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教学目标 教学重点 教学难点 一、问题情境 问题1：在平面上任意两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)P1P2掌握空间两点间的距离公式． 空间两点间的距离公式的应用． 空间两点间的距离公式的推导． 教学过程 间2复备栏 之距离2的公式为(x1x2)(y1y2)，那么对于空间中任意两点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？ 问题2：空间中任意一点P(x,y,z)到原点之间的距离公式会是怎样呢？z 二、学生活动 对于问题２，引导学生构造长方体来完成，学生在教师的指导下作答得出： OPxyz222P(x,y,z)O xy．用这一结果验证问题１所得的猜想． 三、建构数学 问题3：如何来证明空间中任意两点P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)之间距离的公式P1P2(x1x2)(y1y2)(z1z2)222呢？ xz O P2(x2,y2,z2) yQ(x 2,y2,z1) (x,y,z) P1(x1,y1,z1)R222 证明： 以线段P1P2为对角线作长方体，使它所有的第 1 页

棱都与坐标轴平行，则有Q(x2,y2,z1)，R(x1,y2,z1) 在Rt△P1QR中， P1Q2RQ222P1R2222(x2x1)(y2y1) 在Rt△P1QP2中， P1P2P1QP2Q22(x2x1)(y2y1) +(z2z1)2． 故 P1P2(x1x2)(y1y2)(z1z2)222． 三、数用 例1 求空间两点P1(3,2,5)，P2(6,0,1)间的距离P1P2． 解：由两点间的距离公式，得 P1P2(63)(01)(15)2227． 练习：P113 ,1,2． 变式1：在x轴上找一点P，使它到P1(3,2,5)的距离为33． 解：设P(x,0,0)，PP1(x3)242533，所以 x5或x1 即P(5,0,0)或P(1,0,0)． 变式2：在x轴上找一点P，使PP1PP2． 解：设P(x,0,0)，PP1(x3)2425 PP2222(x6)1，由PP1PP2， 2所以 (x3)2425(x6)21 解之得x16，所以所求点为P(16,0,0) 变式3：在xOy平面上求一点P，使它到P1(0,4,7)的距离为5，到P2(4,0,2)的距离为22． 解：设P(x,y,0) 22x(y4)725 22(x4)y422x2所以y25x2或5y255 变式4：在xOy平面内的直线xy1上确定一点P，使P到P1(3,2,5)的距离最小． 2解：设P(x,1x,0)，PP12(x3)25 2所以PP1的最小值为5． 第 2 页

例2 平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为x2y21．在空间到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程． 解：到坐标原点的距离为1的点P(x,y,z)的轨迹是一个球面，满足OP1，即 xyz2222221． 因此， xyz1． 这就是所求的球面方程． 练习：课本第113页, 第3题． 问题4：把平面上的结论类比到空间，你还可以得到哪一些结论？ 比如：空间两点的中点的坐标公式；到两定点的距离相等的点的集合；平行六面体四条对角线的平方和等于12条棱的平方和等． 四、回顾小结 空间两点间的距离公式： P1P2(x1x2)(y1y2)(z1z2)222． 注意类比方法在解决一些空间问题中的应用． 五、布置作业 教后反思

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