2020-2021学年江西省南昌二中高一（下）开学数学试卷
一、单项选择题（共12小题）. 1．函数f（x）＝A．（0．e） 2．已知sin（π+α）＝A．
的定义域是（ ） B．（0，e] ，则sin（B．
C．[e，+∞）
+2α）＝（ ）
C．
D．
D．（e，+∞）
3．已知A．a＜b＜c
，，c＝ln3，则（ ） B．a＜c＜b
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
4．若单位向量，满足A． 5．函数
B．
，则向量，夹角的余弦值为（ ）
C．
D．
的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣e）∪（0，e） 7．已知函数f（x）＝
，若f（m）+2f（﹣m）＞0，则实数m的取值范围为
B．（﹣1，0）∪（0，1）
D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
cosx（x∈（0，π））的图象与函数y＝tanx的图象交于A，B两点，
则△OAB（O为坐标原点）的面积为（ ）
A．8．已知函数
B． C． D．
上是减
是偶函数，则f（x）在
函数的一个θ值是（ ） A．
B．
C．
D．
9．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（ ） A．1
B．2
C．
D．
）对一切x∈R
10．设函数f（x）＝asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（恒成立，则下列结论中正确的是（ ） A．f（B．点（
）＝0
，0）是函数f（x）的一个对称中心
）上是增函数
C．f（x）在（0，
D．存在直线经过点（a，b）且与函数f（x）的图象有无数多个交点
11．已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB＝120°，MN是圆O的一条直径，点C在线段AB上（不包含两个端点），则A．
B．[﹣1，1）
C．
的取值范围是（ ）
D．[﹣1，0）
12．已知函数f（x）＝的图象上关于y轴对称的点至少
有3对，则实数a的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
﹣
13． 已知函数y＝ax3+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点A在角α的终边上，则tan2α＝ ．
14．如图，在同一个平面内．向量为α，且n＝ ．
，
与
，，的模分别为1，，，与的夹角，则m﹣
的夹角为45°．若
15．△ABC的三个内角为A、B、C，当A为 °时，且这个最大值为 ． 16．已知函数
ω的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共70分） 17．已知tan（π+α）＝3，求18．已知
，求
的值．
的值．
（ω＞0）在
取得最大值，
内恰有两个最小值点，则
19．已知向量与的夹角为60°，||＝3，||＝2，＝2﹣3，＝3+k． （Ⅰ）若
，求实数k的值；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得∥？说明理由． 20．如图是函数点
一个周期内的图象，已知
是图象与x轴的交点．点C是图象上的最高点，点C的横坐标为．
（1）求函数f（x）的解析式； （2）记∠ACB＝θ，求tanθ的值．
21．如图，G是△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线． （1）设（2）设
，将，
用λ、
、
表示； 是定值．
，证明：
22．如图（1）所示，用两块宽分别为+1cm和1cm的矩形钢板（|PQ|＝+1，|MN|＝1），
剪裁后在平面内焊成60°的“角型”．
（Ⅰ）设∠POA＝x，请问下料时x应取多少度？
（Ⅱ）如图（2）所示，在以O为圆心，OA为半径的扇形钢板区域内雕刻一矩形铭牌DEFG，其中动点F在扇形的弧23．已知函数
（1）求函数f（x）的单调区间 （2）将函数f（x）的图象先向左平移
个单位，再把图象上各点的横坐标伸长为原来
，不等式
上，求矩形DEFG面积的最大值．
．
的2倍，得到函数h（x）的图象．若对任意的
成立，求实数p的取值范围．
参
一、单项选择题（共60分） 1．函数f（x）＝A．（0．e） 的定义域是（ ） B．（0，e]
C．[e，+∞）
D．（e，+∞）
解：函数f（x）＝的定义域的定义域为：
解得0＜x≤e．
故函数的定义域为：（0，e]， 故选：B． 2．已知sin（π+α）＝，则sin（+2α）＝（ ）
A． B．
C．
D．
解：由，得
，
∴＝
＝
． 故选：A． 3．已知，
，c＝ln3，则（ ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
解：a＝
＝
，＝，
又因为，
所以，
即a＜b，
又c＝ln3＞lne＝1， 即a＜b＜c．
b＝
故选：A．
4．若单位向量，满足A．
B．
，则向量，夹角的余弦值为（ ）
C．
D．
解：根据题意，设向量，夹角为θ， 若单位向量，满足则有（2+）2＝4则有cosθ＝， 故选：A． 5．函数
