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2021年湖北省十堰市中考数学试卷

来源：九壹网

2021年湖北省十堰市中考数学试卷

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内. 1．（3分）（2021•十堰）−的相反数是（） A．﹣2

B．2

C． 21

2D．−2

2．（3分）（2021•十堰）如图，直线AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，则∠3＝（）

A．87°

B．23°

C．67°

D．90°

3．（3分）（2021•十堰）由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（）

A． B． C． D．

4．（3分）（2021•十堰）下列计算正确的是（） A．a3•a3＝2a3 C．（a+b）2＝a2+b2

B．（﹣2a）2＝4a2 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2

5．（3分）（2021•十堰）某校男子足球队的年龄分布如下表：

年龄人数

13 2

14 6

15 8

16 3

17 2

18 1

则这些队员年龄的众数和中位数分别是（） A．8，15

B．8，14

C．15，14

D．15，15

6．（3分）（2021•十堰）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（）

第1页（共32页）

A．C．

400𝑥𝑥

−−

450𝑥−50450𝑥+1

=1 B．

450450

𝑥−50𝑥+1

−

400𝑥𝑥

400

=50 D．−

400

=50

7．（3分）（2021•十堰）如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（）

A．（15√3+2）m

B．5√3m C．15√3m

D．（5√3+2）m

8．（3分）（2021•十堰）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD是⊙O的直径，若AD＝3，则BC＝（）

A．2√3 B．3√3 C．3

D．4

9．（3分）（2021•十堰）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）

A．2025

B．2023

C．2021

𝑘

D．2019

10．（3分）（2021•十堰）如图，反比例函数y=𝑥（x＞0）的图象经过点A（2，1），过A作AB⊥y轴于点B，连OA，直线CD⊥OA，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线CD的对称点B′恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为（）

第2页（共32页）

A．

5√5−14

B．

C． 3

D．

5√5+14

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）（2021•十堰）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人，把数字1412000000用科学记数法表示为． 12．（3分）（2021•十堰）已知xy＝2，x﹣3y＝3，则2x3y﹣12x2y2+18xy3＝． 13．（3分）（2021•十堰）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为．

14．（3分）（2021•十堰）对于任意实数a、b，定义一种运算：a⊗b＝a2+b2﹣ab，若x⊗（x﹣1）＝3，则x的值为．

15．（3分）（2021•十堰）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是．

16．（3分）（2021•十堰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是平面内一个动点，且AP＝3，Q为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是．

第3页（共32页）

三、解答题（本题有9个小题，共72分）

17．（5分）（2021•十堰）计算：√2cos45°+（）1﹣|﹣3|．

﹣

18．（5分）（2021•十堰）化简：（

𝑎+2

𝑎2−2𝑎

−

）÷𝑎．

𝑎2−4𝑎+4

𝑎−1

𝑎−4

19．（9分）（2021•十堰）为庆祝中国党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．

等级 A B C D

根据图表信息，回答下列问题：

（1）表中a＝；扇形统计图中，C等级所占的百分比是；D等级对应的扇形圆心角为度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有人；

（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率．

成绩（x） 90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80 x＜70

人数 15 a 18 7

20．（7分）（2021•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根．

（1）求实数m的取值范围；

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（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．

21．（7分）（2021•十堰）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．

22．（8分）（2021•十堰）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若tan∠A=，⊙O的半径为3，求EF的长．

23．（9分）（2021•十堰）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为：y=0.25𝑥+30(1≤𝑥≤20且𝑥为整数){，且日销量m（kg）与时间x（天）之间的变化规律35(20＜𝑥≤40且𝑥为整数)符合一次函数关系，如下表：时间x（天）日销量m（kg）

（1）填空：m与x的函数关系为；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当

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1 142

3 138

6 132

10 124

… …

地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．

24．（10分）（2021•十堰）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；

（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP＝AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ的面积等于

√3，求线段AP的长度． 4

25．（12分）（2021•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；

（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD=√3MN，求N点的坐标．

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2021年湖北省十堰市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格子内. 1．（3分）（2021•十堰）−2的相反数是（） A．﹣2

