8．1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1．空间几何体的定义及分类
(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类． 2．空间几何体 类别 定义 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体 多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面旋转体 内的这条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴 3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征 结构特征及分类 (1)有两个面(底面)互相平行 结构特棱柱 分类 续 表 征 (2)其余各面都是四边形 (3)相邻两个四边形的公共边都互相平行 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱… 记作棱柱 ABCDEFA′B′C′D′E′F′ 图形及记法 图示 结构特棱锥 分类 征 结构特征及分类 (1)有一个面(底面)是多边形 (2)其余各面(侧面)都是有一个公共顶点的三角形 图形及记法 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥…… (1)上下底面互相平行，且是相似图形 结构特(2)各侧棱延长线相交于一点 (或用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台) 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截分类 得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台…… ■名师点拨 (1)棱柱、棱锥、棱台的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以
记作 棱台ABCDA′B′C′D′ 记作 棱锥SABCD 棱台 征 三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．
(2)各种棱柱之间的关系 ①棱柱的分类
正棱柱（底面为正多边形）
直棱柱
一般的直棱柱棱柱
斜棱柱②常见的几种四棱柱之间的转化关系
典型应用1 棱柱的结构特征
下列关于棱柱的说法： ①所有的面都是平行四边形； ②每一个面都不会是三角形； ③两底面平行，并且各侧棱也平行； ④被平面截成的两部分可以都是棱柱． 其中正确说法的序号是__________．
【解析】 ①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形； ②错误，棱柱的底面可以是三角形； ③正确，由棱柱的定义易知；
④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.
【答案】 ③④
棱柱结构特征的辨析技巧
(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．
典型应用2
棱锥、棱台的结构特征
下列关于棱锥、棱台的说法：
①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形；
④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是________．
【解析】 ①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．
②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形． ③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形． ④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥． ⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥． 所以正确说法的序号为②③④. 【答案】 ②③④
判断棱锥、棱台形状的两种方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法 定底面 看侧棱 典型应用3 空间几何体的平面展开图
(1)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、
上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )
棱锥 棱台 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 相交于一点 延长后相交于一点 A．1 C．快
B．9 D．乐
(2)如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
【解】 (1)选B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．
(2)题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，
符合棱柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：
所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．
多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．
圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征
1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征 (1)圆柱的结构特征
定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴：旋转轴叫做圆柱的轴 图示及相关概念 ■名师点拨 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 柱体：圆柱和棱柱统称为柱体 (1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．
(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图1所示． (3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图2所示． (4)过任意两条母线的截面是矩形，如图3所示．
(2)圆锥的结构特征 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 图示及相关概念 ■名师点拨 (1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等． (2)平行于底面的截面都是圆，如图1所示． (3)过轴的截面是全等的等腰三角形，如图2所示． (4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图3所示．
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：圆锥和棱锥统称为锥体
(3)圆台的结构特征 定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 轴：圆锥的轴 图示及相关概念 ■名师点拨 (1)圆台有无数条母线，且长度相等，延长后相交于一点． (2)平行于底面的截面是圆，如图1所示． (3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图2所示． (4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图3所示．
底面：圆锥的底面和截面 侧面：圆锥的侧面在底面和截面之间的部分 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分 台体：圆台和棱台统称为台体
(4)球的结构特征 定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 球心：半圆的圆心 半径：半圆的半径 直径：半圆的直径 图示及相关概念 ■名师点拨 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面．
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝R2－d2.
2．简单组合体 (1)概念
由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． (2)两种构成形式
①由简单几何体拼接而成；
②由简单几何体截去或挖去一部分而成． 典型应用1
圆柱、圆锥、圆台、球的概念
(1)给出下列说法： ①圆柱的底面是圆面；
②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；
③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交； ④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体． 其中说法正确的是________． (2)给出以下说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长； ②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长； ③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形； ④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形． 其中正确说法的序号是________．
【解析】 (1)①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．
(2)根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正
确，因为球的任何截面都是圆面；④正确．
【答案】 (1)①② (2)①④
(1)判断简单旋转体结构特征的方法 ①明确由哪个平面图形旋转而成； ②明确旋转轴是哪条直线． (2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．
典型应用2
简单组合体的结构特征
如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )
【解析】 该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.
【答案】 A
[变条件、变问法]若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．
解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．
不规则平面图形旋转形成几何体的
结构特征的分析策略
(1)分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形．
(2)定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析． 典型应用3
旋转体中的计算问题
如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆
锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．
【解】 设圆台的母线长为l cm，
由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设 截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示，
则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm. SA′O′A′3r1所以SA＝OA，所以＝＝.
