高一数学函数知识点汇总

高一数学函数学问点汇总 (一)、映射、函数、反函数

1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区分，映射是一种特别的对应，而函数又是一种特别的映射. 2、对于函数的概念，应留意如下几点：

(1)把握构成函数的三要素，会推断两个函数是否为同一函数. (2)把握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特殊是会求分段函数的解析式. (3)假如y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数. 3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤： (1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域; (2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);

(3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域.

留意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.

②熟识的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避开求反函数的过程，从而简化运算. (二)、函数的解析式与定义域

1、函数及其定义域是不行分割的整体，没有定义域的函数是

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不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必需是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：

(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;

(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：

①分式的分母不得为零; ②偶次方根的被开方数不小于零; ③对数函数的真数必需大于零;

④指数函数和对数函数的底数必需大于零且不等于1; ⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函数y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.

应留意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).

(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.

已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满意a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域. 2、求函数的解析式一般有四种状况

(1)依据某实际问题需建立一种函数关系时，必需引入合适的

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变量，依据数学的有关学问寻求函数的解析式.

(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采纳待定系数法.比方函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，依据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.

(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必需求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.

(4)若已知f(x)满意某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还消失其他未知量(如f(-x)，等)，必需依据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式. (三)、函数的值域与最值

1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不管采纳何种〔方法〕求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下： (1)直接法：亦称观看法，对于结构较为简洁的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观看得出函数的值域. (2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的冗杂函数转化成另一种简洁函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.

(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采纳此法求得.

(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题

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可考虑用配方法.

(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应留意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.

(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采纳单调性法求出函数的值域. (8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.

2、求函数的最值与值域的区分和联系

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，假如在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因此答题的方式就有所相异.

如函数的值域是(0，16]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无最大值和最小值，只有在转变函数定义域后，如x0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.

3、函数的最值在实际问题中的应用

函数的最值的应用主要表达在用函数学问求解实际问题上，从

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文字表述上经常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特殊关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值. (四)、函数的奇偶性

1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，假如对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).

正确理解奇函数和偶函数的定义，要留意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).

2、奇偶函数的定义是推断函数奇偶性的主要根据。为了便于推断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式： 留意如下结论的运用：

(1)不管f(x)是奇函数还是偶函数，f(|x|)总是偶函数; (2)f(x)、g(x)分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1∩D2上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)·g(x)是偶函数，类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”; (3)奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;

(4)奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。 3、有关奇偶性的几独特质及结论

(1)一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;

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一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称.

(2)如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数.

(3)若奇函数f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0成立. (4)若f(x)是具有奇偶性的区间单调函数，则奇(偶)函数在正负对称区间上的单调性是相同(反)的。

(5)若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数，G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数. (6)奇偶性的推广

函数y=f(x)对定义域内的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称，即y=f(a+x)为偶函数.函数y=f(x)对定义域内的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a，0)成中心对称图形，即y=f(a+x)为奇函数. (五)、函数的单调性 1、单调函数

对于函数f(x)定义在某区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1x2时，都有不等式f(x1)(或)f(x2)成立，称f(x)在[a，b]上单调递增(或递减);增函数或减函数统称为单调函数.

对于函数单调性的定义的理解，要留意以下三点： (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念.一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.

(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中

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的x1，x2具有任意性，不能用特别值代替.

(3)单调区间是定义域的子集，商量单调性必需在定义域范围内.

(4)留意定义的两种等价形式： 设x1、x2∈[a，b]，那么： ①在[a、b]上是增函数; 在[a、b]上是减函数. ②在[a、b]上是增函数. 在[a、b]上是减函数.

需要指出的是：①的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率都大于(或小于)零. (5)由于定义都是充要性命题，因此由f(x)是增(减)函数，且(或x1x2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.

5、复合函数y=f[g(x)]的单调性

若u=g(x)在区间[a，b]上的单调性，与y=f(u)在[g(a)，g(b)](或g(b)，g(a))上的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上单调递增;否则，单调递减.简称“同增、异减”.

在讨论函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为商量一些熟知函数的单调性。因此，把握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的推断过程. 6、证明函数的单调性的方法

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(1)依定义进行证明.其步骤为：①任取x1、x2∈M且x1(或)f(x2);③依据定义，得出结论. (2)设函数y=f(x)在某区间内可导.

假如f′(x)0，则f(x)为增函数;假如f′(x)0，则f(x)为减函数.

(六)、函数的图象

函数的图象是函数的直观表达，应加强对作图、识图、用图力量的培育，培育用数形结合的思想方法解决问题的意识. 求作图象的函数表达式 与f(x)的关系

由f(x)的图象需经过的变换 y=f(x)±b(b0) 沿y轴向平移b个单位 y=f(x±a)(a0) 沿x轴向平移a个单位 y=-f(x)

作关于x轴的对称图形 y=f(|x|)

右不动、左右关于y轴对称 y=|f(x)|

上不动、下沿x轴翻折 y=f-1(x)

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作关于直线y=x的对称图形 y=f(ax)(a0)

横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 y=af(x)

纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变 y=f(-x)

作关于y轴对称的图形

【例】定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0. ①求证：f(0)=1; ②求证：y=f(x)是偶函数;

③若存在常数c，使求证对任意x∈R，有f(x+c)=-f(x)成立;试问函数f(x)是不是周期函数，假如是，找出它的一个周期;假如不是，请说明理由.

思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解决这类问题一般采纳赋值法.

解答：①令x=y=0，则有2f(0)=2f2(0)，由于f(0)≠0，所以f(0)=1.

②令x=0，则有f(x)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，这说明f(x)为偶函数.

③分别用(c0)替换x、y，有f(x+c)+f(x)= 所以，所以f(x+c)=-f(x).

