一、选择题
1. 以下命题中是真命题的是 ( )
2. 下列命题为真命题的是 ( )
3. 如图，已知 𝑙1∥𝑙2，将一个含 45∘ 角的三角尺按图中方式放置，∠1=24∘，则 ∠2 的大小是 ( )
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．无理数是无限不循环小数 C． √81 的算术平方根是 9 D．点 (1,−𝑎2) 一定在第四象限 A．同位角相等
C．两直线平行，内错角相等
B．相等的角是对顶角 D．两个锐角的和是锐角
4. 下列说法：
①无理数都是无限小数； ② √9 的算术平方根是 3； ③数轴上的点与实数一一对应；
④平方根与立方根等于它本身的数是 0 和 1；
⑤若点 𝐴(−2,3) 与点 𝐵 关于 𝑥 轴对称，则点 𝐵 的坐标是 (−2,−3)． 其中正确的个数是 ( )
5. 如图，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝐷，𝐵𝐷，𝐶𝐷 分别平分 ∠𝐸𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐶 和 ∠𝐴𝐶𝐹．以下结论：① 𝐴𝐷∥𝐵𝐶；② ∠𝐴𝐶𝐵=2∠𝐴𝐷𝐵；③ ∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐵𝐴𝐶；④ ∠𝐴𝐷𝐶=90∘−∠𝐴𝐵𝐷．其中正确的结论是 ( ) A． 1 个
B． 2 个
C． 3 个
D． 4 个
A． 21∘
B． 24∘
C． 30∘
D． 66∘
1
6. 下列说法：
①相等的角是对顶角； ②同位角相等；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离； 其中正确的有 ( ) 个．
7. 如图，将一个有 45∘ 角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3 cm 的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30∘ 角，则三角板最大边的长为 ( ) A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④
A． 3 cm
B． 6 cm
C． 3√2 cm D． 6√2 cm
8. 如图，△𝐴𝐵𝐶 中，点 𝐷，𝐸 分别在边 𝐴𝐵，𝐴𝐶 上，将 ∠𝐴 沿着 𝐷𝐸 所在直线折叠，𝐴 与 𝐴ʹ 重合，若 ∠1+∠2=140∘，则 ∠𝐴 的度数是 ( )
2
9. 如图，能够判断 𝐴𝐷∥𝐵𝐶 的条件是 ( )
A． 70∘
B． 75∘
C． 80∘
D． 85∘
10. 如图所示是一条街道的路线图，若 𝐴𝐵∥𝐶𝐷，且 ∠𝐴𝐵𝐶=130∘，那么当 ∠𝐶𝐷𝐸 等于多少度时，
𝐵𝐶∥𝐷𝐸 ( ) A． ∠7=∠3
B． ∠1=∠5
C． ∠2=∠6
D． ∠3=∠8
二、填空题
11. 如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，射线 𝐴𝐸 交 𝐶𝐷 于点 𝐹，若 ∠1=115∘，则 ∠2 的度数是 ．
A． 40∘
B． 50∘
C． 70∘
D． 130∘
12. 观察下列图形：若 𝑎∥𝑏，在第（1）个图中，可得 ∠1+∠2=180∘，则按照以上规律，∠1+
∠2+∠𝑃1+∠𝑃2+∠𝑃3+⋯∠𝑃𝑛= 度．
13. 如图，已知 𝐴𝐵∥𝐶𝐷，直线 𝐸𝐹 分别交 𝐴𝐵，𝐶𝐷 于点 𝐴，𝐶，𝐶𝐻 平分 ∠𝐴𝐶𝐷，点 𝐺 为 𝐶𝐷 上
一点，连接 𝐻𝐴，𝐻𝐺，𝐻𝐶 平分 ∠𝐴𝐻𝐺，若 ∠𝐴𝐻𝐺=42∘，∠𝐻𝐺𝐷+∠𝐸𝐴𝐵=180∘，则 ∠𝐴𝐶𝐷 的度数是 ．
3
14. 将一个矩形纸片按如图所示折叠，若 ∠1=40∘，则 ∠2 的度数是 ．
