S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE．根据已知条件易求得OB＝OC＝OD＝4，BC＝CE＝8，∠ECB＝60°，OE＝43，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可． 【详解】

解：如图，连接CE．

∵AC⊥BC，AC＝BC＝8，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，

∴∠ACB＝90°，OB＝OC＝OD＝4，BC＝CE＝8． 又∵OE∥AC，

∴∠ACB＝∠COE＝90°．

∴在Rt△OEC中，OC＝4，CE＝8， ∴∠CEO＝30°，∠ECB＝60°，OE＝43， ∴S阴影＝S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE

6082121＝-4-443

3604220-83 3故选：A． 【点睛】

=

本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．

5．如图，AB是eO的直径，C是eO上一点（A、B除外），AOD132，则C的度数是（ ）

A．68 【答案】D 【解析】 【分析】

B．48 C．34 D．24

根据平角得出BOD的度数，进而利用圆周角定理得出C的度数即可． 【详解】

解：QAOD132， BOD48， C24，

故选：D． 【点睛】

本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的度数的一半是解答此题的关键．

6．如图，ABC是eO的内接三角形，A45，BC1，把ABC绕圆心O按逆时针方向旋转90得到DEB，点A的对应点为点D，则点A，D之间的距离是（）

A．1 【答案】A 【解析】 【分析】

B．2 C．3 D．2

连接AD，构造△ADB，由同弧所对应的圆周角相等和旋转的性质，证△ADB和△DBE全等，从而得到AD=BE=BC=1. 【详解】

如图，连接AD，AO，DO

∵ABC绕圆心O按逆时针方向旋转90得到DEB， ∴AB=DE，AOD90，CABBDE45

1AOD45（同弧所对应的圆周角等于圆心角的一半）， 2即ABDEDB45，

又∵DB=BD，∴DABBED（同弧所对应的圆周角相等）， 在△ADB和△DBE中

∴ABDABDEDB ABEDDABBED∴△ADB≌△EBD（ASA）, ∴AD=EB=BC=1. 故答案为A. 【点睛】

本题主要考查圆周角、圆中的计算问题以及勾股定理的运用；顶点在圆上，两边都与圆相交的角角圆周角；掌握三角形全等的判定是解题的关键.

7．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ） A．25cm 43cm 【答案】C 【解析】 连接AC，AO，

B．45 cm C．25cm或45cm D．23cm或

∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，

11AB=×8=4cm,OD=OC=5cm, 22当C点位置如图1所示时，

∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，

∴AM=

∴OM=OA2AM25242=3cm， ∴CM=OC+OM=5+3=8cm， ∴AC=AM2CM2428245cm；

当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm， ∵OC=5cm， ∴MC=5−3=2cm， 在Rt△AMC中,AC=故选C.

AM2CM2422225cm.

8．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为( ) A．3 【答案】D 【解析】 【分析】

先根据题意，画出图形，令直线y= 3x+ 23与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，作OH⊥CD于H；

然后根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得C、D两点的坐标值； 再在Rt△POC中，利用勾股定理可计算出CD的长，并利用面积法可计算出OH的值； 最后连接OA，利用切线的性质得OA⊥PA，在Rt△POH中，利用勾股定理，得到

B．2

C．3 D．2

3x23PAOP21，并利用垂线段最短求得PA的最小值即可.

【详解】

如图， 令直线y=3x+23与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，

当x=0时，y=23，则D（0，23），

当y=0时，3x+23=0，解得x=-2，则C（-2，0）， ∴CD∵

22(23)24，

11OH•CD=OC•OD， 222233. 4∴OH=

连接OA，如图， ∵PA为⊙O的切线， ∴OA⊥PA，

∴PAOP2OA2OP21， 当OP的值最小时，PA的值最小， 而OP的最小值为OH的长， ∴PA的最小值为(3)212故选D. 【点睛】

本题考查了切线的性质，解题关键是熟记切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．

2.

9．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（ ）

A．3 【答案】A 【解析】 连接OC，

B．23 C．

3 2D．

23 3

∵OA=OC，∠A=30°， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COB=∠A+∠ACO=60°， ∵PC是⊙O切线， ∴∠PCO=90°，∠P=30°， ∵PC=3，

∴OC=PC•tan30°=3， 故选A

10．下列命题错误的是（ ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．三角形一定有外接圆和内切圆 C．等弧对等弦

D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 【答案】C 【解析】 【分析】

根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可． 【详解】

A、平分弦的直径一定垂直于弦，是真命题； B、三角形一定有外接圆和内切圆，是真命题； C、在同圆或等圆中，等弧对等弦，是假命题；

D、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，是真命题； 故选C． 【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念等知识解答，难度不大．

11．如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA=OB．点P为⊙C上的动点，∠APB=90°，则AB长度的最小值为（ ）

A．4 【答案】A 【解析】 【分析】

B．3 C．7 D．8

连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，根据勾股定理和题意求得OP=2，则AB的最小长度为4． 【详解】

解：如图，连接OC，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最小，

∵C（3，4）， ∴OC=3242=5，

∵以点C为圆心的圆与y轴相切． ∴⊙C的半径为3， ∴OP=OC﹣3=2， ∴OP=OA=OB=2， ∵AB是直径， ∴∠APB=90°，

∴AB长度的最小值为4， 故选：A． 【点睛】

本题考查了圆切线的性质、坐标和图形的性质、圆周角定理、勾股定理，找到OP的最小值是解题的关键.

