椭圆综合例题

1、椭圆

xa22yb221(a,b0)的两个焦点

F1、F2，点P在椭圆C上，且P F1

⊥PF2,,| P F1|=4,,| P F2|=14.

33（I）求椭圆C的方程；

（II）若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。

解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以2a在Rt△PF1F2中，F1F2从而b2=a2－c2=4, 所以椭圆C的方程为

x2PF1PF26，a=3.

PF22PF1225,故椭圆的半焦距c=

5,

9y24＝1.

(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0. 因为A，B关于点M对称. 所以所以直线l的方程为y(x2)1,

x1x2218k29k249k2. 解得k，

即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意)

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2，1）. 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且

x19x2922y1421,



① ②

0.

y2421,

由①－②得

(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)4 ③

因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2, 代入③得

y1y2x1x2＝，即直线l的斜率为，

9988所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)

2、如图，直线y＝kx＋b与椭圆的面积为S．

x24y1交于

2A、B两点，记△AOB

(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；

y（Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．

(I)解：设点A的坐标为((x1,b)，点B的坐标为(x2,b)， 由

x2A4y1，解得x1,221b22

2OBx所以S12b|x1x2|2b1bb1b1

22当且仅当b22时，．S取到最大值1．

ykxb（Ⅱ）解：由得 x22y14(4k1)x8kbx4b4016(4kb1)

22222

①

1k2｜AB｜＝1k|x1x2|216(4kb1)4k12222 ②

k1

2又因为O到AB的距离d|b|1k22S|AB|1 所以b2 ③

③代入②并整理，得4k44k210 解得，k

212,b232，代入①式检验，△＞0

故直线AB的方程是

y22x62或y22x622或y22x62或y22x62．

3、设F、F分别是椭圆

12x24y1的左、右焦点.

（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1PF2的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.

x224、已知椭圆ae22y2b1(ab0)的左、右焦点分别为F、F，离心率

12，右准线方程为x2。

（I）求椭圆的标准方程；

（II）过点F的直线l与该椭圆交于M、N两点，且

1226F2MF2N3，求

直线l的方程。

解：（Ⅰ）易知a2,b1,c所以F13,0,F23 3,0，设Px,y，则

3x,yxy3x1PF1PF23x,y,222x24313x428

因为x2,2，故当x0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1PF2当x2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1PF2有最小值2

有最大值1

（Ⅱ）显然直线x0不满足题设条件，可设直线l:ykx2,Ax1,y2,Bx2,y2，

ykx2联立，消去yx22y14122，整理得：kx4kx30

4∴x1x24kk214,x1x223k14

由4k24k001234k304得：k32或k32

又0A0B90cosA0B0OAOB0

∴OAOBx1x2y1y20

又y1y2kx12kx22k2x1x22kx1x243k22k148kk22144k1k2214

∵

23k14k1k22140，即k4

2 ∴2k2

故由①、②得2k32或

32k2

4、在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆

x22y1有两个不同的交点P2和Q．

（I）求k的取值范围；

（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量请说明理由．

解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为ykx代入椭圆方程得

x2OPOQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，

2，

2(kx2)1．

2122整理得kx222kx10 ①

122直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k24k4k20，

22222，∞． 22解得k或k22．即k的取值范围为∞，（Ⅱ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OPOQ(x1x2，y1y2)，

由方程①，x1x2又y1y2而

42k12k2． ②

k(x1x2)22． ③

A(2，0)，B(0，，1)AB(2，1)．

所以OPOQ与AB共线等价于x1x222222(y1y2)，

将②③代入上式，解得k由（Ⅰ）知k5、已知椭圆

x2．

222或k，故没有符合题意的常数k．

F，O为坐标原点。

2y1的左焦点为

（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；

（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.

本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。

解：（I）a2圆过点圆心

2,b1,c1,F(1,0),l:x2.

2O、F，

12M在直线x上。

12,t),则圆半径

设M(r(12)(2)32.

由OMr,得(12)t1222322, 解得t2.

2所求圆的方程为(x)(y2)94.

（II）设直线AB的方程为yk(x1)(k代入

x222220),

2y1,整理得(12k)x4kx2k20.

2直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。

4k22记A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点N(x0,y0), 则x1x2AB2k1,

的垂直平分线NG的方程为yy2k2201k(xx0). 令y0,得

xGx0ky0k0,122k1k222k1k222k11214k22.

xG0,12,0).

点G横坐标的取值范围为(

6、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l. (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程. 解：设椭圆方程为

xa22yb221(abc)

bca22222a4b1 （Ⅰ）由已知得c2222c1abc∴所求椭圆方程为

x22y1.