的图象大致是（ ）
2
，
2
++4•＝5+4cosθ＝8，
A． B．
C． D．
解：函数
满足f（﹣x）＝﹣f（x），
故函数图象关于原点对称，排除A、B， 当x∈（0，故排除D， 故选：C． 6．已知函数（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
）时，
，
，若f（m）+2f（﹣m）＞0，则实数m的取值范围为
B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣e）∪（0，e） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
解：当m＞0时则﹣m＜0，所以f（m）+2f（﹣m）＝lnm﹣2ln（﹣m）＞0， 即lnm﹣lnm2＝ln＞0，解得0＜m＜1，
当m＜0时，﹣m＞0，所以f（m）+2f（﹣m）＝﹣ln（﹣m）+2lnm＞0， 即ln（﹣m）＞0，解得m＜﹣1，
综上，实数m的取值范围为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）， 故选：D． 7．已知函数f（x）＝
cosx（x∈（0，π））的图象与函数y＝tanx的图象交于A，B两点，
则△OAB（O为坐标原点）的面积为（ ） A．
B．
，有，解得sinx＝或
，
，
，
C．
，
，或 sinx＝﹣
（舍去），
D．
解：由题意有有
由x∈（0，π）可得则点A的坐标为线段AB中点的坐标为故选：B． 8．已知函数
函数的一个θ值是（ ） A．
B．
，点B的坐标为
，则△OAB的面积为
是偶函数，则f（x）在上是减
C． D．）
解：函数∵f（x）是偶函数 ∴θ+
＝
．
上是减函数， ，k∈Z
＝2sin（2x+θ+
得θ＝kπ又∵f（x）在
则，
可得：当k＝0时， 可得故选：A．
．
，k∈Z．
9．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（ ） A．1
B．2
C．
D．
解：由题意可得•＝0， 可得|+|＝
（﹣）•（﹣）＝
2
＝，
+•﹣•（+）
＝||2﹣||•|+|cos＜（+，＞＝0， 即为||＝
cos＜+，＞，
当cos＜+，＞＝1即+，同向时， ||的最大值是故选：C．
10．设函数f（x）＝asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（恒成立，则下列结论中正确的是（ ） A．f（B．点（
）＝0
）对一切x∈R
．
，0）是函数f（x）的一个对称中心
）上是增函数
C．f（x）在（0，
D．存在直线经过点（a，b）且与函数f（x）的图象有无数多个交点 解：函数f（x）＝asinx+bcosx＝周期T＝2π．
sin（x+φ），sinφ
，
由题意么x＝∴f（x＝那么∴点（因为x＝故选：D．
取得最小值，a，b∈R，ab≠0，
）＝0不正确； 取得最小值，
就是相邻的对称中点，
，0）不是函数f（x）的一个对称中心；
取得最小值，根据正弦函数的性质可知，f（x）在（0，
）是减函数．
11．已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB＝120°，MN是圆O的一条直径，点C在线段AB上（不包含两个端点），则A．
B．[﹣1，1）
C．
的取值范围是（ ）
D．[﹣1，0）
解：∵A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB＝120°，MN是圆O的一条直径，点C在线段AB上（不包含两个端点）， ∴∴
，即
， ，
又∵0＜λ＜1，∠AOB＝120°， ∴点C在线段AB上，且∴
，
∵∴故选：C．
， ．
，
＝
12．已知函数f（x）＝的图象上关于y轴对称的点至少
有3对，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：若x＞0，则﹣x＜0， ∵x＜0时，f（x）＝sin（∴f（﹣x）＝sin（﹣则若f（x）＝sin（则f（﹣x）＝﹣sin（即y＝﹣sin（
x）﹣1，
x）﹣1，
x）﹣1＝﹣sin（
x）﹣1，（x＜0）关于y轴对称， x）﹣1＝f（x），
x）﹣1，x＞0，
x）﹣1，x＞0
设g（x）＝﹣sin（
作出函数g（x）的图象，
要使y＝﹣sin（x）﹣1，x＞0与f（x）＝logax，x＞0的图象至少有3个交点，
则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5）， 即﹣2＜loga5， 即loga5＞logaa﹣2， 则5＜
，
，
解得0＜a＜故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数y＝ax﹣3+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点A在角α的终边上，则tan2α＝ 解：∵y＝3x﹣3+1恒过点A（3，4）， ∴tanα＝，
．
∴tan2＝＝．
故答案为：．
，
，
的模分别为1，
，
，
与
的夹角，则m﹣
14．如图，在同一个平面内．向量为α，且n＝
．