12．如图，点E为ABC的内心，过点E作MNPBC交AB于点M，交AC于点N，若AB7，AC5，BC6，则MN的长为（ ）

A．3．5 【答案】B 【解析】 【分析】

B．4 C．5 D．5．5

连接EB、EC，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则BM=ME，同理可得NC=NE，接着证明△AMN∽△ABC，所以

MN7BM75，则BM=7-MN①，同理可得CN=5-MN②，把两式相加得到MN的6766方程，然后解方程即可． 【详解】

连接EB、EC，如图，

∵点E为△ABC的内心，

∴EB平分∠ABC，EC平分∠ACB， ∴∠1=∠2，

∵MN∥BC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3， ∴BM=ME， 同理可得NC=NE， ∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴

MNAMMN7BM7 ，即，则BM=7-MN①， BCAB676同理可得CN=5-

5MN②， 6①+②得MN=12-2MN， ∴MN=4． 故选：B． 【点睛】

此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形

各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．

13．一个圆锥的底面半径是5，高为12，则这个圆锥的全面积是（ ） A．60 【答案】D 【解析】 【分析】

根据勾股定理求出圆锥侧面母线长，再根据圆锥的全面积=底面积+侧面积求出答案. 【详解】

∵圆锥的底面半径是5，高为12， ∴侧面母线长为5212213， ∵圆锥的侧面积=51365， 圆锥的底面积=5225， ∴圆锥的全面积=652590， 故选：D. 【点睛】

此题考查圆锥的全面积，圆锥侧面母线长与底面圆的半径、圆锥的高的关系，熟记计算公式是解题的关键.

B．65

C．85

D．90

14．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点E，交AD边于点F，则

FE＝（ ） EC

A．

1 2B．

1 3C．

1 43D．

8【答案】C 【解析】 【分析】

连接OE、OF、OC，利用切线长定理和切线的性质求出∠OCF＝∠FOE，证明△EOF∽△ECO，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】

解：连接OE、OF、OC． ∵AD、CF、CB都与⊙O相切，

∴CE＝CB；OE⊥CF； FO平分∠AFC，CO平分∠BCF．

∵AF∥BC，

∴∠AFC+∠BCF＝180°， ∴∠OFC+∠OCF＝90°， ∵∠OFC+∠FOE＝90°， ∴∠OCF＝∠FOE， ∴△EOF∽△ECO， ∴

OEEF=，即OE2＝EF•EC． ECOE1a，CE＝a． 2设正方形边长为a，则OE＝∴EF＝∴

1a． 4EF1＝． EC4故选：C．

【点睛】

本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质，其中通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．.

15．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动8次后，正方形的中心O经过的路线长是（ ）cm．

A．82 【答案】D 【解析】 【分析】

B．8 C．3π D．4π

由题意可得翻转一次中心O经过的路线长就是1个半径为1，圆心角是90°的弧长，然后进行计算即可解答． 【详解】

解：∵正方形ABCD的边长为2cm， ∴对角线的一半＝1cm，

则连续翻动8次后，正方形的中心O经过的路线长＝8×故选：D． 【点睛】

901＝4π． 180本题考查了弧长的计算，审清题意、确定点O的路线和长度是解答本题的关键．

16．如图，已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为10cm，则这个圆锥的侧面积为（ ）

A．50cm2 【答案】D 【解析】 【分析】

B．50πcm2

C．255cm2 D．255πcm2

根据勾股定理求出圆锥的母线长，求出底面圆周长，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】 解：如图所示，

∵等腰三角形的底边和高线长均为10cm，

∴等腰三角形的斜边长＝10252＝55，即圆锥的母线长为55cm，圆锥底面圆半径为5，

∴这个圆锥的底面圆周长=2×π×5=10π，即为侧面展开扇形的弧长，圆锥的侧面积＝

1×10π×55＝255πcm2， 2故选：D．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清楚圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的轴截面是等腰三角形，勾股定理的应用，以及圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．

17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=86°，则∠BCD的度数是（ ）

D．137°

A．86° 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】

解：∵∠BOD=86°， ∴∠BAD=86°÷2=43°，

B．94° C．107°

∵∠BAD+∠BCD=180°， ∴∠BCD=180°-43°=137°， 即∠BCD的度数是137°． 故选D． 【点睛】

本题考查圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．

18．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ）

A．2 【答案】B 【解析】 【分析】

B．3 C．2

D．

1 2连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值. 【详解】 连接OA， ∵∠ABC=30°， ∴∠AOC=60°， ∵PA是圆的切线， ∴∠PAO=90°， ∵tan∠AOC =

PA, OA∴PA= tan60°×1=3.

故选B.

【点睛】

本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.

19．如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（ ）

A．9 cm 【答案】B 【解析】 【分析】

B．10 cm C．11 cm D．12 cm

由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案． 【详解】

解：连接OD，设⊙O半径OD为R,

∵AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M ，

1CD=4cm，OM=R-2, 2在RT△OMD中，

∴DM=

OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)², 解得：R=5,

∴直径AB的长为:2×5=10cm．

故选B． 【点睛】

本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．

20．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（ ）

A．3cm 【答案】A 【解析】 【分析】

B．2cm C．23cm D．4cm

根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可． 【详解】

解：如图所示，正六边形的边长为2cm，OG⊥BC， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC=360°÷6=60°， ∵OB=OC，OG⊥BC，

1∠BOC =30°， 2∵OG⊥BC，OB=OC，BC=2cm，

∴∠BOG=∠COG=∴BG=∴OB=

11BC=×2=1cm， 22BG=2cm， osin30∴OG=OB2BG222123， ∴圆形纸片的半径为3cm， 故选：A．

【点睛】

本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．