3＋l4r4解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9 cm.
解决旋转体中计算问题的方法
用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．
[注意] 在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变化．由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化．
8．2 立体图形的直观图
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
2．空间几何体直观图的画法
(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．
(2)直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面． (3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. ■名师点拨
(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．
典型应用1
画水平放置的平面图形的直观图
画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
【解】 (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．
(2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′1
轴上截取O′D′＝2OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.
(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图．
(2)画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化． 典型应用2
画简单几何体的直观图
已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用
斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
【解】 (1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．
(3)画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．
(4)连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②)．
画空间图形的直观图的原则
(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段．
(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长1
度变为原来的2.
典型应用3
直观图的还原与计算
如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD 的直观图．若A1D1
2
∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝3C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积．
【解】 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.在过
点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
2＋3
所以面积为S＝2×2＝5.
(1)直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
(2)直观图与原图面积之间的关系
2
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝4S或S＝22S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形
面积．
柱、锥、台的表面积和体积
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
2．棱柱、棱锥、棱台的体积
11(1)V棱柱＝Sh；(2)V棱锥＝Sh；V棱台＝h(S′＋SS′＋S)，其中S′，S分别是棱
33台的上、下底面面积，h为棱台的高．
3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 名称 图形 公式 底面积：S底＝πr2 圆柱 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 体积：V＝πr2l 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 圆锥 表面积：S＝πrl＋πr2 1体积：V＝3πr2h 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl(r＋r′) 圆台 表面积： S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 体积： 1V＝3πh(r′2＋r′r＋r2) ■名师点拨 1．柱体、锥体、台体的体积
(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. 1
(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝3Sh.
1
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝3(S′＋SS′＋S)h.
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 r′＝rr′＝0S圆柱侧＝2πrl――→S圆台侧＝π(r′＋r)l――→S圆锥侧＝πrl. 3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
11S′＝SS′＝0V柱体＝Sh――→V台体＝3(S′＋S′S＋S)h――→V锥体＝3Sh. 典型应用1
柱、锥、台的表面积
(1)若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的( ) A.2倍 C．2 倍
B．3 倍 D．5 倍
(2)已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )
A．1∶2 C．2∶2
B．1∶3 D．3∶6
(3)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为 84π，则该圆台较小底面的半径为( )
A．7 C．5
B．6 D．3
【解析】 (1)设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则由题意可知，l＝2r，于是 S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2，可知选 C.
(2)棱锥 B′ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体3的棱长为 1，则 B′C＝2，S△B′AC＝2.
3
三棱锥的表面积 S锥＝4×2＝23，
又正方体的表面积 S正＝6. 因此 S锥∶S正＝23∶6＝1∶3.
(3)设圆台较小底面的半径为 r，则另一底面的半径为 3r.由 S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得 r＝7.
【答案】 (1)C (2)B (3)A
空间几何体表面积的求法技巧
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
典型应用2 柱、锥、台的体积
如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截
下一个三棱锥．
(1)求剩余部分的体积；
(2)求三棱锥AA1BD的体积及高．
1
【解】 (1)V三棱锥A1ABD＝3S△ABD·A1A 111＝3×2·AB·AD·A1A＝6a3. 故剩余部分的体积
15
V＝V正方体－V三棱锥A1ABD＝a3－6a3＝6a3. 1
(2)V三棱锥AA1BD＝V三棱锥A1ABD＝6a3. 设三棱锥AA1BD的高为h， 1
则V三棱锥AA1BD＝3·S△A1BD·h
113322
＝3×2×2(2a)h＝6ah， 31
故6a2h＝6a3， 3
解得h＝3a.
求几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
[提醒] 求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积．
典型应用3
组合体的表面积和体积
如图在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为3的圆柱，
求圆柱的表面积．
【解】 设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S. 则 R＝OC＝2，AC＝4， AO＝42－22＝23. 如图所示，
易知△AEB∽△AOC，
AEEB3r所以AO＝OC，即＝，所以 r＝1，
232
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝23π. 所以 S＝S底＋S侧＝2π＋23π ＝(2＋23)π.
1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比． 解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为 r＝1，高 h＝3，所以圆柱的体积 V1＝πr2h＝π×12×3＝3π.
183
圆锥的体积 V2＝3π×22×23＝3π. 所以圆柱与圆锥的体积比为 3∶8.
2．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积．
解：由例题解析可知：圆台的上底面半径 r＝1，下底面半径 R＝2，高 h＝3，母线 l＝2，所以圆台的表面积 S＝π(r2＋R2＋r·l＋Rl)＝π(12＋22＋1×2＋2×2)＝11π.
