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・１３・ ２００６年第二期 精密进场雷达航迹跟踪的算法研究 长岭电子科技公司研发部 焦慧思源 摘要：介绍了某雷达跟踪软件的ａ—ｐ滤波算法的推导过程，此算法已成功应用在某型号雷达的跟踪显 示分机上。 关键词：精密进场雷达航迹跟踪ａ—ｐ滤波算法 １．１航迹跟踪的ａ—ｐ滤波算法 在边扫边跟（ＴＷＳ）系统中，ａ～ｐ滤波器以其 式中： 文（ｋ）一第ｋ个扫描周期的速度平滑值 文（ｋ）一第ｋ个扫描周期目标位置的平滑值 文 （ｋ）一第（ｋ一１）个扫描周期对第ｋ个周期 目标位置的预测值 支（ｋ一１）一第（ｋ一１）个扫描周期的速度平滑 平滑值 计算量小、设备简单而得到了广泛的应用，其具体 结构形式有常参数、分段常参数、及自适应参数等 多种形式。 实际中被跟踪的目标总是有机动的（目标本 身的机动或由于坐标转换引起的伪机动），因此， 对于大小不同的机动，怎样确定最佳跟踪参数（ａ －文 （ｋ＋１）一第（ｋ＋１）个扫描周期目标位置 的预测值 １ｆ），便成为设计中的重要问题。本节先从理论角 度出发，对ａ—ｐ滤波器的传递函数、稳态特性和 ｚ（ｋ）一第ｋ个扫描周期的观测值 Ｔ一天线扫描周期 暂态特性进行分析，然后以二阶动态模型作为ａ ｐ滤波器的目标模型，导出用目标信号的残差 ａ一目标坐标的平滑系数 ｐ一目标速度平滑系数 以目标距离滤波为例来说明ａ—ｐ滤波器滤 调整的自适应ａ—ｐ跟踪滤波算法。 一、ａ—ｌ３滤波方程 ａ－－ｐ算法的滤波和预测公式用下列方程式 波过程，由上面的滤波公式可用图１的曲线来表 示ａ—ｐ滤波器的滤波过程。 列蠢＋ｌｌ ” 表示 ２ 一１） ｉ（ｔ—ｌ｝ ．＝Ｉ＾ ／／ ’ （１＋１） ．｛Ｉｌ＋１） ｌｌ 式（１—１） 轰（ｋ）一轰（ｋ一１）＋譬［ｚ（ｋ）一；【 （ｋ）］ 式（１—２） 式（１—３） —— （上 １） 图１ ｎ—ｐ滤波平滑与外推曲线 维普资讯 http://www.cqvip.com
２００６年第二期 由图１—１可以看出，ａ是目标坐标修正量的 ・１４・ ［文Ｐ（ｋ＋１）一（２一ａ）文Ｐ（ｋ）＋（１一ａ）文Ｐ（ｋ一 一 比例系数，Ｂ是目标速度修正量的比例系数。 同样，可由ａ—Ｂ滤波方程得到ａ—Ｂ滤波器 的原理框图，如图２所示。 １）一ａｚ（ｋ）＋ａｚ（ｋ一１）］ 由式（１—５）可得： 文Ｐ（ｋ＋１）一（２一ａ一１３）文Ｐ（ｋ）＋（１一ａ）文Ｐ（ｋ一 图２ ａ－－ｐ滤波器原理框图 二、系统稳定性分析 ａ—Ｂ滤波器的系统稳定性与ａ、Ｂ的取值密切 相关。因此，为了讨论系统稳定性与ａ、Ｂ的关系， 首先应求出系统函数，为此，不妨以观测值为输 人，可分别求出平滑值、外推值和速度估计值所对 应的传递函数。 