B．2

C． 21

D．−2

【分析】只有符号不同的两个数互为相反数．【解答】解：−的相反数是．

故选：C．

【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 2．（3分）（2021•十堰）如图，直线AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，则∠3＝（）

A．87°

B．23°

C．67°

D．90°

【分析】根据“两直线平行，内错角相等”∠C＝55°，再根据三角形的外角定理求解即可．

【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝55°， ∴∠C＝∠1＝55°，

∵∠3＝∠2+∠C，∠2＝32°， ∴∠3＝32°+55°＝87°，故选：A．

【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及三角形外角定理是解题的关键．

3．（3分）（2021•十堰）由5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图为（）

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A． B． C． D．

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看，底层有3个正方形，上层右边有一个正方形．故选：A．

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 4．（3分）（2021•十堰）下列计算正确的是（） A．a3•a3＝2a3 C．（a+b）2＝a2+b2

B．（﹣2a）2＝4a2 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2

【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【解答】解：a3•a3＝a6，故选项A错误；（﹣2a）2＝4a2，故选项B正确；（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项C错误；（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故选项D错误；故选：B．

【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法． 5．（3分）（2021•十堰）某校男子足球队的年龄分布如下表：

年龄人数

13 2

14 6

15 8

16 3

17 2

18 1

则这些队员年龄的众数和中位数分别是（） A．8，15

B．8，14

C．15，14

D．15，15

【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：根据图表数据，同一年龄人数最多的是15岁，共8人，所以众数是15；根据图表数据可知共有22名队员，按照年龄从小到大排列，第11名队员与第12名队员的年龄都是15岁，所以，中位数是（15+15）÷2＝15．故选：D．

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【点评】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，众数是出现次数最多的数据，一组数据的众数可能有不止一个，找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．，中位数不一定是这组数据中的数．

6．（3分）（2021•十堰）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（） A．C．

400𝑥𝑥

−−

450𝑥−50450𝑥+1

=1 B．

450450

𝑥−50𝑥+1

−

400𝑥𝑥

400

=50 D．−

400

=50

【分析】设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产（x﹣50）台机器，根据“现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”列出方程即可．

【解答】解：设现在平均每天生产x台机器，则原计划平均每天生产（x﹣50）台机器，根据题意，得故选：B．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，利用本题中“生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”这一个等量关系，进而得出分式方程是解题关键．

450𝑥−50

−

400𝑥

=1．

A．（15√3+2）m

B．5√3m C．15√3m

D．（5√3+2）m

【分析】先根据题意得出AD的长，在Rt△ADE中利用锐角三角函数的定义求出DE的长，由CE＝CD+DE即可得出结论．

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【解答】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15m，AB＝1.5m， ∴BC＝AD＝15m，AB＝CD＝1.5m，在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15m， ∴DE＝AD•tan∠EAD＝15×3=5√3（m）， ∴CE＝CD+DE＝（5√3+1.5）（m）．故选：D．

【点评】本题主要考查解直角三角形在实际生活中的应用，含30°的直角三角形等，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．

8．（3分）（2021•十堰）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD是⊙O的直径，若AD＝3，则BC＝（）

√3

A．2√3 B．3√3 C．3

D．4

【分析】根据∠BAC＝120°，AB＝AC即可推出∠ACB和∠ABC的度数，然后由同弧所对圆周角相等以及直径所对圆周角为直角即可推出△ABD为直角三角形且∠ADB＝30°，即可算出直径BD的长，再过点O过点O作OE⊥BC于点E，利用直角三角形中锐角三角函数计算出BE的长，再根据垂径定理即可计算出BC的长．【解答】解：过点O作OE⊥BC于点E，如图所示：

∵∠BAC＝120°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝30°，

̂对应圆周角为∠ACB和∠ADB，又∵𝐴𝐵

∴∠ACB＝∠ADB＝30°，而BD为直径，

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∴∠BAD＝90°，

在Rt△BAD中，∠ADB＝30°，AD＝3， ∴cos30°=

√3𝐴𝐷3

==， 𝐵𝐷𝐵𝐷2∴BD＝2√3， ∴OB=√3，

又∵∠ABD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣30°＝60°，∠ABC＝30°， ∴∠OBE＝30°，又∵OE⊥BC，