1173
圆台的体积 V＝3π(r2＋rR＋R2)h＝3π(12＋2＋22)×3＝3π.
3．[变条件、变问法]本例中的“高为3”改为“高为 h”，试求圆柱侧面积的最大值．
解：设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r， 则 R＝OC＝2，AC＝4， AO＝42－22＝23.
如图所示易知△AEB∽△AOC， AEEB所以AO＝OC， 即
23－hr
＝2， 23
所以 h＝23－3r，
S圆柱侧＝2πrh＝2πr(23－3r) ＝－23πr2＋43πr，
所以当 r＝1，h＝3时，圆柱的侧面积最大，其最大值为 23π.
求组合体的表面积与体积的步骤
(1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量． (2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积．
(3)计算求值：根据设计的计算方法求值．
球的体积和表面积
1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2． 2．球的体积
4设球的半径为R，则球的体积V＝3πR3． ■名师点拨
对球的体积和表面积的几点认识
(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．
(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．
(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍． 典型应用1 球的表面积与体积
32π
(1)已知球的体积是3，则此球的表面积是( ) A．12π 16πC.3
B．16π πD.3 (2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直28π
的半径，若该几何体的体积是3，则它的表面积是( )
A．17π C．20π
B．18π D．28π
【解析】 (1)设球的半径为R，则由已知得 32π43
V＝3πR＝3，解得R＝2. 所以球的表面积S＝4πR2＝16π.
1
(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉8后剩下的几何体， 设球的半径为r， 7428
故8×3πr3＝3π，
73
所以r＝2，表面积S＝8×4πr2＋4πr2＝17π，选A. 【答案】 (1)B (2)A
球的体积与表面积的求法及注意事项
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．
(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
典型应用2 球的截面问题
如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，
容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为( )
A.
500π3
cm 3
B.
866π3
cm 3
C.
1 372π3
cm 3
D.
2 048π3
cm 3
【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)， 11
BM＝2AB＝2×8＝4(cm)． 设球的半径为R cm，则 R2＝OM2＋MB2 ＝(R－2)2＋42， 所以R＝5，
4500
所以V球＝3π×53＝3π (cm3)． 【答案】 A
球的截面问题的解题技巧
(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
典型应用3
与球有关的切、接问题 角度一 球的外切正方体问题
将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为
( )
4πA.3 3πC.2
2πB.3 πD.6
【解析】 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的4
直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是3×4ππ×1＝3.
3
【答案】 A
角度二 球的内接长方体问题
一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱
的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________．
【解析】 长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R＝12＋22＋32＝14，
所以球的表面积 S＝4πR2＝14π. 【答案】 14π
角度三 球的内接正四面体问题
若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，求球
的表面积．
【解】 把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x，则 a＝2x，由题2a6
意 2R＝3x＝3×2＝2a，
3
所以 S球＝4πR2＝2πa2. 角度四 球的内接圆锥问题
球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，
则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．
【解析】 ①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为 r，r
则球心到该圆锥底面的距离是2，于是圆锥的底面半径为
3r高为2.
143r23r33
×＝πr，球体积为πr3，该圆锥的体积为 3×π×
2832338πr9
所以该圆锥的体积和此球体积的比值为4＝32.
3πr3
②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值3为32.
3rr2
r－2＝2，
2
93
【答案】 32或32
角度五 球的内接直棱柱问题
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面
上，则该球的表面积为( )
A．πa2 11
C.3πa2
7
B.3πa2 D．5πa2
【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易2331
知 AP＝3×2a＝3a，OP＝2a，所以球的半径 R＝ OA 满足R27321272
＝a＋2a＝12a，故 S球＝4πR2＝3πa2.
3
【答案】 B
(1)正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r1a
＝2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
(2)长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a，b，c，过1球心作长方体的对角线，则球的半径为 r2＝2
a2＋b2＋c2，如图(2)．
(3)正四面体的外接球
6
正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为：2R＝2a.
8．4.1 平 面
1．平面 (1)平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的．
(2)平面的画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．
(3)平面的表示方法
我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD．
■名师点拨
(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量． (2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的． 2．点、线、面之间的关系及符号表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面． 文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 符号语言 A∈l A∉l A∈α A∉α 图形语言 l在α内 l在α外 l，m相交于A l，α相交于A α，β相交于l ■名师点拨 l⊂α l⊄α l∩m＝A l∩α＝A α∩β＝l 从集合的角度理解点、线、面之间的关系
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉ ”表示．
(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉ ”表示．
(3)直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．
3．平面的性质 基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平 面α使A，B，C∈α A∈l，B∈l，且A ∈α，B∈α⇒ l⊂α 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 如果一条直线上的基本 事实2 两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的基本 事实3 平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 公共直线 ■名师点拨 在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些．如下图①，图②所示：
4．平面性质的三个推论
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图(1)． 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图(2)． 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图(3)．
典型应用1
图形、文字、符号语言的相互转化
(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形．
平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.
