抛物线及其性质
【考纲说明】
1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。 2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。
【知识梳理】
1． 抛物线定义 ：平面内到一定点
F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．
2． 抛物线四种标准方程的几何性质：
图形
参数 p 几何意义
开口方向
参数 p 表示焦点到准线的距离， p 越大，开口越阔
右
左
上
.
下
标准方 程 焦点位 置 焦点坐 标 准线方 程
y2
2px( p 0)
X 正
y2 2px(p 0)
X 负
x2 2 py( p 0)
x2
2py( p 0)
Y 负
Y 正
x
( ,0) 2
p
2
p(
p
,0) p 2
2
x
y
(0, )
2
p
2
p
(0, p )
2
p
y
2
y 0, x R
范 围 对 称轴 顶点坐 标
x 0, y R
x 0, y R
y 0, x R
X 轴 X 轴 Y 轴
Y 轴
AF
（0,0 ）
焦半径
离心率 通 径
A( x1, y1 )
e 1
2p
AF
x1
p 2
AF
x1
p 2
AF
y1
p 2
y1
p 2
焦点弦长 AB
( x1 x2 ) p ( x1 x2 ) p ( y1 y2 ) p
l 相切
( y1 y2 ) p
焦点弦长 AB
以 AB 为直径的圆必与准线
1 / 8
的补充
，
若 AB 的倾斜角为
AB
2p
若
的倾斜角为 ，则
A(x1, y1) B( x2 , y2 )
sin 2
AB
AB
2 p cos2
x1x2
2p
y y
p2
1 2
1 AF
1
AF BF AB AF BF
2 p
BF AF BF
3．抛物线
y 2 2px( p 0) 的几何性质：
因为 p>0，由方程可知 x≥0，所以抛物线在
(1) 范围
y 轴的右侧，
当 x 的值增大时， | y | 也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
(2) 对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向．
(3) 顶点（ 0， 0），离心率： e 1，焦点 F ( ,0) ，准线 x
pp
，焦准距 p．
2
2
2(4) 焦点弦：抛物线 y
2 px( p 0) 的焦点弦 AB ， A( x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) , 则 | AB |
x1 x2 p ．
弦长 |AB|=x
1
+x +p, 当 x =x 时，通径最短为 2p。
2
1
2
4．焦点弦的相关性质：
焦点弦 AB ，
A x1 y1 B(x2 , y2 ) F (
，焦点 2 ( , ) ,
p
,0)
2
(1) 若 AB是抛物线 y
2px( p 0)的焦点弦（过焦点的弦） ，且 A(x1 , y1) ， B( x2 , y2 ) ，则： xx12 p2 ， y1y2 p2。
4
2
(2) 若 AB是抛物线 y
2px( p 0)的焦点弦，且直线 AB的倾斜角为 α ，则 AB
2 P sin 2
（ α≠ 0）。
(3)
已知直线 AB是过抛物线 y2
2px( p 0)焦点 F,
1
AF 1 AF BF AF BF BF AB 2 AF BF p
(4) 焦点弦中通径最短长为 2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．
(5) 两个相切： ○1 以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切. ○2 过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为
直径端点的圆与焦点弦相切。
5．弦长公式： A( x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) 是抛物线上两点，则
AB
(x1 x2 )
2
( y1 y2 )
2
1 k | x1 x2 | 1
2
1k
2 | y1 y2 |
【经典例题】
（ 1）抛物线——二次曲线的和谐线
椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合 . 其
离心率 e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中
. 由于这个美好的 1，既使它享尽和谐之美，
又生出多少华丽的篇章 .
