第5讲 图形的分割
【专题精华】
在研究用直线、圆等图形分割平面时，我们一般从简单的情况入手分析。在研究怎样将一个图形分割成满足某种条件的若干块的问题时，要注意到图形的对称性。 【教材深化】
[题1] 5条直线最多将平面分成多少个部分？
<敏捷思维> 首先考虑5条直线不太简单，我们先研究一些简单的情况，不难知道： 一条直线最多将平面分为2个部分； 二条直线最多将平面分为4个部分；
三条直线最多将平面分为7个部分； 四条直线最多将平面分为11个部分； 五条直线最多将平面分为16个部分。
<全解> 5条直线最多将平面分成16个部分。 <拓展探究> 针对上面一组数据，我们不难发现二条直线分平面的4部分是在一条直线分平面的2部分的基础上增添了2部分；三条直线分平面的7部分恰好是在二条直线分平面的4部分的基础上增添了3部分；类似地，四条直线分平面的11部分是在三条直线分平面的7部分的基础上增添了4部分„„仿照此分析法可以得出，n条直线最多分平面的部分数为：
nn2 2+2+3+„„+（n-1）+n=。
2[能力冲浪]
1、10条直线最多可以把平面分成多少部分？
2、20个三角形最多把平面分成多少部分？
3、在平面内画六条直线和一个圆，最多能把平面分成几个部分？
[题2] 把一个正方形分成形状相同，面积相等的四个图形。 <敏捷思维> 本题是均分图形，答案有多种，既可以用线段分割，也可以用曲线分割，无论是用线段分割，还是用曲线分割，经过旋转，每一种又可以得到很多种分法。
<全解>
1、分割线是线段的
② ③ ④ ①
2
⑤ ⑦ ⑥ ⑧
2、分割线是曲线的。
⑨ ⑩
3、如果选择其中一种，把它的分割线想象成风车的叶轮，让它们旋转起来，还可以得到更多的方法。如：旋转图⑤可得到下面的图。
如：旋转图⑨，可得到下面的图
<拓展探究> 像这类题目，可以凭直觉，先找出部分分法，然后借出想象，“旋”出无数分法。
[能力冲浪]
1、将如下图所示的三角形，分成面积相等的4块，你有几种分法？请把各种分法画
A 出来（每种不同的分法思路，用一个图表示）。
B C
2、请在下图中画出三条线段，将等腰梯形分成四个面积相等，形状相同的图形。
3、将一个边长为6厘米的正方形分成面积相等的6块，要求每一块都通过正方形的中心。（画出示意图）。
【生活数学】
[题3] 智力卡片上有一幅点子图，如下图的20个点，每相邻三点“∴”或“∵”所成三角形都是等边三角形，面积是1平方厘米，试求三角形ABC的面积。 A B
C
<敏捷思维> 所有这些小等边三角形的边组成了“格线”，沿某些格线把三角形ABC分割开，如图中把三角形ABC分割成三角形ABR、BCQ、CAP及PQR。
A D P
B Q R
F C E
把三角形ABR补成平行四边形ARBD，把三角形BCQ补成平行四边形BQCE，把三角形CAP补成平行四边形APCF，由于这三个平行四边形的边都是格线，从而它们的面积数都是整数。
平行四边形ARBD含有四个小等边三角形，故它的面积是4平方厘米，于是三角形ABR的面积=4÷2=2（平方厘米）。
平行四边形BQCE含有8个小等边三角形，故它的面积是8平方厘米，于是三角形BCQ的面积=8÷2=4（平方厘米）。
平行四边形APCF含有6个小等边三角形，故它的面积是6平方厘米，于是三角形ACP的面积=6÷2=3（平方厘米）。 三角形PQR的面积是1。
<全解> 三角形ABC的面积=1+2+3+4=10（平方厘米）。 <拓展探究> 这些点子常常称为“格点”，以格点为顶点连成的三角形、四边形„„就称为格点三角形，格点四边形„„在求格点多边形面积时，常常利用“格线”把图形分割成若干块，分别求出每一块的面积，最后再求各块面积的和。
[能力冲浪]
1、计算下面三角形格点中的四边形的面积（其中相邻三点所围成的等边三角形的面积为1）。
2、计算下面三角形格点多边形的面积。（相邻三点所围成的等边三角形的面积为1）
3、求图中阴影部分图形的面积。（相邻三点所围成的三角形的面积为1）
[题4] 现有一张5厘米长,1厘米宽的长方形纸片，请你将它分成5块，使它能拼成一个正方形。
