初中数学建模思想初探

初中数学建模思想初探刘海燕

（江苏省南京市第29中学初中部，江苏南京

210018）

【摘要】数学建模是人类在探索自然和社会的运作机理中所运用的最有效方法，也是数学应用于科学技术与社会的最基本的途径。初中数学建模教学把生活、生产中的具体的案例转化为数学问题，通过建立数学模型解决问题，激发学习兴趣，并在建模过程中培养学生的创新精神和应用能力。本文结合一节课例谈谈对初中数学建模教学的认识，并归纳了初中数学建模的典型类型。

【关键词】中图分类号：G40

数学建模思想；初中数学文献标识码：A

文章编号：1005-5843（2011）02-0126-03

数学建模，即建立数学模型，是基于建构主义理论的一种主动学习过程，是对现象和过程进行合理的抽象和量化，然后应用数学公式进行模拟和验证的一种模式化思维，诚如《中国大百科全书·哲学卷》所阐明的：

位置项目煤气表开始煤气表水开时所需煤气时读数/m3读数/m3126“在科学研究中成功地运用数学方法的关键，就在于针对所要研究的问题提炼出一个合适的数学模型”。笔者结合最近观摩的一节高中数学研究课，谈谈对初中学生数学建模思想的思考。

一、课例重现（一）课堂实录

【课题】怎样烧开水最省煤气

1.问题的提出。现在许多家庭都以煤气为烧水做饭的燃料，节约用气是非常现实的问题，那么怎样烧最省煤气？本节课我们就以如何烧一壶开水最省煤气为例来研究这个问题。

教师提问：你们认为煤气的用量和什么因素有关？（采用小组讨论的方式进行）

师生探讨把问题转化为：煤气灶旋钮在什么位置时烧开一壶水的煤气用量最少？

教师提问：如果实验由你们开展，你们准备怎么设计实验方案？（采取小组讨论方式）

讨论决定采用取相同质量的水，看看煤气旋钮转到不同位置时，水烧开各要耗费多少煤气。

2.实验。给定煤气灶和一只水壶。选择煤气灶旋钮的五个位置（当然多选一些更好），转了18°，36°，54°，72°，90°。

3.收集数据。

18°36°54°72°90°9.0808.9588.8198.6708.49.2109.0808.9588.8198.670量/m30.1300.1220.1390.1490.1724.处理数据（EXCEL作散点图）。

5.数学模型的建立。教师提问：从这张散点图中，你们读出了什么？

通过讨论，认为可以用一元二次函数近似地表示这种变化。于是，问题就又转化为：求出这个一元二次函数的解析式，它的最小值点即为最省煤气的旋钮位置和对应的煤气用量。

6.数据拟合。设函数式为y=ax2+bx+c，取三对数据即可求出表达式的系数。

教师提问：你们认为取哪几个点可能会使最后的结果比较准确？

经过讨论认为取1、2、5点，这几个点具有代表性（从图上看，2、5点分别是最低点和最高点），利用拟合函数得到的函数解析式，求最小用气量，对所得数学结果的检验分析。

教师提问：你们如何检验结论的合理性与准确性呢？（过程略）

作者简介：刘海燕（1972-），女，江苏南京人，江苏省南京市第29中学初中部教师，中学一级。

7.将建模过程一般化。教师提问：刚才我们用了一初中数学常见的建模方法有：涉及现实生活中普遍个特殊的例子体会了数学建模的全过程，那么，你能将存在的等量关系（不等量关系），建立方程（不等式）你们建模的过程和方法一般化吗？

模型；涉及现实生活中的变量关系，建立函数模型；涉教师提问：大家注意到了要检验，这点非常好。你及图形的位置性质，建立几何模型；涉及对现实生活中们觉得我们怎样可以保证结果尽可能准确呢？

