第23课时 数列求和

课题：数列求和

教学目标：1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式； 2.能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；3.熟记一些常用的数列的和的公式． 教学重点：特殊数列求和的方法．

（一） 主要知识： 1.等差数列与等比数列的求和公式的应用；

2.倒序相加、错位相减，分组求和、拆项求和等求和方法；

（二）主要方法：

1.基本公式法：1等差数列求和公式：Snna1an2na1nn12d

q1na1,n 2等比数列求和公式：Sna11qa1anq,q11q1q211； nn131222n2nn12n1；4132333n3012nn5CnCnCnCn2.

2.错位相消法：给Sna1a2an各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n项和Sn.

一般适应于数列anbn的前n向求和，其中an成等差数列，bn成等比数列。

3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。

4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间

项，只剩下有限项再求和. 常见的拆项公式有：

1111； anan1danan11111； 22n12n122n12n11若an是公差为d的等差数列，则

31111；

nn1n22nn1n1n21111ab；54ababnknkn1n； n1S1,

SS,n≥2n1n6Cnm1Cnm1Cnm；7nn!n1!n!；8an5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。

6递推法.

（三）典例分析：

问题1．求下列数列前n项和：1 14，27，330，„，n3n1；

2；322，22，222，„，22n个21111，，，„，；

n(n2)132435

413，24，35，„，n(n2)，5 an

1nn1；

6sin21sin22sin23„sin2；7 a，2a2，3a3，„，nan；

问题2．求和1Sn1 2Sn111； 12123123n

123n012n3Cn5Cn2n1Cn 23n； 3 Cnaaaa

问题3．已知数列{an}的通项an

6n5(n为奇数)2n(n为偶数)，求其前n项和Sn

问题4．(05全国Ⅰ文)设正项等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，且

（Ⅱ）求nSn的前n项和Tn. 210S30(2101)S20S100.（Ⅰ）求an的通项；

2

（四）巩固练习：

1.（06北京）设f(n)2242721023n10(nN)，则f(n)等于

2222 A.(8n1) B.(8n11) C.(8n31) D.(8n41)

7777“远望巍巍塔七层，红光点点加倍增，共灯三百八十一，请问2.明朝程大拉作数学诗：

尖头 盏灯”.

11113.求数列1，2，3，4，„的前n项和.

48216

4.1002992982972„2212 5.在数列an中，an212n，又bn，则数列bn的前n „anan1n1n1n1项和为

6.求数列

1111，，，，„的前n项和Sn. 1222243228

（五）课后作业：

(06荆州统测)数列an满足递推关系：anan22，且a11，a24. 1求a3、a4；2求an；3求数列an的前n项和.

（六）走向高考：

1.（06广东）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期 间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、„堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3) ；f(n) （答案用n表示）.

2.（07福建）数列{an}的前n项和为Sn，

1若an，则S5等于（ ）

n(n1)5A.1 B.

611 C. D.630S 3.（07全国Ⅱ）已知数列的通项an5n2，其前n项和为Sn，则limnn→n2

*“数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN)． 4.（07福建文）

（Ⅰ）求数列an的通项an； （Ⅱ）求数列nan的前n项和Tn．