<敏捷思维> S长=5平方厘米，则S正=5平方厘米，即拼成的正方形边长的平方为5，
可联想斜边的平方正好为5，故可将长方形按此思路去分割。
1厘米 2厘米 <全解> 先将长方形的长分割成2厘米、1厘米、2厘米
2厘米 1厘米 2厘米 1厘米
再如下图所示去拼：
米 2厘 1厘 米
<拓展探究> 这道题分割以后，还需拼接图形。可先找出拼好后的图形的特征，再思考如何分割。
[能力冲浪]
1、把图中两个图形中的某一个分成三块，最后合在一起，使它们成为一个正方形。
甲 10
5
7
10
4
2
2、把下图切割后拼成一个正方形，先画出切割示意图，再画出新拼成的正方形示意图。
A
3、将下图切成三块，拼成一个正方形。
【感受奥赛】
[题5] 有一位老人有一块正方形的土地，在土地上，他种下了四棵树，排成一排（如图），老人有四个儿子，老人在临终前对四个儿子说：“我死后，你们可以把这块地分成形状大小完全相同的四块，每人分一块土地耕种，但是这四棵树是我亲手种的，你们必须每人分一棵，而且这四棵树既不准砍掉也不准移走。”你知道四个儿子应该怎么做吗？
<敏捷思维> 观察4棵树的位置，我们将大正方形分成个（8行8列）相等的小正方形，那么四棵树分别在四个小正方形内，可以考虑把个正方形，在每人分一个栽了树的小正方形的前提下进行分割。
最外圈共有28个小正方形，平均每人分7个，最外圈分成1×7的四个小长条，每人得一条。
第2圈共有20个小正方形，平均每人分5个，把这圈分成1×5的四个长条，每人又各分得一条。
第3圈共有12个小正方形，平均每人分得3个，各得一个1×3的长条，第4圈的4个小正方形则每人各得1个。
于是每人都分得了16个小正方形，每人的土地连成一片，且四人分得的土地形状也完全相同，而且每人都分得了一棵树。
<全解>
2434223414323<拓展探究> 图形按某种要求进行切拼时，有时候要经过认真计算才行。 [能力冲浪]
1、图中有四个圆圈，试把方格图案分成大小、形状完全相同的非正方形图形，且使每一部分都有一个圆圈。
2、如图，将图形分成大小、形状相同的三块，并且每块带一个☆。
☆☆
☆
3、一块地上种植了4棵大樟树，如图中“◎”所示，房地产商要在如图的这块地上造4幢别墅，要求大小、形状都相同，并且每幢别墅里都要有一棵大樟树，请你帮助划分。
◎◎◎
◎
5、图形的分割提高篇
1、60条直线最多可以把平面分成多少个部分？
2、将一个边长为10厘米的正方形分成面积相等的5块，要求使每一块都通过正方形中心？
3、一个正方形可以剪成4个正方形，一个正方形能否剪成11个正方形（大小不一定相同），如果能，应如何剪？
4、有一块剩余的方格布料（如图），有两个缺角。请你把它剪成两块，然后拼成一个正方形。
5、张阿姨家搬新居，她想把一块长4.8米，宽3米的长方形地毯，放到一个长4米，宽3.6米的房间中，为使铺设美观，地毯需要剪成形状、大小都相同的两块，你能帮帮张阿姨吗？
6、有一块梯形田地，形状如图，已知BC=2CD，试将它分割成大小相等、形状相同
D 的四块。 C
60° A B 7、怎样把图中的正方形分成形状相同的四块，使每块恰好有奥林匹克四个字？
匹奥克林林林匹克克匹匹奥奥奥克林
8、将下图中的正方形分割成形状和大小一样的四块，并且每一块恰好都有1、2、3、4四个数字。
2 1 1
1 2
4 4 1
3 3 3 3
4 4
2 2
9、村里一片土地上有3棵树和4口井，如图，用▲表示树，用○表示井）。
○ ▲
▲ ○
○
▲ ○ （1）要将这片土地分成形状大小相同的三片，让三户承包经营，每片都有一棵树，该怎么分？
（2）若分成形状大小相同的四片，让四户承包经营，要求每片有一口井，又该怎么办？
10、王老汉别无财产，只有一块薄田，临终前想把它均匀地（面积相等）分给两个儿子要求只能在中间筑一道直直的田埂。（2005年仙桃实验初中理科班招生试题）
（1）请你在下图中直接画出分割线表示你设计的方案，并加以必要的文字说明。
（2）按你设计的方案，哪块地的周长较长些？