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两边应用中的结论，得f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)， 所以f(x)是周期函数，2c就是它的一个周期. 高中数学与学校数学的差异 1、学问差异

学校数学学问少、浅、难度简单、学问面笮。高中数学学问广泛，将对学校的数学学问推广和引伸，也是对学校数学学问的完善。如：学校学习的角的概念只是“0—1800”范围内的，但实际当中也有7200和“—300”等角，为此，高中将把角的概念推广到任意角，可表示包括正、负在内的全部大小角。又如：高中要学习《立体几何》，将在三维空间中求一些几何实体的体积和外表积;还将学习“排列组合”学问，以便解决排队方法种数等问题。如：①三个人排成一行，有几种排队方法，( =6种);②四人进行〔乒乓球〕双打竞赛，有几种竞赛场次?(答： =3种)高中将学习统计这些排列的数学方法。学校中对一个负数开平方无意义，但在高中规定了i2=-1，就使-1的平方根为±i.即可把数的概念进行推广，使数的概念扩大到复数范围等。这些学问同学们在以后的学习中将渐渐学习到。 2、〔学习方法〕的差异

(1)学校课堂教学量小、学问简洁，通过老师课堂教慢的速度，争取让全面同学理解学问点和解题方法，课后老师布置作业，然后通过大量的课堂内、外练习、课外指导到达对学问的反反复复理解，直到同学把握。而高中数学的学习随着课程开设多(有九们课同学同时学习)，每天至少上六节课，自习时间三节课，这样各科学习时间将

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大大削减，而老师布置课外题量相对学校削减，这样集中数学学习的时间相对比学校少，数学老师将相学校那样监督每个同学的作业和课外练习，就能到达相学校那样把学问让每个同学把握后再进行新课。 (2)同学自学力量的差异

学校同学自学那力量低，大凡考试中所用的解题方法和数学思想，在学校老师基本上已反复训练，老师把同学要同学自己高度深刻理解的问题，都集中表如今他的耐烦的讲解和大量的训练中，而且同学的听课只需要熟记结论就可以做题(不全是)，同学不需自学。但高中的学问面广，学问要全部要老师训练完高考中的习题类型是不行能的，只有通过较少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯穿这一类型习题，假如不自学、不靠大量的阅读理解，将会使同学失去一类型习题的解法。另外，科学在不断的进展，考试在不断的改革，高考也随着全面的改革不断的深化，数学题型的开发在不断的多样化，近年来提出了应用型题、探究型题和开放型题，只有靠同学的自学去深刻理解和创新才能适应现代科学的进展。

其实，自学力量的提高也是一个人生活的需要，他从一个方面也代表了一个人的素养，人的一生只有18---24年时间是有导师的学习，其后半生，最精彩的人生是人在一生学习，靠的自学最终到达了自强。

3、仿照与创新的区分

学校同学仿照做题，他们仿照老师思维推理教多，而高中仿照做题、思维同学有，但随着学问的难度大和学问面广泛，同学不能全

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部仿照，即就是同学全部仿照训练做题，也不能开拓同学自我思维力量，同学的数学成果也只能是一般程度。如今高考数学考察，旨在考察同学力量，避开同学高分低能，避开定势思维，提倡〔创新思维〕和培育同学的制造力量培育。学校同学大量地仿照使同学带来了不利的思维定势，对高中同学带来了保守的、僵化的思想，封闭了同学的丰富反对制造精神。如同学在解决：比较a与2a的大小时要不就错、要不就答不全面。大多数同学不会分类商量。 4、定量与变量的差异

学校数学中，题目、已知和结论用常数给出的较多，一般地，答案是常数和定量。同学在分析问题时，大多是按定量来分析问题，这样的思维和问题的解决过程，只能片面地、局限地解决问题，在高中数学学习中我们将会大量地、广泛地应用代数的可变性去探究问题的普遍性和特别性。如：求解一元二次方程时我们采纳对方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的求解，商量它是否有根和有根时的全部根的情形，使同学很快的把握了对全部一元二次方程的解法。另外，在高中学习中我们还会通过对变量的分析，探究出分析、解决问题的思路和解题所用的数学思想。 5、思维习惯上的差异

学校同学由于学习数学学问的范围小，学问层次低，学问面笮，对实际问题的思维受到了局限，就几何来说，我们都接触的是现实生活中三维空间，但学校只学了平面几何，那么就不能对三维空间进行严格的〔规律思维〕和推断。代数中数的范围只限定在实数中思维，

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就不能深刻的解决方程根的类型等。高中数学学问的多元化和广泛性，将会使同学全面、细致、深刻、严密的分析和解决问题。也将培育同学高素养思维。提高同学的思维递进性。 高一数学函数学问点

学问点〔总结〕

本节学问包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等学问点。函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。所以理解了前面的几个学问点，函数的图象就迎刃而解了。 一、函数的单调性 1、函数单调性的定义

2、函数单调性的推断和证明：(1)定义法 (2)复合函数分析法 (3)导数证明法 (4)图象法 二、函数的奇偶性和周期性 1、函数的奇偶性和周期性的定义 2、函数的奇偶性的判定和证明方法 3、函数的周期性的判定方法 三、函数的图象

1、函数图象的作法 (1)描点法 (2)图象变换法

2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻

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折变换。 常见考法

本节是段考和高考必不行少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于拔高题。多考查函数的单调性、最值和图象等。 误区提示

1、求函数的单调区间，必需先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。

2、单调区间必需用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。

3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开。

4、推断函数的奇偶性，首先必需考虑函数的定义域，假如函数的定义域不关于原点对称，则函数肯定是非奇非偶函数。 5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。

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