2 / 8
【例 1】 P 为抛物线
y2 2 px 上任一点， F 为焦点，则以 PF 为直径的圆与
y 轴（
）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 位置由 P 确定
【解析】如图，抛物线的焦点为
Fp
,0 ，准线是
Y
2
H Q
P
l : x
p. 作 PH ⊥ l 于 ，交H y
Q
轴于
，那么PF PH
，
N
M
2
且 QH
OFp 作 MN ⊥ y 轴于 N 则 MN是梯形 PQOF
. 的
p
O F ( ,0)X
2 1
2
中位线， MN
OF
PQ1
1
PH
PF .故以
2
2l : x = - p
2
2
PF 为直径的圆与 y 轴相切，选 B.
2y= 2 px
【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则
分别是相离或相交的 .
（ 2）焦点弦——常考常新的亮点弦
有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关
. 理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的【例 2】 过抛物线 y 2 2 px p
0 的焦点 F 作直线交抛物线于 A x1 , y1 , B x2 , y2
两点，求证：
（ 1） AB x 1
1
2
1 x2 p
（ 2）
BF p
AF
【证明】（ 1）如图设抛物线的准线为
l ，作
AA AF AA1xp
1
l A1, BB1 l于 B1，则
1
2，
Y
BF
BB1
xp 2
. 两式相加即得：
A A(x,y)
1
1 1
2
AB
x1 x2
p
F
X
B 1
B(x,y)
2
2
（ 2）当 AB⊥ x 轴时，有
l
AF BF
p，
1
1
2
AF BFp成立；
AB的方程当 AB 与 x 轴不垂直时，设焦点弦
为：
y k x
p . 代入抛物线方程：
2
2
k
2
p
2 px xp
2
x. 化简得： k2 x 2
p k
2
2
k 2
0
1
2
4
∵方程（ 1）之二根为 x2 ，x ，∴ x 1
x2
.
1
2
k4
3 / 8
.
1 1 1 AA1
1 BB1
1 x1
AF BF
p 2
1 x2
p 2
2
. p
x1 x2 p
x1 x2
p
2
x1 x2
2
p 4
p
2
4
x1 x2 p
p
x1 x2 2
x1 x2 p
p
2
p 2
x1
x2 p
4
故不论弦 AB与 x 轴是否垂直，恒有
1 AF
1 BF
2 p
成立 .
（ 3）切线——抛物线与函数有缘
有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关 【例 3】证明：过抛物线 y2 【证明】对方程 y2
. 理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功
.
2 px 上一点 M（ x0， y0）的切线方程是： y0y=p（ x+x 0）
2 p， y
2px 两边取导数： 2 y y
p
y
.切线的斜率
k y
p
x x
0
.由点斜式方程：
y y0
y0
p x x0
y0
y0 y
px px0
y02
1
y02
2 px0，代入（）1即得： y 0y=p（ x+x0）
（ 4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏
抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值
.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获 .
例 如 ： 1. 一 动 圆 的 圆 心 在 抛 物 线 y 2
8x 上 ， 且 动 圆 恒 与 直 线 x
0 相 切 ， 则 此 动 圆 必 过 定 点
2
）
（
A. 4,0
B. 2,0 C. 0,2 D. 0, 2
B.
显然 . 本题是例 1 的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选 2. 抛物线 y2 2 px 的通径长为 2p；
3. 设抛物线 y2 以下再举一例 【例 4】设抛物线
2 px 过焦点的弦两端分别为 A x1 , y1
, B x2 , y2 ，那么： y1 y2p2
y2 2 px 的焦点弦 AB在其准线上的射影是 A1B1，证明：以 A1B1 为直径的圆必过一定点
A B =AB=2p，而 A B 与 AB的距离为 p，可知该圆必过抛物线的
1 1
1 1
【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么
焦点 . 由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点
【证明】如图设焦点两端分别为 A x1 , y1 , B
. 以下我们对 AB的一般情形给于证明 .
x2 , y2 ，
4 / 8
那么： y1 y2
p2
CA1 CB1 y1 y2
x 轴于 C，那么 CF
p 2. p.