由式（１—１）得： 曼（ｋ）一 一［）一 文Ｐ（ｋ＋１）一文Ｐ（ｋ）］ 将（１—１）式代人上式得： 支（ｋ）＝ ［文Ｐ（ｋ＋１）一；【Ｐ（ｋ）一ａｚ（ｋ）＋ａ；【Ｐ（ｋ）］ ＝ ［文Ｐ（ｋ＋１）一（１一ａ）；【Ｐ（ｋ）一ａｚ（ｋ）］ 式（１—４） 由式（１—２）得： 曼（ｋ）一曼（ｋ＋１）一 ［ｚ（ｋ）一文 （ｋ）］ 式（１—５） 由式（１—４）得： 支（ｋ）一曼（ｋ～１）一ｉ１［ｋＰ（ｋ＋１）一文Ｐ（ｋ）一ａｚ Ａ（ｋ）＋ａ文Ｐ（ｋ）］一 ［文Ｐ（ｋ）一文Ｐ（ｋ一１）一ａｚ（ｋ一 Ａ １）＋ａ文Ｐ Ｐ（ｋ一１）］ １）一（ａ＋１３）ｚ（ｋ）－－ａｚ（ｋ一１） 两边取ｚ变换得： 文Ｐ（ｚ）［ｚ一（２一ａ—Ｂ）＋（１－－ａ）ｚ ］一［（ａ＋Ｂ） 一ａｚ一 ｚ（ｚ） 所以有： ｋｐ（ｚ） （ａ＋１３）一ａｚ一 （Ｚ） Ｚ一（２一ａ—Ｂ）４－（１－－ａ）ｚ ±垒 二 Ｚ。（２一ａ—Ｂ）ｚ＋（１－－ａ） 即ａ—Ｂ滤波的脉冲传递函数为： 一 式（１—６） 同理可求得平滑值所对应的传递函数为： ｚ 一 苦离 式（１—７） 速度估计值所对应的传递函数为： ’ （ｚ）一 １ Ａ （ｚ－－１） 丽 式（１—８） 由离散信号与系统的理论可知，系统稳定的 充分必要条件是它的传递函数的特征根都在Ｚ平 面的单位圆内，由式（１—６），式（１—７），式（１—８） 可得特征多项式为： Ｄ（ｚ）一Ｚ。～（２一ａ一１３）ｚ＋（１一ａ） 令Ｄ（ｚ）一０得： Ｚ。一（２一ａ—Ｂ）ｚ＋（１一ａ）一０ 解之得系统稳定时ａ、１３应满足的条件是： ｆ ＞０ １３＞ｏ 【４—２ａ—Ｂ＞ｏ 根据这些条件，可得如下稳定三角形，其稳定 维普资讯 http://www.cqvip.com
・１５・ 区为： ｆ２ａ＋ ＜４ Ｉ ０＜ａ＜２ 【０＜Ｂ＜４ 只要ａ、 的值选在这个区内，系统就是稳定 的。 三、系统暂态特性分析 对于ａ— 滤波器来说，由上面的讨论可知它 的特征方程为： Ｚ。（２一ａ—Ｂ）ｚ＋（１一ａ）一０ 解之得： ７ 一 “ 呈二竺二 ± 二竺二 ！二 二 ’ ２ （２一ａ— ）±√（ａ＋Ｂ）。一４ —————— ——一一 由此可以得到以下几种情况，参见图３所示 的系统稳定区划分图： 图３系统稳定区域划分 １、若ａ＋ ＞２，并满足稳定性条件，也即在稳 定三角形内直线ａ＋ 一２的上部取ａ、 值时，极 点Ｚ 、Ｚ。中至少有一个位于负实轴上，或者Ｚ 、Ｚｚ 是一对具有负实部的共轭复极点，这种情况下的 暂态过程都是阻尼振荡型的，且有较高的振荡频 率。 ２、若ａ＋ ≤２，且满足（ａ＋ ）。一４ 时，也即在 ２００６年第二期 稳定三角形内直线ａ＋ 一２的下部的（ａ＋ ）。＝＝＝４ 上取ａ、 值，这时可得Ｚ 一Ｚ。，即特征方程有两个 相等的实根，且都位于实轴上，这时的暂态过程为 临界阻尼状态。 ３、若ａ＋ ≤２，且满足（ａ＋ ） ＞４ 时，也即在 稳定三角形内直线ａ＋ 一２的下部，曲线（ａ＋ ）。 一４ 的右边区域内取ａ、 值，这时可得Ｚ 、Ｚ。为一 对一正一负，或都是正的实根。若要求Ｚ 、Ｚ 都是 位于正实轴上的正实根，就要求： ［２一（ａ＋Ｂ）］＞√（ａ＋ ）。一４ 解之得： ０＜ａ＜１ 这就是说若在临界阻尼曲线的右边，ａ一１直 线的左边取ａ、 ，才可能使Ｚ 、Ｚｚ都位于单位圆的 正实轴上，这种取值下得到的暂态过程为过阻尼 状态。 ４、若在稳定三角形内（ａ＋ ）。