15. 如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐴=56∘，∠𝐶=27∘，则 ∠𝐸 的度数为 ．
16. 如图，当 ∠𝐴𝐸𝐹+∠𝐶𝐹𝐸=180∘ 时，𝐴𝐵∥𝐷𝐶 的理由是 ．
17. 一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点 𝐷 恰好放在等腰直角三角形的斜边上，𝐴𝐶 与
𝐷𝑀，𝐷𝑁 分别交于点 𝐸，𝐹，把 △𝐷𝐸𝐹 绕点 𝐷 旋转到一定位置，使得 𝐷𝐸=𝐷𝐹，则 ∠𝐵𝐷𝑁 的度数是 ．
4
三、解答题
18. 如图，𝐵𝐷 是 △𝐴𝐵𝐶 的角平分线，且 𝐴𝐷=𝐷𝐵=𝐵𝐶，求 △𝐴𝐵𝐶 的各个内角的度数．
19. 如图，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝐷𝐶⊥𝐸𝐶，𝐴𝐶=𝐵𝐶，𝐷𝐶=𝐸𝐶，𝐴𝐸 与 𝐵𝐷 交于点 𝐹．
(1) 求证：𝐴𝐸=𝐵𝐷； (2) 求 ∠𝐴𝐹𝐷 的度数．
20. 如图，已知直线 𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐶=125∘，∠𝐴=45∘，求 ∠𝐸 的度数．
21. 如图，梯形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐸 为 𝐴𝐵 边上一点．
5
(1) 画图：过点 𝐸 画 𝐸𝐹∥𝐴𝐷，交 𝐶𝐷 于点 𝐹； (2) 说理：( 1 )中的 𝐸𝐹 与 𝐵𝐶 平行吗，为什么？
22. 如图，𝐷𝐸 平分 ∠𝐴𝐷𝐶，𝐶𝐸 平分 ∠𝐵𝐶𝐷，且 ∠1+∠2=90∘．试判断 𝐴𝐷 与 𝐵𝐶 的位置关系，
并说明理由．
23. 已知：如图，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，𝐹𝐺⊥𝐵𝐶，∠1=∠2．
(1) 求证：𝐴𝐵∥𝐶𝐷．
(2) 若 ∠𝐷=∠3+50∘，∠𝐶𝐵𝐷=70∘，求 ∠𝐶 的度数．
24. 已知 𝐴，𝐵，𝐶 三点在同一直线上，∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐴𝐸𝐵，∠𝐷=∠𝐵𝐸𝐶 .
(1) 求证：𝐵𝐷∥𝐶𝐸 .
(2) 若 ∠𝐶=70∘，∠𝐷𝐴𝐶=50∘，求 ∠𝐷𝐵𝐸 的度数．
25. 如图，已知点 𝐷，𝐺 在直线 𝐴𝐵 上，点 𝐸，𝐹 分别在直线 𝐴𝐶，𝐵𝐶 上，𝐷𝐸∥𝐵𝐶，∠𝐸𝐷𝐶=
180∘−∠𝐺𝐹𝐶，问 𝐺𝐹 与 𝐷𝐶 平行吗？为什么？
6
答案
一、选择题 1. 【答案】C
【解析】选项A，两直线平行，同位角相等，故错误，是假命题； 选项B，相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题； 选项C，两直线平行，内错角相等，正确，是真命题； 选项D，两个锐角的和不一定是锐角，故错误，是假命题． 【知识点】命题的真假
2. 【答案】B
【解析】A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，不是真命题； B、无理数是无限不循环小数，正确，是真命题，符合题意； C、 √81 的算术平方根是 3，故原命题错误，是假命题；
D、点 (1,−𝑎2) 在第四象限或 𝑥 轴上，故原命题错误，是假命题， 故选：B．
【知识点】命题的真假
3. 【答案】A
【知识点】内错角相等、平行公理的推论
4. 【答案】C
【解析】①无理数都是无限小数，正确； ② √9 的算术平方根是 √3，错误； ③数轴上的点与实数一一对应，正确；
④平方根与立方根等于它本身的数是 0，错误；
⑤若点 𝐴(−2,3) 与点 𝐵 关于 𝑥 轴对称，则点 𝐵 的坐标是 (−2,−3)，正确．