的测量问题，建立解直角三角形模型；涉及对数据的收（二）课例分析及思考

集、整理和分析，建立统计模型，以及建立代数模型来本节课让笔者耳目一新，对笔者启发很大，除了教解决几何问题等等。

师对课堂的掌控，对学生的引导，对教材的把握等值得三、初中数学模型举例学习之外，让人印象最深的还是数学建模。

1.本节课完整地展示了数学建模的全过程，体现了以（一）方程（组）模型

学生为主体，

教师做适当引导。课标设置本节课的寓意在1.模型。第一季度生产甲、乙两种机器共480台，于帮助学生建立数学建模意识，让学生在参与建模的全改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共554过程中，初步感受科学研究的模式，解决问题的方法，台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10%，乙种机以及由动手操作的感性认识到总结归纳一般方法的思维器产量要比第一季度增产20%，该厂第一季度生产甲、过程，让学生学会总结，会由特殊问题获取一般性结乙两种机器各多少台？

论。

2.点评。对现实生活中广泛存在的如增长率、打折2.通过本课的学习，学生同时强化了函数观念。函销售问题、储蓄利率、产品购销、工程施工、人员调配数是研究变量间关系的，涉及变量间关系的均可转化为等含有等量关系的实际问题，通常可以通过构建方程函数问题来解决，而研究函数主要是通过研究其图像，（组）模型来解决。

与已知图像进行拟合，这节课强化了这个意识，这样的（二）不等式（组）模型

学习是积极，主动和有生命力的，思维层次得到了提1.模型。（2010四川宜宾中考题）小明利用课余高。

时间回收废品，将卖得的钱去购买5本大小不同的两种3.用数学模型解决现实问题蕴含了科学研究的一般笔记本，要求共花钱不超过28元，且购买的笔记本的方法。即找出要研究问题中的相关因素，用科学方法研总页数不低于340页，两种笔记本的价格和页数如下究其相关性。通过建模开阔学生的视野，提升学生的思表。

维层次，培养创新型人才，因此，进行建模教学及开展为了节约资金，小明应选择哪一种购买方案？请说其研究都是十分有意义的事情。

明理由。

可以说，本课打开了笔者的思维，像一把钥匙开启大笔记本

小笔记本

了笔者对数学建模研究的大门，从这个意义上讲，本节价格（元/本）

6

5

课也是一节好课，因为能触动他人思维，激发学习动机页数（页/本）10060

的东西才是有价值的。

2.点评。在市场经营、核定价格、分析盈亏、估计产量、投资决策等许多问题中，可以通过挖掘实际问题二、对数学建模的认识

所隐含的数量关系，构建不等式（组）模型加以解决。

《数学课程标准》指出，数学建模是运用数学思想、（三）函数模型

方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数1.模型。如本文开始例举的《怎样烧开水最省煤学教育重要和基本的内容。它的价值是巨大的，为学生气》。

提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实2.点评。函数揭示了现实世界数量关系和运动、变际问题中的价值和作用。

化规律。对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如用应用数学知识去解决实际问题，常常需要在数学理料最省、成本最低、利润最大等，可以构建立函数模论和实际问题之间构建一个桥梁来加以沟通，以便把实型，转化为求函数最值的问题。

际问题中的数学结构明确地表示出来，这个桥梁就是（四）几何模型

“数学模型”。构建数学模型解决实际问题基本程序如1.模型。十人聚会，彼此握手，问总共握手几下：

次？

2.点评。几何与人类的生活密切相关。诸如工程定位、材料加工、拱桥计算、皮带传动、残轮修复和跑道设计等，都涉及到几何图形及其性质，这就需要构建几何模型，将实际问题转化为几何问题进行求解。

（五）概率模型

1271.模型。（2010江苏泰州中考题）学校奖励给王伟和李丽上海世博园门票共两张，其中一张为指定日门票，另一张为普通日门票。班长提出由王伟和李丽分别转动下图的甲、乙两个转盘（转盘甲被二等分、转盘乙被三等分）确定指定日门票的归属，在两个转盘都停止转动后，若指针所指的两个数字之和为偶数，则王伟获得指定日门票；若指针所指的两个数字之和为奇数，则李丽获得指定日门票；若指针指向分隔线，则重新转动。你认为这个方法公平吗？请画树状图或列表，并说明理由。