2（Ⅱ）解法一：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为

ykx2,A(x1,y1),B(x2,y2)

ykx2由，消去x22y12y得关于x的方程：(12k2)x28kx60

2由直线l与椭圆相交于A、B两点，0k224(12k2)0解得k8kxx12212k又由韦达定理得6xx12212k32

|AB|1k|x1x2|21k2(x1x2)4x1x221k221k12k2216k242 原点O到直线l的距离d122 2k322SAOB|AB|d16k2412k22212k.

令m

2k3(m0)，

2

22m4m则2k222m3

2

S22mm42

当且仅当m此时k1424m即m

2时，

Smax22

. 所以，所求直线方程为142y40解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为

ykx2,A(x1,y1),B(x2,y2)，则直线l与x轴的交点D(2k,0)，

8kxx122312k2由解法一知k且26xx12212k，

解法1：S

AOB122|OD||y1y2|12k2|2||kx12kx22| =|x1x2| .

(xx)4x1x22216k2412k2222k32212k下同解法一.

SPOBSPOA122||x2||x1|||x2x1|=解法2：SAOB下同解法一.

222k32212k

7、已知椭圆C:离为

3xa22yb22=1(a＞b＞0)的离心率为

63,短轴一个端点到右焦点的距

.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为

32，求

△AOB面积的最大值.

c6，解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意3 aa3，b1，所求椭圆方程为

x23y1．

2（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)． （1）当AB⊥x轴时，AB3．

（2）当AB与x轴不垂直时， 设直线AB的方程为ykxm． 由已知m1k232，得m234(k1)．

2把ykxm代入椭圆方程，整理得(3k21)x26kmx3m230，

x1x26km3k12，x1x223(m1)3k1222．

AB2236k2m212(m1)(1k)(x2x1)(1k)2223k1(3k1)212(k1)(3k1m)(3k1)12k422222223(k1)(9k1)(3k1)122222

1223639k6k1329k1k2(k0)≤364．

当且仅当9k21k2，即k33时等号成立．当k0时，AB3，

综上所述ABmax当AB2．

123232最大时，△AOB面积取最大值SABmax．

0)8、设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线ykx(k

与

AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

（Ⅰ）若ED6DF，求k的值；

（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值． （Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为

x24y1，

2直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k······················ 20)． ·

x2，

分

如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1且x1，x2满足方程(14k2)x2故x2x1214k24，

y B O E F D A x ．①

1510由ED6DF知x0x16(x2x0)，得x0(6x2x1)x2277714k；

由D在AB上知x02kx0所以

212k10714k22，得x0212k．

，

化简得24k225k60， 解得k23或k38．·········································································· 6分

（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为

h1x12kx125x22kx2252(12k14k)22，

． ················································ 9分

5(14k)2(12k14k)5(14k)222h2又

SAB12215，所以四边形AEBF的面积为

AB(h1h2)

1254(12k)5(14k)2

2(12k)14k2 2214k4k14k2

≤22，

当2k1，即当k12时，上式取等号．所以S的最大值为21，AO2．

2． · 12分

解法二：由题设，BO设y1kx1，y2kx2，由①得x20，y2y10，

故四边形AEBF的面积为

SS△BEFS△AEF

分

x22y2 ··························································································· 9

(x22y2)222 x24y24x2y22(x24y2)22≤ 22，

当x22y2时，上式取等号．所以S32)的最大值为22．·················· 12分

9、已知，椭圆C过点A(1,，两个焦点为（－1，0），（1，0）。

（1） 求椭圆C的方程；

（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反

数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 （20）解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为（舍去）

所以椭圆方程为

x211b294b21，解得b3，b22344y231。 ……………4分

（Ⅱ）设直线AE方程为：y22k(x1)3232，代入

x24y231得

(34k)x4k(32k)x4(k)120322 设E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A(1,

4(xF32)在椭圆上，所以

2234k32k)12

yEkxEk ………8分

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以—K代K，可得

xFyE2234k3kxEk24(3k)122

k(xFxE)2kxFxE1所以直线EF的斜率KEFyFyExFxE12

即直线EF的斜率为定值，其值为。 ……12分

210、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l:ykxm与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以

AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

xa22【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为

ac3,ac1，a2,c1,b3

2yb221(ab0)

x24y231.

(II)设

ykxm2A(x1,y1),B(x2,y2)，由x2得 y134

(34k)x8mkx4(m3)0，

222mk16(34k)(m3)0，34km0222222.

x1x28mk34k2,x1x24(m3)34k222.

y1y2(kx1m)(kx2m)kx1x2mk(x1x2)m以

y123(m4k)34k222.

AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),y2kADkBD1，

x12x22221，y1y2x1x22(x1x2)40，

3(m4k)34k224(m3)34k22216mk34k240，

7m16mk4k0，解得 m12k,m22k7，且满足34k2m20.

当m2k2k7时，l:yk(x2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 时，l:yk(x27)，直线过定点(2727,0).

当m综上可知，直线l过定点，定点坐标为(

,0).