【知识点】无理数、在数轴上表示实数、平方根、立方根、命题的真假、算术平方根的运算、轴对称图形
5. 【答案】D
【解析】 ∵∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵， ∵∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐸𝐴𝐷=∠𝐷𝐴𝐶， ∴∠𝐸𝐴𝐷=∠𝐴𝐵𝐶， ∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶，故①正确， ∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐷𝐵𝐶， ∵∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐷𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐵𝐶=2∠𝐷𝐵𝐶=2∠𝐴𝐷𝐵，故②正确，
7
∵∠𝐴𝐷𝐶
=180∘−(∠𝐷𝐴𝐶+∠𝐷𝐶𝐴)
1
=180∘−(∠𝐸𝐴𝐶+∠𝐹𝐶𝐴)
=180∘−2(∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐵𝐶+∠𝐵𝐴𝐶) =90∘−∠𝐴𝐵𝐶
12∘
21
=90−∠𝐴𝐵𝐷.
故④正确， 无法判定③正确， 故选：D．
【知识点】同旁内角
6. 【答案】B
【解析】①对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故①错误； ②两直线平行，同位角相等，故②错误；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故④正确． 【知识点】命题的真假
7. 【答案】D
【知识点】平行线的性质、勾股定理
8. 【答案】A
【解析】连接 𝐴𝐴ʹ，如图所示： ∵∠1 是 △𝐴𝐴ʹ𝐸 的外角， ∴∠1=∠𝐸𝐴𝐴ʹ+∠𝐸𝐴ʹ𝐴， 同理可得，∠2=∠𝐷𝐴𝐴ʹ+∠𝐷𝐴ʹ𝐴， 由折叠可得，∠𝐸𝐴𝐷=∠𝐸𝐴ʹ𝐷，
∴∠1+∠2=∠𝐸𝐴𝐴ʹ+∠𝐸𝐴ʹ𝐴+∠𝐷𝐴𝐴ʹ+∠𝐷𝐴ʹ𝐴=2∠𝐸𝐴𝐷=140∘， ∴∠𝐸𝐴𝐷=70∘； 故选：A．
【知识点】三角形的外角及外角性质、图形成轴对称
9. 【答案】B
【解析】A、根据“∠7=∠3”只能判定“𝐷𝐶∥𝐴𝐵”，而非 𝐴𝐷∥𝐵𝐶，故A错误； B、因为 ∠1=∠5，所以 𝐴𝐷∥𝐵𝐶（内错角相等，两直线平行），故B正确； C、根据“∠2=∠6”只能判定“𝐷𝐶∥𝐴𝐵”，而非 𝐴𝐷∥𝐵𝐶，故C错误； D、根据“∠3=∠8”不能判定 𝐴𝐷∥𝐵𝐶，故D错误．
8
故选：B． 【知识点】内错角
10. 【答案】B
【知识点】平行线及其判定、平行线的性质
二、填空题 11. 【答案】 65°
【解析】 ∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷， ∴∠1+∠𝐴𝐹𝐷=180∘． ∵∠1=115∘， ∴∠𝐴𝐹𝐷=65∘．
∵∠2 和 ∠𝐴𝐹𝐷 是对顶角， ∴∠2=∠𝐴𝐹𝐷=65∘． 故答案为：65∘．
【知识点】对顶角、平行线的性质
12. 【答案】 180°×(𝑛+1)
【解析】如图，分别过 𝑃1，𝑃2，𝑃3 作直线 𝐴𝐵 的平行线 𝑃1𝐸，𝑃2𝐹，𝑃3𝐺， ∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴𝐴𝐵∥𝑃1𝐸∥𝑃2𝐹∥𝑃3𝐺，
由平行线的性质得：∠1+∠3=180∘，∠5+∠6=180∘，∠7+∠8=180∘，∠4+∠2=180∘， ① ∠1+∠2=180∘，
② ∠1+∠𝑃1+∠2=180∘×2， ③ ∠1+∠𝑃1+∠𝑃2+∠2=180∘×3， ④ ∠1+∠𝑃1+∠𝑃2+∠𝑃3+∠2=180∘×4，