∴△OBE为直角三角形， ∴cos∠OBE＝cos30°=∴BE=2，

由垂径定理可得：BC＝2BE＝2×故选：C．

【点评】本题考查与圆有关的计算，本题正确作出辅助线，熟练掌握圆的基本性质，垂径定理，圆周角定理等知识并能灵活运用是解题的关键．

9．（3分）（2021•十堰）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）

=3，故C正确， 23

𝐵𝐸𝐵𝐸√3==， 𝑂𝐵√32

A．2025

B．2023

C．2021

D．2019

【分析】先由题意得出位于第32行第13列的数是连续奇数的第1011个数，再将n═1011代入奇数列通式：2n﹣1求解即可．【解答】解：由题意可知：

行数为1的方阵内包含“1”，共1个数；

行数为2的方阵内包含“1、3、5、7”，共22个数；

行数为3的方阵内包含“1、3、5、7、9、11、13、15、17”，共32个数；

第12页（共32页）

∴行数为32的方阵内包含“1、3、5、7、......”共322个数，即共1024个数， ∴位于第32行第13列的数是连续奇数的第（1024﹣12）═1012个数， ∴位于第32行第13列的数是：2×1012﹣1═2023．故选：B．

【点评】本题考查规律型的数字变化类，基本技巧是标出序列号，再结合题目中已知的量找出一般规律．

10．（3分）（2021•十堰）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，1），过A作AB⊥y轴于点B，连OA，直线CD⊥OA，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线CD的对称点B′恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为（）

𝑘

𝑥

A．

5√5−14

B．

C． 3

D．

5√5+14

【分析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式，由点A的坐标可得AB＝2，OB＝1；设BB′交直线CD于点E，过点E作EG⊥BD于G，过B′作B′F⊥BD于点F，利用待定系数法求得直线OA，BB′的解析式和反比例函数的解析式，进而求得点B′的坐标，由此得到线段EG的长度，利用解直角三角形求得线段DG，BG，利用OD＝OB+BG+DG求得线段OD，则点D的纵坐标可求．

【解答】解：设BB′交直线CD于点E，过点E作EG⊥BD于G，过B′作B′F⊥BD于点F，如图，

∵B与B′关于直线CD对称， ∴CD垂直平分BB′．

即E为BB′的中点，EB＝EB′． ∵EG⊥BD，B′F⊥BD，

第13页（共32页）

∴EG∥B′F． ∴EG=2B′F．

∵直线OA经过点A（2，1）， ∴直线OA的解析式为：y=x． ∵CD⊥OA，BB′⊥CD， ∴BB′∥OA．

设直线BB′的解析式为y=x+b， ∵B（0，1）， ∴b＝1．

∴设直线BB′的解析式为y=x+1．

∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，1）， ∴反比例函数y=． 𝑦=2𝑥+1∴{． 2

𝑦=

𝑥1

2𝑥𝑘𝑥1212121

𝑥1=−1+√5𝑥2=−1−√5解得：{，{√5+1√5−1．

𝑦1=2𝑦2=−2∴B′（√5−1，√5+12）．

∴B′F=√5−1． ∴EG=

√5−12．

∵AB⊥BD， ∴∠OAB＝∠ODC．

∴tan∠OAB＝tan∠ODC=𝐴𝐵=2．在Rt△DGE中， ∵tan∠ODC

𝐸𝐺𝐷𝐺

𝑂𝐵

=，

∴DG=√5−1．同理：BG=

√5−14．

第14页（共32页）

∴OD＝OB+BG+DG=∴D点纵坐标为故选：A．

5√5−1． 45√5−1． 4

【点评】本题主要考查了轴对称的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法求解析式，解直角三角形．利用线段的长度得出相应点的坐标和利用点的坐标表示出相应的线段的长度是解题的关键．

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）（2021•十堰）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人，把数字1412000000用科学记数法表示为 1.412×109 ．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