(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．
α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.
【解】 (1)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．
(2)文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示．
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． 典型应用2
点、线共面问题
证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． 【解】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． 证明：法一：(纳入平面法)
因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α. 因为l2∩l3＝B，所以B∈l2. 又因为l2⊂α，
所以B∈α.同理可证C∈α. 又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α. 所以直线l1，l2，l3在同一平面内． 法二：(辅助平面法)
因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α. 因为l2∩l3＝B，
所以l2，l3确定一个平面β. 因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α. 因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内． 所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明点、线共面的常用方法
(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内． (2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面
＝
β，最后证明平面α，β重合．
典型应用3
三点共线、三线共点问题
如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为
AB、AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
【证明】 连接EF，D1C，A1B， 因为E为AB的中点，
1
F为AA1的中点，所以EF∥═2A1B. 又因为A1B∥═D1C， 1所以EF∥═2D1C，
所以E，F，D1，C四点共面， 可设D1F∩CE＝P.
又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD， 所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点． 又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA， 所以据基本事实3可得P∈DA， 即CE，D1F，DA三线交于一点．
[变条件、变问法]若将本例条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：点D、A、M三点共线．
证明：因为D1F∩CE＝M，
且D1F⊂平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA， 同理M∈平面BCDA， 从而M在两个平面的交线上， 因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，
所以M∈AD成立．所以点D、A、M三点共线．
8．4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．空间中直线与直线的位置关系 (1)异面直线
①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线； ②画法：(通常用平面衬托)
(2)空间两条直线的位置关系
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线
平行直线：在同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.■名师点拨
(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．
(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．
2．空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在 直线a在平面α外 平面α内 直线a与平 面α相交 直线a与 平面α平行 没有公共点 a∥α 公共点 符号表示 图形表示 ■名师点拨 无数个公共点 a⊂α 有且只有 一个公共点 a∩α＝A 一般地，直线a在平面α内时，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a与平面α相交时，应画成直线a与平面α有且只有一个公共点，被平面α遮住的部分画成虚线或不画；直线a与平面α平行时，应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行，并画在表示平面α的平行四边形外．
3．空间中平面与平面的位置关系 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 ■名师点拨 (1)画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．
(2)以后我们说到“两条直线”均指不重合的两条直线，“两个平面”均指不重合的两个平面．
典型应用1
空间两直线位置关系的判定
如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直
线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
两个平面平行 没有公共点 α∥β 两个平面相交 有无数个公共点(在一条直线上) α∩β＝l ③直线D1D与直线D1C的位置关系是________； ④直线AB与直线B1C的位置关系是________．
【解析】 经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以②④应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．
【答案】 ①平行 ②异面 ③相交 ④异面
(1)判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4(下节学习)判断．
(2)判定两条直线是异面直线的方法
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； ②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．
典型应用2
直线与平面的位置关系
下列命题：
①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α； ②若直线a在平面α外，则a∥α； ③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；
④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数为( ) A．1 C．3
B．2 D．4
和这示为
【解析】 因为直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以l不一定平行于α，所以①是假命题．
因为直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，所以a和α不
一定平行，所以②是假命题．
因为直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于α，所以③是假命题．
因为a∥b，b⊂α，所以a⊂α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，所以④是真命题．
综上，真命题的个数为1. 【答案】 A
判断直线与平面的位置关系应注意的问题
(1)在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏．
(2)解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
典型应用3
平面与平面的位置关系
已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么
这两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 C．平行或相交
B．相交 D．以上都不对
【解析】 如图，可能会出现以下两种情况：
【答案】 C
1．[变条件]在本例中，若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？
解：如图，a⊂α，b⊂β，a，b异面，则两平面平行或相交．
2．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内有无数条直线与平面β平行，那么平面α与平面β的关系是什么？
解：如图，α内都有无数条直线与平面β平行．
由图知，平面α与平面β可能平行或相交．
3．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内的任意一条直线与平面β平行，那么平面α与平面β的关系是什么？
解：因为平面α内的任意一条直线与平面β平行，所以只有这两个平面平行才能做到，所以平面α与平面β平行．
(1)平面与平面的位置关系的判断方法
①平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点； ②平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点． (2)常见的平面和平面平行的模型
①棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行； ②长方体的六个面中，三组相对面平行． 典型应用4
点、线、面位置关系图形的画法
如图所示，G是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，
F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．
(1)过点G及AC. (2)过三点E，F，D1.