Y
A1 1
M
A
设抛物线的准线交
A1FB1中 CF
这就说明：以
2
1
1
CA1 CB1 .故 A1 FB1 90 .
A B 为直径的圆必过该抛物线的焦点.
C
F
X
B1
● 通法 特法 妙法
B
（ 1）解析法——为对称问题解困排难
解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）【例 5】（ 10. 四川文科卷 .10 题）已知抛物线
y=-x 2+3 上存在关于直线 A 、 B，则 |AB| 等于（
A.3
.
x+y=0 对称的相异两点
）
Y
B. 4 C.3
2
D.4
2
B
【分析】直线
AB 的中点必在直线
AB必与直线 x+y=0 垂直，且线段
x+y=0 上，因得解法如下 .
M
【解析】∵点 A、B关于直线 x+y=0 对称，∴设直线 AB 的方程为： y
由
x m .
A
O
X
y x m y
x2
x3
2
x m
3 0
1
l? x + y = 0
设方程（ 1）之两根为 x ，x ，则 x1 x2
1
2
1.
设 AB的中点为 M（ x0， y0），则
x0
x1 x2
2
1 . 代入 x+y=0： y0= .故有M 2 2
111
2
, .
2
从而 m y x 1 . 直线 AB的方程为： y
x 1.方程（ 1）成为： x2
x 2 0 .解得：
x 2,1 ，从而 y
1,2 ，故得： A（ -2 ， -1 ），B（ 1， 2） . AB 3 2，选 C.
（ 2）几何法——为解析法添彩扬威
虽然解析法使几何学得到长足的发展，
但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算， 这又使得许多考生对解析几何习
.
题望而生畏 . 针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法
【例 6】（ 11.全国 1 卷 .11 题）抛物线 y2 4x的焦点为 F ，准线为 l ，经过 F 且斜率为
上方的部分相交于点
3 的直线与抛物线在 x 轴
A ， AK⊥l ，垂足为 K ，则 △AKF 的面积（
）
D ． 8
Y
K
A ． 4
【解析】如图直线
B．3 3 C．4 3
A 60 °
AF 的斜率为 3 时∠ AFX=60 ° .
△ AFK为正三角形 . 设准线 l 交 x 轴于 M，则 FMp 2,
M O
F(1,0)
X
L:x=-1
Y=2px
2
5 / 8
且∠KFM=60°，∴ KF 4, S AKF
3 42 4
4 3.选C.
【评注】（ 1）平面几何知识：边长为
面积用公式 S
a 的正三角形的
3
4
a2 计算 .
（ 2）本题如果用解析法，需先列方程组求点
A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积
. 虽不是很难，但决没有
如上的几何法简单 .
（ 3）定义法——追本求真的简单一着
许多解析几何习题咋看起来很难 . 但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单 .
【例 7】（ 07. 湖北卷 .7 题）双曲线
2
2
F1和 C1 : x
2
y2 1(a 0， b 0) 的左准线为
l ，左焦点和右焦点分别为
F2
；抛物线 C2 的线为 l ，焦点为
a
b
FF2；C1 与 C2 的一个交点为 M ，则
1F2
MF1 等于（ ）
MF1
MF2
A ． 1
1
1
B．
C．D．1
2
2
【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义
方面去寻找出路吧 .
如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半
焦距 c，离心率为 e，作 MH
l于 H ，令
y
MF1
r1, MF2 r2 .∵点 M 在抛物线上，
MF
H
r 2
M(x,y)
1 MF1 r1
1
r
r 2
MH
MF2 r2 ,故
MHe，
x
MF2
r2
F1( -c , 0)
O F2 (c,0)
a 2
这就是说：
|MF1 | 的实质是离心率
e.
l : x = -
c
|MF2 |
其次， | F1 F2
|
与离心率 e 有什么关系？注意到：
|MF1|
F1F2 2c e 2a e r1 r2
1 MFe 1 .
1
r1
r1
r
e 1
1
e
这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于
| F1F2 | |MF1 | e 1 e
1.∴选 A..
|MF1|
|MF2 |
6 / 8
（ 4）三角法——本身也是一种解析
三角学蕴藏着丰富的解题资源 . 利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函
.