【解答】解：1412000000＝1.412×109，故答案为：1.412×109．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值． 12．（3分）（2021•十堰）已知xy＝2，x﹣3y＝3，则2x3y﹣12x2y2+18xy3＝ 36 ．【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后整体代入求值即可．【解答】解：原式＝2xy（x2﹣6xy+9y2）＝2xy（x﹣3y）2， ∵xy＝2，x﹣3y＝3， ∴原式＝2×2×32 ＝4×9 ＝36，故答案为：36．

【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，利用因式分解将代数式化简是解题的关键．

13．（3分）（2021•十堰）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 20 ．

第15页（共32页）

【分析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．

【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点， ∴OM=CD=AB＝2.5， ∵AB＝5，AD＝12， ∴AC=√52+122=13，

∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点， ∴BO=2AC＝6.5，

∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，故答案为：20．

【点评】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．

14．（3分）（2021•十堰）对于任意实数a、b，定义一种运算：a⊗b＝a2+b2﹣ab，若x⊗（x﹣1）＝3，则x的值为 2或﹣1 ．

【分析】依据新定义得到关于x的方程，解方程可得结论．【解答】解：由题意得： x2+（x﹣1）2﹣x（x﹣1）＝3．整理得： x2﹣x﹣2＝0．

即（x﹣2）（x+1）＝0．解得：x1＝2，x2＝﹣1．故答案为：2或﹣1．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法﹣因式分解法．本题是新定义型题目，正确理解新定义并准确使用是解题的关键．

15．（3分）（2021•十堰）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对

第16页（共32页）

2121

角线AC于点E，以C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是 3π﹣6 ．

【分析】根据扇形的面积公式和三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：连接BE， ∵AB为直径， ∴BE⊥AC，

∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°， ∴BE＝AE＝CE， ∴S弓形AE＝S弓形BE，

∴图中阴影部分的面积＝S半圆−（S半圆﹣S△ABE）﹣（S△ABC﹣S扇形CBF）

11145𝜋×4212211=2π×2−2（𝜋×2−××4×4）﹣（×4×4−）

2222360

2＝3π﹣6，故答案为3π﹣6．

【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 16．（3分）（2021•十堰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是平面内一个动点，且AP＝3，Q为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是 7

≤m≤2 ．

213

第17页（共32页）

【分析】取AB的中点M，连接QM，CM，分析可知，点C，点M是定点，点Q是动点，且点Q在以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动，且当点C，M，Q三点共线，且点Q在线段CM上时，m取得最小值，当点C，M，Q三点共线，且点Q在射线CM上时，

m取得最大值

132

，可得结论．

【解答】解：如图，取AB的中点M，连接QM，CM，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝10，

∵点M是AB的中点， ∴AM＝BM＝CM=2AB＝5，

∵点Q是PB的中点，点M是AB的中点， ∴QM是△APB的中位线， ∴QM=2AP=2，

在△CMQ中，CM﹣MQ＜CQ＜CM+MQ， ∴＜m＜2， 2

∵点C，点M是定点，点Q是动点，且点Q以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动， ∴当点C，M，Q三点共线，且点Q在线段CM上时，m取得最小值，

131

当点C，M，Q三点共线，且点Q在射线CM上时，m取得最大值综上，m的取值范围为：≤m≤2．

132

，

第18页（共32页）

故答案为：≤m≤

13． 2【点评】本题主要考查勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，中位线定理，三角形三边关系等内容，分析清楚点Q的运动是本题解题的关键．三、解答题（本题有9个小题，共72分）

17．（5分）（2021•十堰）计算：√2cos45°+（）1﹣|﹣3|．

﹣

【分析】利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂和绝对值的意答即可．【解答】解：原式=√2×2+3﹣3＝1．

【点评】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的意义．熟记特殊角的三角函数值，熟练应用运算法则是解题的关键． 18．（5分）（2021•十堰）化简：（

𝑎+2𝑎2−2𝑎

√2−

𝑎−1

𝑎2−4𝑎+4

）÷

𝑎−4

． 𝑎【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题．【解答】解：（＝[====

𝑎+2𝑎(𝑎−2)