【解】 (1)画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．
(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．
直线与平面位置关系的图形的画法
(1)画直线a在平面α内时，表示直线a的线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外．
(2)画直线a与平面α相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强的立体感．
(3)画直线a与平面α平行时，最直观的画法是用来表示直线a的线段在表示平面α的平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行．
8．5.1 直线与直线平行
1．基本事实4
(1)平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质通常叫做平行线的传递a∥b
⇒a∥c. 性．(2)符号表示：
b∥c
2．定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ■名师点拨
定理实质上是由如下两个结论组合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，
则这两个角互补．
典型应用1
基本事实4的应用
如图，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求
证：四边形B1EDF为平行四边形．
【证明】 如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1. 因为E是AA1的中点，所以EQ∥═A1D1. 因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1∥═B1C1， 所以EQ∥═B1C1，
所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E∥═C1Q. 又Q，F分别是D1D，C1C的中点， 所以QD∥═C1F，
所以四边形DQC1F为平行四边形， 所以C1Q∥═FD.
又B1E∥═C1Q，所以B1E∥═FD， 故四边形B1EDF为平行四边形．
证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．
(2)利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b.
典型应用2
定理的应用
如图所示，不共面的三条射线OA，OB，OC，点A1，
OA1OB1OC1
B1，C1分别是OA，OB，OC上的点，且OA＝OB＝OC.
求证：△A1B1C1∽△ABC.
OA1OB1
【证明】 在△OAB中，因为OA＝OB，所以A1B1∥AB. 同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.
所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC. 所以△A1B1C1∽△ABC.
运用定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的方向是否相同；二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为锐角或都为钝角则相等，反之则互补．
8．5.2 直线与平面平行
1．直线与平面平行的判定定理 文字语言 符号语言 图形语言 ■名师点拨 用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a在平面α外，即a⊄α. (2)直线b在平面α内，即b⊂α. (3)两直线a，b平行，即a∥b. 2．直线与平面平行的性质定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 文字语言 符号语言 图形语言 ■名师点拨 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b (1)线面平行的性质定理成立的条件有三个： ①直线a与平面α平行，即a∥α；
②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b； ③直线a在平面β内，即a⊂β. 以上三个条件缺一不可． (2)定理的作用： ①线面平行⇒线线平行； ②画一条直线与已知直线平行．
(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．
典型应用1
直线与平面平行的判定
如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别
是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
【证明】 连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.
又AB∥═A1B1∥═D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形， 所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1. 又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G， 所以EF∥平面AD1G.
应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有： ①空间直线平行关系的传递性法； ②三角形中位线法； ③平行四边形法； ④成比例线段法．
[提醒] 线面平行判定定理应用的误区
(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”． (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线． 典型应用2
线面平行性质定理的应用
如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，
在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
【证明】 如图，连接AC，交BD于点O，连因为四边形ABCD是平行四边形， 所以点O是AC的中点． 又因为点M是PC的中点， 所以AP∥OM.
又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM， 所以AP∥平面BDM.
因为平面PAHG∩平面BDM＝GH， AP⊂平面PAHG，所以AP∥GH.
接MO.
8.5.3 平面与平面平行
1．平面与平面平行的判定定理 文字语言 符号语言 图形语言 ■名师点拨 (1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．
(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．
2．平面与平面平行的性质定理 文字语言 符号语言 图形语言 ■名师点拨 (1)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件： ①平面α和平面β平行，即α∥β； ②平面γ和α相交，即α∩γ＝a； ③平面γ和β相交，即β∩γ＝b. 以上三个条件缺一不可．
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α (2)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．
(3)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．
典型应用1
平面与平面平行的判定
如图所示，已知正方体ABCD(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.
【证明】 (1)因为B1B∥═DD1， 所以四边形BB1D1D是平行四边形， 所以B1D1∥BD，又BD⊄平面B1D1C， B1D1⊂平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C. 同理A1D∥平面B1D1C. 又A1D∩BD＝D，
所以平面A1BD∥平面B1D1C. (2)由BD∥B1D1， 得BD∥平面EB1D1. 取BB1的中点G， 连接AG，GF， 易得AE∥B1G， 又因为AE＝B1G，
所以四边形AEB1G是平行四边形， 所以B1E∥AG.
易得GF∥AD，又因为GF＝AD， 所以四边形ADFG是平行四边形， 所以AG∥DF，所以B1E∥DF，
A1B1C1D1.