，
与
的夹角为45°．若
解：以O为坐标原点．向量坐标系．
点A的坐标为（1，0），
方向为x轴，与向量垂直的方向为y轴，建立平面直角
，，
可得点C的坐标为（2，1），，
所以，
．
，
，
又点B的坐标为（1，3），若
，则m+n＝2且3n＝1，
所以，所以．
故答案为：．
15．△ABC的三个内角为A、B、C，当A为 60 °时，这个最大值为
．
＝1﹣2
+，
+2cos（
取得最大值，且
解：因为A+B+C＝180°，则2
+2sin＝﹣2
﹣）＝1﹣
所以当sin＝，因为为锐角，所以＝30° 即A＝60°时，原式的最大值为． 故答案为：60， 16．已知函数ω的取值范围是 解：作出函数
（ω＞0）在 ．
（ω＞0）的图象，
内恰有两个最小值点，则
＝
要使在
，，
内恰有两个最小值点，
所以，解得，即．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共70分） 17．已知tan（π+α）＝3，求解：∵tan（π+α）＝tanα＝3，
的值．
∴原式＝18．已知【解答】解∵∴∴原式＝＝＝＝
．
＝，求
，
，
＝＝7．
的值． ，
19．已知向量与的夹角为60°，||＝3，||＝2，＝2﹣3，＝3+k． （Ⅰ）若
，求实数k的值；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得∥？说明理由．
解：（Ⅰ）向量与的夹角为60°，||＝3，||＝2，＝2﹣3，＝3+k， ∴•＝（2﹣3）•（3+k）＝6||2﹣3k||2+（2k﹣9）•||•||•cos60°＝54﹣12k+3（2k﹣9）＝0， 解得k＝； （Ⅱ）∵∥，
∴存在实数λ可得（2﹣3）＝λ（3+k）， ∴
，解得k＝﹣．
一个周期内的图象，已知
是图象与x轴的交点．点C是图象上的最高点，点C的横坐标为．
20．如图是函数点
（1）求函数f（x）的解析式； （2）记∠ACB＝θ，求tanθ的值．
解：（1）由图可知，函数f（x）的周期为∴
．
，有，可得，有
，
．
，
．
，
代入点C的坐标又由可得
故函数f（x）的解析式为
（2）如图．过点C作x轴的垂线，垂足为M． 可得点M的坐标为
，
，
|，
，|CM|
由函数f（x）图象的周期性，可得点B的坐标为＝1， 在△AMC中，
，
在△BMC中，，，
由θ＝π﹣（∠CAM+∠CBM）．
可得 tanθ＝﹣tan（∠CAM+∠CBM）＝8，故tanθ＝8．
21．如图，G是△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线． （1）设（2）设
，将，
用λ、
、
表示； 是定值．
，证明：
解：（1）∵∴整理，得
，即＝（1﹣λ）
，＝λ（+λ
）
（2）∵G是△OAB的重心， ∴∵∴
＝
＝×（，＝（1﹣λ）
，+λ
+
）＝（
++λ
）
＝（1﹣λ）
因此，得到，可得，
∴＝3（1﹣λ）+3λ＝3，即＝3（定值）．
+1cm和1cm的矩形钢板（|PQ|＝
+1，|MN|＝1），
22．如图（1）所示，用两块宽分别为
剪裁后在平面内焊成60°的“角型”．
（Ⅰ）设∠POA＝x，请问下料时x应取多少度？
（Ⅱ）如图（2）所示，在以O为圆心，OA为半径的扇形钢板区域内雕刻一矩形铭牌DEFG，其中动点F在扇形的弧
上，求矩形DEFG面积的最大值．
解：（Ⅰ）过A作AX、AY分别垂直OP、ON于X、Y，则在Rt△OAX与Rt△OAY中， OA＝∴∴（
＝＝
， ，
+1）sin（60°﹣x）＝sinx，
∴sinx＝cosx ∴x＝45°，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OF＝OA＝（设∠BOF＝θ，EF＝OFsinθ＝（DE＝OE﹣OD＝OE﹣﹣
sinθ），
+
+＝（
+1）×＝+，
）sinθ， +
）cosθ﹣
sinθ＝（
+
）（cosθ
∴S矩形DEFG＝EF•DE＝（2
sinθ）（cosθ﹣sinθ）＝（+2
[（sin2θ+）cos2θ）
﹣＝（≤（＝2+
]， ++
）2[）2（
sin（2θ+φ）﹣﹣
），
]，
∴矩形DEFG面积的最大值为2+
23．已知函数
（1）求函数f（x）的单调区间 （2）将函数f（x）的图象先向左平移
．
个单位，再把图象上各点的横坐标伸长为原来
，不等式
的2倍，得到函数h（x）的图象．若对任意的
成立，求实数p的取值范围．
解
：
（
1
）
＝
由于y＝sinθ的单调增区间为令解得：
∴f（x）单调增区间为
， ，
，k∈Z． ＝
，k∈Z，
＝
，
（2）由于 向左平移
个单位得到 y＝
，
的图象，
的图象，故h（x）＝sinx．
，
，即 p⋅（sinx﹣1）（cosx﹣1）＜sin2x，
成立．
再将各点横坐标伸长为原来的两倍得：y＝不等式即
此时，sinx∈（0，1），cosx∈（0，1），sin2x∈（0，1]， ∴（sinx﹣1）（cosx﹣1）＞0，sin2x＞0， 当p≤0时，不等式恒成立， 当p＞0时，令
＝
，
，
∴＝
，
其中sinx+cosx+sinxcosx+1＞0， ∴令F'（x）＝0得，sinx＝cosx，即当当
，
时，F'（x）＞0，F（x）单调递增， 时，F'（x）＜0，F（x）单调递减，
∴，
∴综上，
，即
．
，