∴∠1+∠2+∠𝑃1+∠𝑃2+⋯+∠𝑃𝑛=180∘×(𝑛+1)．
【知识点】平行线的性质、用代数式表示规律、平行公理的推论
13. 【答案】 106°
【解析】 ∵𝐻𝐶 平分 ∠𝐴𝐻𝐺，且 ∠𝐴𝐻𝐺=42∘， ∴∠𝐶𝐻𝐺=21∘， ∵𝐻𝐶 平分 ∠𝐴𝐶𝐺， ∴∠𝐻𝐶𝐺=2∠𝐴𝐶𝐺，
∵∠𝐶𝐴𝐵+∠𝐸𝐴𝐵=180∘，∠𝐻𝐺𝐷+∠𝐸𝐴𝐵=180∘，
9
1
∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐻𝐺𝐷， ∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐶𝐷=180∘， 设 ∠𝐴𝐶𝐷=𝛼，
则 ∠𝑀𝐶𝐺=∠𝐴𝐶𝐷=𝛼，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐻𝐺𝐷=180∘−𝛼，
2
2
1
1
∵∠𝐻𝐺𝐷 是 △𝐶𝐻𝐺 的外角， ∴∠𝐻𝐺𝐷=∠𝐶𝐻𝐺+∠𝐻𝐶𝐺， 即 180∘−𝛼=21∘+2𝛼， 解得 𝛼=106∘， ∴∠𝐴𝐶𝐷=106∘．
【知识点】三角形的外角及外角性质、同旁内角互补
14. 【答案】 70°
【解析】如图．
由题意可得：∠1=∠3=∠4=40∘， 由翻折可知：∠2=∠5=
180∘−40∘
2
1
=70∘．
【知识点】轴对称的性质、平行线的性质
15. 【答案】 29∘
【解析】 ∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷， ∴∠𝐷𝐹𝐸=∠𝐴=56∘， 又 ∵∠𝐶=27∘，
∴∠𝐸=56∘−27∘=29∘．
【知识点】三角形的外角及外角性质、同位角相等
16. 【答案】同旁内角互补，两直线平行
【知识点】同旁内角
17. 【答案】120°
【解析】∵ 𝐷𝐸=𝐷𝐹，∠𝐸𝐷𝐹=30∘， ∴ ∠𝐷𝐹𝐶=2(180∘−∠𝐸𝐷𝐹)=75∘， ∵ ∠𝐶=45∘，
∴ ∠𝐵𝐷𝑁=∠𝐷𝐹𝐶+∠𝐶=75∘+45∘=120∘．
10
1
【知识点】三角形的外角及外角性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和
三、解答题
18. 【答案】 ∵𝐵𝐷=𝐵𝐶=𝐴𝐷，𝐵𝐷 平分 ∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐶=∠𝐵𝐷𝐶，∠𝐴=∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷．
设 ∠𝐴=𝑥，则 ∠𝐶=∠𝐵𝐷𝐶=2𝑥，∠𝐴𝐵𝐶=2𝑥， 则 𝑥+2𝑥+2𝑥=180∘，解得 𝑥=36∘， 故 ∠𝐴=36∘，∠𝐶=72∘，∠𝐴𝐵𝐶=72∘．
【知识点】等腰三角形的性质、三角形的外角及外角性质、角平分线的定义
19. 【答案】
(1) ∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝐷𝐶⊥𝐸𝐶， ∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸=90∘， ∴∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐶𝐷， 在 △𝐴𝐶𝐸 和 △𝐵𝐶𝐷 中， 𝐴𝐶=𝐵𝐶,
{∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐵𝐶𝐷, 𝐶𝐸=𝐶𝐷,
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐷(SAS)， ∴𝐴𝐸=𝐵𝐷．