所以DF∥平面EB1D1. 又因为BD∩DF＝D， 所以平面EB1D1∥平面FBD.
1
[变条件]把本例(2)的条件改为“E，F分别是AA1与CC1上的点，且A1E＝4A1A”，求F在何位置时，平面EB1D1∥平面FBD?
1
解：当F满足CF＝4CC1时，两平面平行，下面给出证明：
在D1D上取点M， 1
且DM＝4DD1， 连接AM，FM， 则AE∥═D1M，
从而四边形AMD1E是平行四边形． 所以D1E∥AM. 同理，FM∥═CD，
又因为AB∥═CD，所以FM∥═AB，
从而四边形FMAB是平行四边形．所以AM∥BF. 即有D1E∥BF.又BF⊂平面FBD， D1E⊄平面FBD， 所以D1E∥平面FBD.
又B1B∥═D1D，从而四边形BB1D1D是平行四边形．故而B1D1∥BD， 又BD⊂平面FBD，B1D1⊄平面FBD， 从而B1D1∥平面FBD， 又D1E∩B1D1＝D1， 所以平面EB1D1∥平面FBD.
证明面面平行的方法
(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可．
(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．
典型应用2
面面平行性质定理的应用
如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，
A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.
【证明】 如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，BD，AC.
因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因为α∥β，所以AC∥DE.
又P，N分别为AE，CD的中点，
所以PN∥DE，PN⊄α，DE⊂α，所以PN∥α. 又M，P分别为AB，AE的中点， 所以MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α. 所以MP∥α，因为MP∩PN＝P， 所以平面MPN∥α.
又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.
1．[变条件]在本例中将M，N分别为AB，CD的中点换为M，N分别在线AMCN
段AB，CD上，且MB＝ND，其他不变．
证明：MN∥平面α.
证明：作AE∥CD交α于点E，连接AC，BD，如图． 因为α∥β且平面AEDC与平面α，β的交线分别为ED，
AC，
所以AC∥ED，所以四边形AEDC为平行四边形，作NP∥DE交AE于点P，
CNAP
连接MP，BE，于是ND＝PE.
AMCNAMAP
又因为MB＝ND，所以MB＝PE，所以MP∥BE. 而BE⊂α，MP⊄α，所以MP∥α.同理PN∥α. 又因为MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面α. 又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.
2．[变条件、变问法]两条异面直线与三个平行平面α，β，γ分别交于A，ABDE
B，C和D，E，F，求证：BC＝EF.
证明：连接AF交平面β于点M.
连接MB，ME，BE，AD，CF，因为α∥β， 所以ME∥AD. DEAM所以EF＝MF. 同理，BM∥CF， ABAM所以BC＝MF， ABDE即BC＝EF.
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
[提醒] 面面平行性质定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想．与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．
典型应用3
平行关系的综合问题
在正方体ABCD
A1B1C1D1中，如图．
(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.
【解】 (1)证明：因为在正方体ABCD所以四边形AB1C1D是平行四边形， 所以AB1∥C1D.
又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD. 所以AB1∥平面C1BD. 同理B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接A1C，连接AO1与A1C交于点E.
又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．证明A1E＝EF＝FC的过程如下：
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1， 平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F. 在△A1C1F中，O1是A1C1的中点， 所以E是A1F的中点，即A1E＝EF； 同理可证OF∥AE， 所以F是CE的中点，
即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.
解决平行关系的综合问题的方法
(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．
A1B1C1D1中，AD∥═B1C1，
(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
8．6.1 直线与直线垂直 8．6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定
1．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b．
(3)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°. ■[名师点拨]
当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．
2．直线与平面垂直 定义 记法 有关 概念 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 l⊥α 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 及画法 四边形的一边垂直 ■名师点拨 (1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．
3．直线与平面垂直的判定定理 文字 语言 图形 语言 符号 语言 ■名师点拨 判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．
典型应用1
异面直线所成的角
如图，在正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心．
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
求：(1)BE与CG所成的角； (2)FO与BD所成的角． 【解】 (1)如图，因为CG∥BF.
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角， 又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.
(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．
所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角． 连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF， 所以△AFH为等边三角形，
又知O为AH的中点，
所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.
1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．
解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，
所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.
2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角．
解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BF∥═CG，因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BM∥所以四边形BNGM═NG，是平行四边形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其补角)是异面直
线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角为78.4°.
求异面直线所成的角的步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．
[提醒] 求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.