𝑎+2𝑎2−2𝑎

𝑎−1

−

𝑎−1

𝑎2−4𝑎+4

）÷

𝑎−4

𝑎−

(𝑎−2)

2]⋅2𝑎

𝑎−4(𝑎+2)(𝑎−2)−𝑎(𝑎−1)

𝑎(𝑎−2)𝑎2−4−𝑎2+𝑎(𝑎−2)𝑎−41(𝑎−2)(𝑎−2)

22⋅

𝑎 𝑎−4⋅

1 𝑎−4⋅𝑎−4

2．

【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 19．（9分）（2021•十堰）为庆祝中国党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．

等级 A B C

成绩（x） 90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80

人数 15 a 18

第19页（共32页）

根据图表信息，回答下列问题：

x＜70 7

（1）表中a＝ 20 ；扇形统计图中，C等级所占的百分比是 30% ；D等级对应的扇形圆心角为 42 度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有 450 人；

【分析】（1）由A等级的人数和所对应的圆心角的度数求出抽取的学生人数，即可解决问题；

（2）画树状图，共有12种等可能的结果，甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，再由概率公式求解即可．

【解答】解：（1）抽取的学生人数为：15÷360°=60（人），

∴a＝60﹣15﹣18﹣7＝20，C等级所占的百分比是18÷60×100%＝30%，D等级对应的扇形圆心角为：360°×60=42°，

估计成绩为A等级的学生共有：1800×60=450（人），故答案为：20，30%，42，450；

（2）95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，其他两人记为丙、丁，画树状图如图：

90°

共有12种等可能的结果，甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种， ∴甲、乙两人至少有1人被选中的概率为

1012

=．

第20页（共32页）

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．

20．（7分）（2021•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根．

（1）求实数m的取值范围；

（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．

【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣4）2﹣4（﹣2m+5）＞0，然后解不等式即可；

（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝4＞0，x1x2＝﹣2m+5＞0，则m＜2，所以m＝1或m＝2．

【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（﹣2m+5）＞0，解得m＞2；

（2）设x1，x2是方程的两根，

根据题意得x1+x2＝4＞0，x1x2＝﹣2m+5＞0，解得m＜，所以m的范围为＜m＜，

2521

所以m＝1或m＝2，所以整数m的值为1或2．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=．也考查了判别式．

（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．

𝑏

𝑎𝑐𝑎

第21页（共32页）

【分析】（1）由题意可得△AFD≌△CED（AAS），则AF＝EC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形AECF是平行四边形；又EF垂直平分AC，根据垂直平分线的性质可得AF＝CF，根据“有一组临边相等的平行四边形是菱形”可得结论；

（2）过点A作AG⊥BC于点G，根据题意可得∠AEG＝60°，AE＝2，则BG＝AG=√3，AB=√2BG=√6．

【解答】解：（1）证明：如图，在△ABC中，点D是AC的中点， ∴AD＝DC， ∵AF∥BC，

∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED， ∴△AFD≌△CED（AAS）， ∴AF＝EC，

∴四边形AECF是平行四边形，

又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC， ∴AF＝FC，

∴平行四边形AECF是菱形．

（2）如图，过点A作AG⊥BC于点G，

由（1）知四边形AECF是菱形，又CF＝2，∠FAC＝30°， ∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°， ∴∠AEB＝∠FAE＝60°， ∵AG⊥BC，

∴∠AGB＝∠AGE＝90°， ∴∠GAE＝30°，

∴GE=2AE＝1，AG=√3GE=√3，

第22页（共32页）

∵∠B＝45°， ∴∠GAB＝∠B＝45°， ∴BG＝AG=√3， ∴AB=√2BG=√6．

【点评】本题主要考查菱形的性质与判定，含30°角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质与判定等内容，根据45°，30°等特殊角作出正确的垂线是解题关键． 22．（8分）（2021•十堰）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCB的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥BC，垂足为E，连接AD、BD．（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若tan∠A=，⊙O的半径为3，求EF的长．