一４ 临界阻尼 线的左边取ａ、 值，即满足（ａ＋ ）。＜４ 的条件， 这时Ｚ 、Ｚｚ将含有虚部而构成一对共轨极点，对于 这种情况其暂态过程一定是阻尼振荡型的。 综上所述，对于系统的暂态过程，可归纳如 下： ①ａ≤１， ＜１且（ａ＋ ） ＞ 时，系统暂态过 程为过阻尼状态。 ②ａ＜１， ≤１且（ａ＋ ） ＜ 时，系统暂态过 程为欠阻尼状态。 ③ａ≤１，Ｂ≤１且（ａ＋ ） 一 时，系统暂态过 程为临界阻尼状态。 四、噪声滤波特性 在满足系统稳定的条件下，还需要系统对模 型和观测噪声具有良好的滤波作用。ａ— 滤波器 可以看作具有噪声化输入的动态系统，用递推法 计算得到在稳态时，滤波位置和速度的方差与ａ 和 的关系为： 维普资讯 http://www.cqvip.com
２００６年第二期 ——— ・醒 ●—一＝——————— ————一 ａ（４—２ａ—ｐ） 一 一 ・１６・ 式（１＿９）ｆｕ ｌ—Ｕ ｌ 其中： —————醒—● ａ——一：：———（—４———２—朵丽 ——— ａ———ｐ—————）—Ｔ—一０ ＝式（｛‘ｆ、 Ｉ－１０）ｌ 根据系统暂态特性的要求，在最优值情况下， 可以得到滤波参数ａ和ｐ的关系为： ｐ一—２ ａ －Ｘ㈤一（ｋ）一Ｉ Ｌ 文（ｋ）ＪＩ Ｌ， 一ｌ［ ，Ｏ １ ＪＩ ， ｒＴ。／２７ 一ｌＴ ｊ，Ｈ一［ ｏ］ ∞（ｋ）、ｎ（ｋ）分别是均值为零，方差为ｄ。、 的 随机扰动高斯白噪声和观测高斯白噪声，且互不 式（１—１１） 由式（１—９）～（１—１１）可得到目标位置和速 度均方差与参数ａ的关系如图４所示。 口 图４稳态位置、速度均方差与ａ的关系 图中实线为目标位置均方差，虚线为目标速 度均方差，由图可以直接看出，增益分量ａ越小， 观测噪声的滤除就越好。 以上讨论了ａ和ｐ为常数的情况，它可以作 为匀速或缓慢机动目标的跟踪滤波算法，但是如 果在雷达天线的一次扫描中，目标的随机扰动噪 声很大，那么用这种滤波器来跟踪目标将会产生 很大的误差，甚至目标丢失。因此，在跟踪过程中 必须根据目标机动和噪声环境对ａ和ｐ的值进行 自适应修正。 针对本系统所跟踪的目标是匀速直线或慢机 动，并带有随机扰动的特点，根据式（５．１．１）和（５． １．４）建立目标的二阶信号模型为： Ｘ（ｋ＋１）一 Ｘ（ｋ）＋ ｗ（ｋ） 式（１—１２） 雷达最测方程为： ｚ（ｋ）一ＨＸ（ｋ）＋ｎ（ｋ） 式（１—１３） 相关。 滤波方程和预测方程同式（１—１）、（１—２）， （１—３） 同样设噪声一信号比为： ｒ＝ 口Ｔ ２ 式（１—１４）＼ ｗ 则系统进入稳态以后，利用上节推导的结果 得： 归一化目标位置和速度预测均方误差为： — 一— 一 一 ＾（ 、／ｌ十ｚ 十ｌ＋１）２ Ｊ‘ 式（１—１５） Ｐｐ（２，２） （√１＋２ｒ＋１） —－：－－・－－－－－－－—一：＝ ・——・－－－－－－－－－－－・－－－－－－・－・－－－－一 《 ｒ Ｉ 式（１—１６） 归一化目标位置和速度滤波均方差为： ￣＇１－＋－２ｒ— 一— 一丁一 ＾（厕、／ｌ十 一１）‘一１）。 式（１—１７） （￣／ｌ＋２ｒ－－１） 一 ——口２ 。 ｒ０Ｔ‘ 式（１—１８） 目标位置增益为： （ｋ）一 （√再 一１）。 式（１—１９） 目标速度增益为： ｐ（ｋ）一２［２一ａ（ｋ）］一４√Ｆ 式（１—２０） 在式（１—１７）的定义中，要实时获得目标随机 扰动噪声的方差 是不可能的，采用上一节同样 维普资讯 http://www.cqvip.com