而他们对感兴趣的东西乐于学习和参与，而往往也比较容易学好，以前的教材学生觉得比较枯燥，提不起学习兴趣，阻碍了学生的发展。新教材给内容注入了很多有趣的现实情境，很多都是建模的好材料。

（三）重方法，重思想

数学思想方法是数学的灵魂，没有思想方法的教学是机械的、低效的、扼杀创造力的教学，因此思想方法的指导应该贯穿在教学的各个环节。“授人以鱼，不如授人以渔”。时间推移，知识会遗忘，但思想方法会一直指导我们的人生。

五、阻碍初中数学建模教学的因素（一）片面追求升学率，重知识而不重能力

2.点评。概率在社会生活及科学领域中用途非常广泛。诸如抽奖游戏、彩票中奖、股票走势、球队胜负等问题，常可构建概率模型求解。

（六）三角模型

1.模型。如图：设A城气象台测得台风中心在A

城正西方向300千米的B处以10姨3km/h的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域，问

长时间以来的应试教育阻碍了学生思维的发展，了老师和学生的创造力，升学率和分数成了我们孜孜以求的目标。我们培养出来的学生虽然具有扎实的基础知识和技能，善于模仿。然而学生的创造能力，动手能力，解决实际问题的能力并不是很强。随着新课改的实施，这种情况有了很大的改观，中学生建模意识越来越强。

（二）大部分数学教师对数学建模教学的实施感到困难

《数学课程标准（实验稿）》注重让学生经历数学建模、求解的过程，但是对于数学建模教学中的一些具体问题的规定比较模糊，这给具体的教学实施带来了一定困难。特别是对于某些教师来说，他们自己没学过数学建模课程，对数学建模概念、建模意识、建模意义都很模糊。应该如何开展数学建模教学，是教师们感到困惑的一个问题。这就要求教师要不断学习，提高自己的专业素养、业务素质、教育教学水平，不断拓宽自己的知识面，不断学习新的数学建模理论。

（三）对初中数学建模优秀课例的开发有待加强高中研究型学习课上的课例较多，相比而言，初中关于数学建模思想的经典课例不足，课例设置要有趣味性、操作性、可研究价值，要体现建模的一般性过程，突出初中数学的思想方法。一节好的模型课例，能激发学生对数学建模的兴趣，易于学生感受建模的思想，让学生学会用数学的眼光看待身边的事物。

开展建模教学是提高学生的数学应用能力和创新能力的基本途径，注重建模教学是认识上的进步，而开展建模教学的研究也是社会进步的需要，社会需要创新型的人才，现在的数学已经是其他科学必不可少的工具。建立数学模型解决实际问题已成为数学发展的一种趋势，关于数学建模的思考也会延续下去。

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A城是否受到这次台风影响？为什么？

2.点评。对于测高、测距、航海、燕尾槽、拦水坝,人字架的计算等实际问题，则可以建立三角模型，转化成解直角三角形的问题。

四、初中数学建模教学的特点

鉴于初中生的年龄特征，认知基础和心理特点，初中数学建模教学应突出低起点，易掌握；活动性，趣味性；重方法，重思想。

（一）低起点，易掌握

根据学生现有的水平，结合课程标准的要求，降低教学起点，以便全体学生都能真正参与，选取的素材要贴近学生的生活实际、符合学生的认知经验，如利用温度计、刻度尺作为实际背景感受数轴模型；再如用丢番图的墓志铭或猜老师的年龄来感受方程模型；或从课本中出现的问题出发设置实际背景，学生比较熟悉，易于接受和掌握。如学习了一次函数有关知识后，则可把行程问题中的追击相遇类问题设计为一次函数模型来解决。

（二）活动性，趣味性

初中生的年龄特点决定了易于接受有趣味的，自身能参与的，活动性强的事物，感性思维多于理性思维，