2014年高考试题

2014年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷理科数学试题

（正式版）

注意事项：

1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效． 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的一项． 1．已知集合Axx22x30,Bx2x2,则AB

A．1,1 B．1,2 C． 2,1 D． 1,2

2．(1i)3(1i)2=

A．1i B．1i C． 1i D．1i

3．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)时奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是

A．f(x)g(x)是偶函数 B． f(x)|g(x)|是奇函数 C． |f(x)|g(x)是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数

4．已知F是双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为 A． 3m B．3 C． 3 D．3m

5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率

A．

18 B． 78 C． 58 D． 38 6．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y=f(x)在[0,]上的图像大致为

- 1 -

7．执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=

A． 158 B． 716202 C．5 D3． 8．设(0,2)，(0,2)，且tan1sincos，则 A．32 B．32 C． 22 D．22

9．不等式组xy1的解集记为D.有下面四个命题：x2y4

p1：(x,y)D,x2y2，p2：(x,y)D,x2y2,

P3：(x,y)D,x2y3，p4：(x,y)D,x2y1；其中真命题是

A．

p1,p2 B． p2,p3 C．p1,p4 D．p1,p3

10．已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个

交点，若FP4FQ，则|QF|= A．

72 B． 52 C． 3 D．2 11．已知函数f(x)=ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为 A．（-∞，-2） B．（1，+∞）

C．（2，+∞） D．（-∞，-1）

12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面

体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

A． 42 B． 6 C．62 D．4

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13．(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为 ．(用数字填写答案)

14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为 ． 15．已知A，B，C是圆O上的三点，若AO12(ABAC)，则AB与AC的夹角为 ． 16．已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且

(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为 ．

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．(本小题满分12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an0，anan1Sn1，其中为常数．

1证明：an2an；

2是否存在，使得{an}为等差数列？并说明理由.

18．(本小题满分12分)

从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

1求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样

本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

2由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指

标值Z服从正态分布N(,2)，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2．

(i)利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．

附：150≈12.2.若Z～N(,2)，则P(Z)=0.6826，

P(2Z2)=0.9544.

19． (本小题满分12分)

如图三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C．

1 证明：ACAB1；

2若ACAB1，CBB160o，AB=BC，求二面角AA1B1C1的余弦值．

- 2 -

20．(本小题满分12分)

：x2y2已知点A（0，-2），椭圆E3a2b21(ab0)的离心率为2，F是椭圆的焦点，

直线AF 的斜率为233，O为坐标原点． 1求E的方程；

2设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程．

21．(本小题满分12分)

bex1设函数f(x)aexlnxx，曲线yf(x)在点（1，f(1)处的切线为ye(x1)2． 1求a,b；

2证明：f(x)1．

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与 DC的延长线交于点E，且CB=CE

1证明：∠D=∠E；

2设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，

证明：△ADE为等边三角形.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

x2已知曲线C：y2x2t491，直线l：22t（t为参数）. y1写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

2过曲线C上任一点P作与l夹角为30o的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

若a0,b0，且

11abab. 1求a3b3的最小值；

2是否存在a,b，使得2a3b6？并说明理由．