典型应用2
直线与平面垂直的定义
(1)直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( ) A．平行 C．异面
．相交 ．垂直
(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 【解析】 (1)因为直线l⊥平面α，所以l与α相交． 又因为m⊂α，所以l与m相交或异面． 由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m. 故l与m不可能平行．
(2)对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．
【答案】 (1)A (2)B
对线面垂直定义的理解
(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．
(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b. 典型应用3
直线与平面垂直的判定
如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE
⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.
(1)求证：PC⊥平面AEF；
(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.
【证明】 (1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC. 又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB， 所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B， 所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， 所以AE⊥PC.
又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A， 所以PC⊥平面AEF.
(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF， 所以PC⊥AG，
同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD， 所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C， 所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD， 所以AG⊥PD.
1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.
证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，
BD⊂平面ABCD， 所以BD⊥PA， 因为PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC，又FH⊂平面PAC， 所以BD⊥FH.
2．[变条件]若本例中PA＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG.
证明：因为PA⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以DC⊥PA， 又因为ABCD是矩形，所以DC⊥AD，又PA∩AD＝A， 所以DC⊥平面PAD，又AG⊂平面PAD， 所以AG⊥DC，
因为PA＝AD，G是PD的中点， 所以AG⊥PD，又DC∩PD＝D， 所以AG⊥平面PCD，所以PC⊥AG， 又因为PC⊥AF，AG∩AF＝A， 所以PC⊥平面AFG.
3．[变条件]本例中的条件“AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F”，改为“E，F分别是AB，PC的中点，PA＝AD”，其他条件不变，求证：EF⊥平面PCD.
证明：取PD的中点G，连接AG，FG. 因为G，F分别是PD，PC的中点，
11∥所以GF∥CD，又AE═2═2CD，所以GF∥═AE， 所以四边形AEFG是平行四边形，所以AG∥EF. 因为PA＝AD，G是PD的中点， 所以AG⊥PD，所以EF⊥PD， 易知CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD， 所以CD⊥AG，所以EF⊥CD.
因为PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD.
(1)线线垂直和线面垂直的相互转化
(2)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义． ②线面垂直的判定定理．
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
[提醒] 要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中
的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．
直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质定理
1．直线与平面所成的角
(1)定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α
引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°.
(3)范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°． ■名师点拨
把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
2．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 符号语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 a⊥α⇒a∥b b⊥α图形语言 作用 ■名师点拨 (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法． (2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．
3. 线面距与面面距
(1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，
①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线 叫做这条直线到这个平面的距离．
(2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
典型应用1
直线与平面所成的角
在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面
ABB1A1所成的角的正弦值．
【解】 取AA1的中点M，连接EM，BM.
因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD. 又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2， 则EM＝AD＝2，BE＝
22＋22＋12＝3.
EM2于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝BE＝3， 2
即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为3.
典型应用2
线面垂直的性质定理的应用
如图，已知正方体A1C. (1)求证：A1C⊥B1D1；
(2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，
求证：MN∥A1C.
【证明】 (1)如图，连接A1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1D1， B1D1⊂平面A1B1C1D1， 所以CC1⊥B1D1.
因为四边形A1B1C1D1是正方形， 所以A1C1⊥B1D1. 又因为CC1∩A1C1＝C1， 所以B1D1⊥平面A1C1C.
又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C. (2)如图，连接B1A，AD1. 因为B1C1∥═AD，
所以四边形ADC1B1为平行四边形， 所以C1D∥AB1，
因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1. 又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1， 所以MN⊥平面AB1D1. 由(1)知A1C⊥B1D1. 同理可得A1C⊥AB1. 又因为AB1∩B1D1＝B1， 所以A1C⊥平面AB1D1. 所以A1C∥MN.
(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．
(2)直线与平面垂直的其他性质
①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直； ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面； ③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP⊂α； ④垂直于同一条直线的两个平面平行；
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面． 典型应用3
求点到平面的距离
如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥
平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥PABD的体积V＝A到平面PBC的距离．
【解】 (1)证明：如图，设BD与AC的交点为O，EO.
因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点． 又点E为PD的中点，所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC. 13
(2)V＝AP·AB·AD＝AB.
6633由V＝4，可得AB＝2. 作AH⊥PB于点H.
由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC，即AH的长就是点A到平面PBC的距离．
连接
3，求4
AP·AB31313
因为PB＝AP＋AB＝2，所以AH＝PB＝13，
2
2
313
所以点A到平面PBC的距离为13.