.
数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的
因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算
A
抛物线 y 2
【例 8】（ 09. 重庆文科 .21 题）如图，倾斜角为 a 的直线经过
8x 的
焦点 F，且与抛物线交于
A、 B 两点。
（Ⅰ）求抛物线的焦点
F 的坐标及准线 l 的方程；
（Ⅱ）若 a 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线
m 交
x 轴于点 P，证明 |FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。M
【解析】（Ⅰ）焦点 F（2， 0），准线 l ; x
2 .
（Ⅱ）直线 AB ： y
tan x 2 1 .
x
y2 代入（ 1），整理得： y2 tan 8 y 16tan
0
2
8
y1 y2
8
2）之二根为
y1
，y2tan
设方程（，则
.
y1 y2
16
y0 y1 y2
4
设 AB中点为 M
x0 , y0 ,则
2 tan4cot
x
cot y
2 4cot 2
2
0
0
AB的垂直平分线方程是： y 4cot cot
x 4cot 2 2 .
令 y=0，则 x 4cot 2 6，有 P 4cot 2
6， 0
故FP OP
OF
4cot 2
6 2
4 cot2 1 4cos 2
于是 |FP|-|FP|cos2a= 4csc2
1 cos2
4csc2 2sin 2
8 ，故为定值 .
（ 5）消去法——合理减负的常用方法.
避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题
. 其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.
【例 9】 是否存在同时满足下列两条件的直线
：（ 1） 与抛物线
y
2
8xA
l
l
有两个不同的交点
和AB被直线 l 1 ： x+5y-5=0 垂直平分 . 若不存在，说明理由，若存在，求出直线
l 的方程 .
【解析】假定在抛物线
y
2
8x 上存在这样的两点
， ，
，
则有：
A x1 y1 B x2 y2 .
7 / 8
B 2
；（ ）线段
y12 y22
8x1 8x2
y1 y2
y1 y2 8 x1 x2
k
y1
AB
y2 x2
8 y1 y2
x1 1
∵线段 AB 被直线 l 1 ： x+5y-5=0 垂直平分，且 kl
1
， kAB 5，即
8 y1
y2
5
5
y1
y2
8 5
.
设线段 AB 的中点为 M x0， y0
，则 y0
y1 y2
2
4 . 代入 x+5y-5=0
得 x=1. 于是：
5
AB中点为 M
1， . 故存在符合题设条件的直线，其方程为：
4 5
y
4 5
5 x 1 ，即：25x 5 y 21 0
（ 6）探索法——奔向数学方法的高深层次
有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手” . 这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明 . 终于发现“无限风光在险峰” .
【例 10】（10. 安徽卷 .14 题）如图，抛物线 y=- x2+1 与 x 轴的正半轴交于点
依次记为 P1,P2 ,⋯ ,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为
角三角形△ Q1OP1, △ Q2P1P2,⋯ , △Qn-1 Pn-1Pn-1,当 n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为
1
【解析】∵ OA 1， 图中每个直角三角形的底边长均为
A，将线段 OA 的 n 等分点从左至右
Q1， Q2，⋯， Qn -1，从而得到 n-1 个直
.
n
Pk
设 OA 上第 k 个分点为
k ， 代入
0 .
y
2
x 1 y 1
：
k 2 n
2
.
n
ak
第 k 个三角形的面积为：
1 1 1 k . 2 n n2
2
S
1 2n
n 1
n 1
1
22
2
n 1
n 1 4n 1 12n2
.
n2
故这些三角形的面积之和的极限
S
lim n 1 4n
12n2 n
1
lim 1 1
12 n n
1
4 1
n 1 3
8 / 8