【分析】（1）连接OD，则∠ODC＝∠OCD，CD平分∠OCB，则∠OCD＝∠BCD＝∠ODC，所以OD∥CE，又CE⊥DF，则OD⊥DF，所以DF是⊙O的切线；（2）在Rt△ABD中，tan∠A=

𝐵𝐷1

=，则AD＝2BD，由勾股定理可得，BD2+AD2＝AB2，𝐴𝐷26√56√5即BD2+（2BD）2＝62，解得BD=5，在Rt△BDE中，BD=5，由勾股定理可得，BE2+DE2＝BD2，即BE2+（2BE）2＝（

𝐸𝐹

6√52612

），解得BE=，则DE=，由（1）知

555

BE∥OD，

𝐷𝐹

𝐵𝐸𝑂𝐷

，即125

𝐸𝐹+𝐸𝐹

，解得EF=5．

【解答】解：（1）如图，连接OD，

∵OC＝OD，

第23页（共32页）

∴∠ODC＝∠OCD， ∵CD平分∠OCB， ∴∠OCD＝∠BCD， ∴∠ODC＝∠BCD， ∴OD∥CE， ∴∠CEF＝∠ODE， ∵CE⊥DF， ∴∠CEF＝90°，

∴∠ODE＝90°，即OD⊥DF， ∴DF是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴tan∠A=

𝐵𝐷1

=，则AD＝2BD， 𝐴𝐷2在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2r＝6， ∴BD2+AD2＝AB2，即BD2+（2BD）2＝62，解得BD=5，

由（1）知DF是⊙O的切线， ∴∠BDF＝∠A， ∵BE⊥DF， ∴∠BEF＝90°，

∴tan∠BDF=𝐷𝐸=2，则DE＝2BE，在Rt△BDE中，BD=5，

由勾股定理可得，BE2+DE2＝BD2，即BE2+（2BE）2＝（解得BE=，则DE=

6512， 56√52

）， 5

6√5𝐵𝐸

6√5由（1）知BE∥OD， ∴

𝐸𝐹𝐷𝐹

𝐵𝐸𝑂𝐷

，即125𝐸𝐹+𝐸𝐹=

653

，解得EF=5．

【点评】本题主要考查切线的性质和判定，三角函数，勾股定理，平行线分线段成比例

第24页（共32页）

等内容，要判定切线需证明垂直，作出正确的辅助线是解题关键．

（1）填空：m与x的函数关系为 m═﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg商品就捐赠n元利润（n＜4）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．

【分析】（1）根据题意建立一次函数模型，利用待定系数法求解即可；

（2）根据题意找到等量关系式：日销售利润═（销售单价﹣单件成本）×销售量，列出方程，再分情况进行讨论总结即可；

（3）根据题意列出方程，根据二次函数的图像与性质进行求解即可．

【解答】解：（1）由题意可设日销量m（kg）与时间x（天）之间的一次函数关系式为：m═kx+b（k≠0），

142=𝑘+𝑏将（1，142）和（3，138）代入m═kx+b，有：{，

138=3𝑘+𝑏解得k═﹣2，b═144，

故m与x的函数关系为：m═﹣2x+144（1≤x≤40且x为整数）；（2）设日销售利润为W元，根据题意可得：

当1≤x≤20且x为整数时，W═（0.25x+30﹣20）（﹣2x+144）═﹣0.5x2+16x+1440═﹣0.5（x﹣16）2+1568，

此时当x═16时，取得最大日销售利润为1568元，

当20＜x≤40且x为整数时，W═（35﹣20）（﹣2x+144）═﹣30x+2160，此时当x═21时，取得最大日销售利润W═﹣30×21+2160═1530（元），

第25页（共32页）

1 142

3 138

6 132

10 124

… …

综上所述，第16天的销售利润最大，最大日销售利润为1568元；（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为P，根据题意可得：