从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等换法转换求解．
8.6.3 平面与平面垂直
1．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
(2)图形和记法 图形：
记作：二面角αABβ或二面角αlβ或二面角PABQ或二面角PlQ． 2．二面角的平面角
(1)定义：在二面角αlβ的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
(2)图形、符号及范围 图形：
符号：
α∩β＝l，O∈l
OA⊂α，OB⊂β⇒∠AOB是二面角的平面角． OA⊥l，OB⊥l
范围：0°≤∠AOB≤180°．
(3)规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．
■名师点拨
(1)二面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的．
(2)构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直．
3．平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β．
(2)判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ■名师点拨 定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线．
4．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥β⇒α⊥β l⊂α符号语言 α⊥β α∩β＝l a⊂α a⊥l⇒a⊥β 图形语言 作用 ①面面垂直⇒线面垂直 ②作面的垂线 ■名师点拨 对面面垂直的性质定理的理解
（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直. （2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.
典型应用1
二面角的概念及其大小的计算
（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底
面ABCD所成锐二面角A1BDA的正切值为（ ）
3
A.2 C.2
2B.2 D.3
（2）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为（ ）
A.相等 C.相等或互补
B.互补 D.不确定
【解析】 （1）如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD的中点，因为A1D＝A1B，所以在△A1BD中，A1O⊥BD.
又因为在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以∠A1OA为二面角A1BDA的平面角.
21
设AA1＝1，则AO＝2.所以tan∠A1OA＝＝2.
22
（2）反例：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角DAA1E与二面角B1ABC的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补.
【答案】 （1）C （2）D
（1）求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”. （2）作出二面角的平面角的方法
方法一：（定义法）在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.
如图所示，∠AOB为二面角αaβ的平面角.
方法二：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
如图所示，∠AFE为二面角ABCD的平面角.
方法三：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角.
如图所示，∠AOB为二面角αlβ的平面角.
[提醒] 二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.
典型应用2
平面与平面垂直的判定 角度一 利用定义证明平面与平面垂直
如图，在四面体ABCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB
＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.
【证明】 因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形， 所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.
在△ABD中，AB＝a， 12
BE＝2BD＝2a， 所以AE＝
2
AB2－BE2＝2a.
2
同理CE＝2a，在△AEC中， 2
AE＝CE＝2a，AC＝a. 由于AC2＝AE2＋CE2，
所以AE⊥CE，∠AEC是二面角ABDC的平面角，又因为∠AEC＝90°， 所以二面角ABDC为直二面角， 所以平面ABD⊥平面BCD.
角度二 利用判定定理证明平面与平面垂直
如图，在四棱锥PABCD中，若PA⊥平面ABCD且
四边形ABCD是菱形.求证：平面PAC⊥平面PBD.
【证明】 因为PA⊥平面ABCD， BD⊂平面ABCD， 所以BD⊥PA.
因为四边形ABCD是菱形， 所以BD⊥AC. 又PA∩AC＝A， 所以BD⊥平面PAC. 又因为BD⊂平面PBD， 所以平面PAC⊥平面PBD.
证明平面与平面垂直的两种常用方法
（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是： ①找出两相交平面的平面角； ②证明这个平面角是直角；
③根据定义，这两个相交平面互相垂直.
（2）利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直.即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：
典型应用3
面面垂直的性质定理的应用
已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，
平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.
【证明】 如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，
因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，
所以AD⊥平面PBC，
又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC. 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC， 因为AD∩PA＝A， 所以BC⊥平面PAC，
又AC⊂平面PAC，所以BC⊥AC.
利用面面垂直的性质定理应注意的问题
若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线.
典型应用4
垂直关系的综合问题
如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，
且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：
（1）DE＝DA；
（2）平面BDM⊥平面ECA； （3）平面DEA⊥平面ECA.
【证明】 （1）如图，取EC的中点F，连接DF. 因为EC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以EC⊥BC. 同理可得BD⊥AB，
易知DF∥BC，所以DF⊥EC. 在Rt△EFD和Rt△DBA中， 1
因为EF＝2EC，EC＝2BD， 所以EF＝BD. 又FD＝BC＝AB，
所以Rt△EFD≌Rt△DBA，故DE＝DA. （2）取CA的中点N，连接MN，BN， 1
则MN∥EC，且MN＝2EC. 1
因为EC∥BD，BD＝2EC， 所以MN綊BD， 所以N点在平面BDM内. 因为EC⊥平面ABC， 所以EC⊥BN.
又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA. 因为BN在平面MNBD内， 所以平面MNBD⊥平面ECA，
即平面BDM⊥平面ECA.
（3）由（2）易知DM∥BN，BN⊥平面ECA， 所以DM⊥平面ECA. 又DM⊂平面DEA， 所以平面DEA⊥平面ECA.
垂直关系的转化
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
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