瞧■叠苴霸默麓方麓 ・１７・ 的方法，用目标信号残差方差来作为随机扰动噪 声方差的近似。 则有： Ｎ－－１ 口 ≈口２（ｋ）＝Ｎ Ｖ （ｋ－－１）＝口￣（ｋ－－ｉ）－－［－１ｉ＝ｏ ｌ ［－Ｖ （ｋ）一ｖ （ｋ—Ｎ）］ 式（１—２１） 其中残差为：ｖ（ｋ）一ｚ（ｋ）一文Ｐ（ｋ） 七 图５稳态时位置增益和残差方差曲线 图６稳态时速度增益与残差方差曲线 根据上面所推得的公式，就可以实现在跟踪 过程中对滤波参数进行自适应修正。仍以作匀速 直线运动的目标受到随机扰动为例，初始条件同 前，则在系统稳定后，目标位置、速度增益与信号 残差方差随天线扫描次数的变化关系如图５和图 ６所示。 ２００６年第二期 图中虚线为目标信号残差方差，实线为目标 位置和速度增益。由图可、见，系统进入稳态后，当 信号残差增大，随机扰动噪声增强时，相应的位置 和速度增益也随之增大；当信号残差减小，随机扰 动减弱时，相应的位置和速度增益也随之减小。因 此信号残差在目标跟踪过程中起到了对位置和速 度增益进行自适应修正的功能，实现自适应跟踪 的目的，跟踪仿真的结果如图７所示。 图７航迹跟踪仿真结果 图中实线为真实航迹，星线为滤波航迹，由图 可见，跟踪滤波器具有良好的自适应特性。与卡尔 曼自适应方法相比，仿真结果如图８。 其中，图（ａ）、图（ｂ）分别是自适应ａ—ｐ滤波 和自适应卡尔曼滤波的位置增益与信号残差的关 系，比较可以看出，前者的反应速度要快，对于速 度增益的变化也有相似的情况，如图（ｃ）和（ｄ）所 示。 通过以上的讨论，对于本系统而言，选用自适 应ａ—ｐ滤波算法比较合适，为了减小运算量，提 高运算速度，事先可根据要跟踪目标的运动情况 （速度高低及机动范围等），按ｏ：／ｏ：的估计值由小 到大，脱机求得所对应的ａ（ｋ）和ｐ（ｋ）／Ｔ的值，存 于计算机内存（表）中，跟踪滤波时，实时求得ｏ：／ ｏ：按其大小查表得到对应的滤波增益ａ（ｋ）和 （ｋ）／Ｔ，以实现快速自适应ａ—ｐ滤波。 维普资讯 http://www.cqvip.com
２００６年第二期 ・１８・ 圈（ｃ） 圈（ｄ） 图８稳态时自适应ａ—ｐ滤波和自适应卡尔曼滤波的性能比较 参考文献 Ｅ１３丁鹭飞．《雷达原理》．西北电讯工程学院出版社．１９８４ Ｅ２３吴兆雄．《数字信号处理》．下册．西安交通大学出版社．１９８９ ［３］中科院计算中心概率统计组．《概率统计计算》．科学出版社．１９８１ ［４］Ａ．费利那．Ｆ．Ａ斯塔德．《雷达数据处理》．国防工业出版社．１９８５ Ｅ５３朱华、黄辉宁、梅文博等．《随机信号分析》．北京理工大学出版社．１９９０ ［６３［美３Ｍ．１．斯科尔尼克．《雷达手册》．国防工业出版社．１９８１