P═﹣0.5x2+16x+1440﹣n（﹣2x+144）═﹣0.5x2+（16+2n）x+1440﹣144n，其对称轴为直线x═16+2n，

∵在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大， ∴16+2n≥20，求得n≥2，又∵n＜4，

∴n的取值范围是：2≤n＜4，答：n的取值范围是2≤n＜4．

【点评】本题考查二次函数的应用，解此类型题目首先要根据题意找到等量关系式，列出方程，再结合实际和二次函数的图像与性质进行逐步的分析．

√3，求线段AP的长度． 4

【分析】（1）由“SAS”证得△ACP≌△BCQ（SAS）可得AP＝BQ．

（2）由“SAS”证得△ACP≌△BCQ（SAS）可得AP＝BQ，所以BQ＝AP＝AC＝BC，由“等边对等角”可得∠ABP＝∠APB＝75°，则∠CBP＝∠ABC+∠ABP＝135°，所以∠CBD＝∠QBD＝45°，则BD是△BCQ的平分线，又BC＝BQ，则PB垂直平分CQ．（3）需要分点Q在直线l上方和点Q在直线l下方两种情况讨论，设AP的长度，根据

√3△APQ的面积等于建立等式，可求出AP的长．

【解答】解：（1）在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，

第26页（共32页）

由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°， ∴∠ACB＝∠PCQ，

∴∠ACP﹣∠PCB＝∠BCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ， ∴△ACP≌△BCQ（SAS）， ∴AP＝BQ．

（2）在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°， ∴∠ACB＝∠PCQ，

∴∠ACP﹣∠PCB＝∠BCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ， ∴△ACP≌△BCQ（SAS），

∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°； ∴BQ＝AP＝AC＝BC， ∵AP＝AC，∠CAP＝90°，

∴∠BAP＝30°，∠ABP＝∠APB＝75°， ∴∠CBP＝∠ABC+∠ABP＝135°， ∴∠CBD＝45°， ∴∠QBD＝45°，

∴∠CBD＝∠QBD，即BD平分∠CBQ，

∴BD⊥CQ且点D是CQ的中点，即直线PB垂直平分线段CQ．

（3）①当点Q在直线l上方时，如图所示，延长BQ交l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，

由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°， ∴∠ACP＝∠BCQ， ∴△APC≌△BCQ（SAS），

∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，

第27页（共32页）

∵∠CAB＝∠ABC＝60°， ∴∠BAE＝∠ABE＝30°， ∵AB＝AC＝4， ∴AE＝BE=3， ∴∠BEF＝60°，设AP＝t，则BQ＝t， ∴EQ=3−t，在Rt△EFQ中，QF=∴S△APQ=AP•QF=

√3√34√34√32EQ=

√32（4√3−t）， 3

12√34，即•t

1√34√3√3（−t）=，

4223

√3解得t=√3或t=3．即AP的长为√3或．

②当点Q在直线l上方时，如图所示，设BQ交l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，

由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°， ∴∠ACP＝∠BCQ， ∴△APC≌△BCQ（SAS），

∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°， ∵∠CAB＝∠ABC＝60°， ∴∠BAE＝∠ABE＝30°， ∵AB＝AC＝4， ∴AE＝BE=3， ∴∠BEF＝60°，设AP＝m，则BQ＝m，

4√3第28页（共32页）

∴EQ＝m−

4√3， 3√3√3在Rt△EFQ中，QF=2EQ=2（m−3）， ∴S△APQ=AP•QF=解得m=

2√34√34，即•t

1√3√34√3（m−）=，

3422

2√3+√212√3−√21（m=负值舍去）． 33√32√3+√21或． 33

综上可得，AP的长为：√3或【点评】本题主要考查了几何知识的综合运用和几何变换，求相关线段的长度和解一元二次方程是利用代数方法解决几何问题，本题意在加强学生的图形与几何的逻辑推理以及代数几何综合能力．第（3）问中需要根据点Q的位置分类讨论，此处属于易错点． 25．（12分）（2021•十堰）已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当tan∠ACM＝2时，求M点的横坐标；