(2) ∵∠𝐴𝐶𝐵=90∘， ∴∠𝐴+∠𝐴𝑁𝐶=90∘， ∵△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐷， ∴∠𝐴=∠𝐵， ∵∠𝐴𝑁𝐶=∠𝐵𝑁𝐹，
∴∠𝐵+∠𝐵𝑁𝐹=∠𝐴+∠𝐴𝑁𝐶=90∘， ∴∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐵+∠𝐵𝑁𝐹=90∘．
【知识点】全等三角形的性质与判定、三角形的外角及外角性质、相似三角形的性质与判定
20. 【答案】过点 𝐸 向左作 𝐸𝐺∥𝐴𝐵，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
则 𝐸𝐺∥𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐺𝐸𝐶=∠𝐶=125∘，∠𝐺𝐸𝐴=∠𝐴=45∘， ∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐺𝐸𝐶−∠𝐺𝐸𝐴=80∘． 【知识点】内错角相等、平行公理的推论
21. 【答案】
(1) 略．
(2) 平行，理由略．
11
【知识点】平行线的定义、平行公理的推论
22. 【答案】 𝐴𝐷∥𝐵𝐶．理由如下：
∵𝐷𝐸 平分 ∠𝐴𝐷𝐶，𝐶𝐸 平分 ∠𝐵𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐷𝐶=2∠1，∠𝐵𝐶𝐷=2∠2， ∵∠1+∠2=90∘，
∴∠𝐴𝐷𝐶+∠𝐵𝐶𝐷=2(∠1+∠2)=180∘， ∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶．
【知识点】同旁内角
23. 【答案】
(1) ∵𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，𝐹𝐺⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝑀𝐵=∠𝐺𝑁𝑀=90∘， ∴𝐴𝐸∥𝐹𝐺， ∴∠𝐴=∠2； 又 ∵∠2=∠1， ∴∠𝐴=∠1， ∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷． (2) ∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐷+∠𝐶𝐵𝐷+∠3=180∘， ∵∠𝐷=∠3+50∘，∠𝐶𝐵𝐷=70∘， ∴∠3=30∘， ∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷， ∴∠𝐶=∠3=30∘．
【知识点】内错角、同旁内角互补、内错角相等
24. 【答案】
(1) ∵∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐴𝐸𝐵， ∴𝐵𝐸∥𝐴𝐷， ∴∠𝐷=∠𝐸𝐵𝐷， ∵∠𝐷=∠𝐵𝐸𝐶， ∴∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐸𝐵𝐷， ∴𝐵𝐷∥𝐶𝐸．
(2) ∵𝐵𝐷∥𝐶𝐸，𝐵𝐸∥𝐴𝐷， ∴∠𝐶=∠𝐷𝐵𝐴，∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐷𝐴𝐶， ∵∠𝐶=70∘，∠𝐷𝐴𝐶=50∘， ∴∠𝐷𝐵𝐴=70∘，∠𝐸𝐵𝐶=50∘，
∴∠𝐷𝐵𝐸=180∘−∠𝐷𝐵𝐴−∠𝐸𝐵𝐶=60∘．
【知识点】三角形的内角和、平行线及其判定、平行线的性质
12
25. 【答案】平行，因为 𝐷𝐸∥𝐵𝐶（已知），所以 ∠𝐸𝐷𝐶=∠𝐷𝐶𝐹（两直线平行，内错角相等）；又因
为 ∠𝐸𝐷𝐶=180∘−∠𝐺𝐹𝐶，所以 ∠𝐸𝐷𝐶+∠𝐺𝐹𝐶=180∘，所以 ∠𝐷𝐶𝐹+∠𝐺𝐹𝐶=180∘，所以 𝐺𝐹∥𝐷𝐶（同旁内角互补，两直线平行）． 【知识点】内错角相等、同旁内角
13