（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作MD⊥l于D，若MD=√3MN，求N点的坐标．

【分析】（1）运用待定系数法将点A（﹣1，0）和B（﹣5，0）代入y＝ax2+bx﹣5，解方程组即可得出答案；

（2）如图1，过点A作AF⊥AC交直线CM于点F，过点F作FE⊥x轴于点E，通过△AEF∽△CAO，得出F（﹣7，﹣2），运用待定系数法求出直线CF解析式为y=−7x﹣5，

第29页（共32页）

再结合抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5，即可求得答案；

（3）设N（﹣3，n），利用待定系数法求出直线AN解析式为y=−2nx−2n，再结合抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5，求得M（n﹣5，−4n2+2n），根据MD=√3MN，建立方程求解即可．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0）， 𝑎−𝑏−5=0∴{， 25𝑎−5𝑏−5=0𝑎=−1

解得：{，

𝑏=−6

∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣6x﹣5；（2）在y＝﹣x2﹣6x﹣5中，令x＝0，则y＝﹣5， ∴C（0，﹣5）， ∴OC＝5，

如图1，过点A作AF⊥AC交直线CM于点F，过点F作FE⊥x轴于点E， ∴∠AEF＝∠CAF＝∠AOC＝90°， ∴∠EAF+∠CAO＝∠CAO+∠ACO＝90°， ∴∠EAF＝∠ACO， ∴△AEF∽△CAO， ∴

𝐸𝐹𝑂𝐴

𝐴𝐸𝑂𝐶

𝐴𝐹𝐴𝐶

=tan∠ACM＝2，

∴EF＝2OA＝2，AE＝2OC＝10， ∴OE＝OA+AE＝1+10＝11， ∴F（﹣7，﹣2），

设直线CF解析式为y＝kx+c， ∵C（0，﹣5），F（﹣7，﹣2）， 𝑐=−5∴{， −7𝑘+𝑐=−2解得：{𝑘=−7，

𝑐=−5

∴直线CF解析式为y=−7x﹣5，

结合抛物线：y＝﹣x2﹣6x﹣5，得：﹣x2﹣6x﹣5=−7x﹣5，解得：x1＝0（舍），x2=−7，

第30页（共32页）

当x=−

39339128时，y=−×（−）﹣5=−， 7774939128

，−）； 749∴点M的坐标为（−

（3）∵y＝﹣x2﹣6x﹣5＝﹣（x+3）2+4， ∴顶点P（﹣3，4），

设N（﹣3，n），直线AN解析式为y＝k1x+c1， ∵A（﹣1，0），N（﹣3，n）， −𝑘+𝑐1=0

∴{1， −3𝑘1+𝑐1=𝑛𝑘1=−𝑛

2，解得：{

𝑐1=−𝑛

∴直线AN解析式为y=−nx−n，

结合抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5，得：﹣x2﹣6x﹣5=−nx−n，解得：x1＝﹣1（舍），x2=n﹣5，

当x=n﹣5时，y=−n×（n﹣5）−n=−n2+2n，

2121

12141212121212∴M（n﹣5，−4n2+2n），

∵PD∥x轴，MD⊥PD， ∴D（n﹣5，4），

∴MD＝4﹣（−4n2+2n）=4n2﹣2n+4，如图2，过点M作MG⊥PN于点G，

则MG＝﹣3﹣（n﹣5）＝2−n，NG＝n﹣（−n2+2n）=n2﹣n，

2141411

∵∠MGN＝90°，

∴MN2＝MG2+NG2＝（2−n）2+（n2﹣n）2=

121

（n2+4）（n﹣4）2， 16∵MD=√3MN， ∴MD2＝3MN2，

∴（n2﹣2n+4）2＝3×16（n2+4）（n﹣4）2，

∴

（n﹣4）4=16（n2+4）（n﹣4）2，

第31页（共32页）

∵点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方， ∴n＜0， ∴n﹣4＜0， ∴（n﹣4）2＞0， ∴（n﹣4）2＝3（n2+4），

解得：n1=√6−2（舍），n2=−√6−2， ∴N（﹣3，−√6−2）．

【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，根据抛物线解析式求顶点坐标，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等，熟练掌握待定系数法、相似三角形的判定和性质等相关知识，运用数形结合思想及方程思想，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．

第32页（共32页）

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