word版 初中数学
2.2二次函数的图像与性质 同步练习
一．选择题
1．将抛物线y＝3x2+4沿y轴向上平移2个单位长度，所得的抛物线为（ ） A．y＝3（x+2）2+4 C．y＝3（x﹣2）2+4
B．y＝3x2+2 D．y＝3x2+6
2．抛物线y＝﹣（x﹣3）2+7的顶点坐标是（ ） A．（﹣3，7）
B．（﹣3，﹣7）
C．（3，7）
D．（3，﹣7）
3．下列关于二次函数y＝2x2+3，下列说法正确的是（ ） A．它的开口方向向下 B．它的顶点坐标是（2，3）
C．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大 D．当x＝0时，y有最小值是3
4．抛物线＝x2﹣4x+3上有两点A（0，y1）和B（m，y2），若y2＜y1，则m的取值范围是（ ） A．m＞0
B．m＜0
C．0＜m＜4
D．0≤m＜4
5．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣1（0≤x≤3）的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内的最值，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值0，有最大值3 C．有最小值0，无最大值
B．有最小值﹣1，无最大值 D．有最小值﹣1，有最大值3
6．如图，在用一坐标中，函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝ax+b的图象大致是（ ）
A． B．1 / 11
word版 初中数学
C． D．
7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是x＝﹣1，下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0
B．4ac＜b2
C．2a+b＝0
D．a﹣b+c＞2
8．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣4ax上的点，下列命题正确的是（ A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1＜y2 C．若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1＞y2 D．若|x1﹣2|＝|x2﹣2|，则y1＝y2
9．下列抛物线中，与抛物线的形状、大小、开口方向都相等的是（ A． B．
C．
D．y＝﹣x2+3x﹣5
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论： ①abc＞0； ②2a﹣b＜0； ③4a﹣2b+c＜0； ④（a+c）2＞b2
其中正确的个数有（ ）
A．1
B．2
C．3 D．4
2 / 11
） ）word版 初中数学
二．填空题
11．抛物线y＝2x2﹣5x+6与y轴的交点坐标是 ．
12．当1≤x≤2时，二次函数y＝（x﹣h）2+3有最小值4，则h的取值为 ． 13．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+3的图象上，则y1 y2
（填“＜”或“＞”或“＝”）．
14．点P（m，n）在二次函数y＝x2﹣2ax+3图象上，当2≤m≤3时，n≥2a，则a的值为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝
（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k
的值为 ．
三．解答题
16．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点B． （1）直接写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）若函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．
17．已知二次函数y＝x2﹣4x+6+m（m是常数）
（1）若此二次函数的图象经过点（1，﹣2），求m的值；
3 / 11
word版 初中数学
（2）若此二次函数的最小值为﹣，求m的值．
18．对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它的相关函数为y＝（1）已知点A（﹣1，
．
）在二次函数y＝ax2+4x﹣的相关函数的图象上，求a的值；
（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣，当﹣3≤x≤3时，求y＝﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值；
（3）在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN．直接写出线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．
4 / 11
word版 初中数学
参 一．选择题
1．解：将抛物线y＝3x2+4沿y轴向上平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝3x2+4+2，即y＝3x2+6． 故选：D．
2．解：∵y＝﹣（x﹣3）2+7， ∴此函数的顶点坐标为（3，7）， 故选：C．
3．解：∵二次函数y＝2x2+3，
∴该函数的图象开口向上，对称轴是y轴，它的顶点坐标为（0，3）， ∴当x＝0时，函数有最小值3，当x＞0时，y随x的增大而增大， 故选项A、B、C错误，选项D正确； 故选：D．
4．解：∵抛物线＝x2﹣4x+3的开口向上，对称轴为直线x＝﹣∴点A（0，y1）关于直线x＝2的对称点是（4，y1），
∴抛物线＝x2﹣4x+3上有两点A（0，y1）和B（m，y2），若y2＜y1，则m的取值范围是0＜m＜4； 故选：C．
5．解：根据图象可知此函数有最小值﹣1，有最大值3， 故选：D．
6．解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误； C、由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确； 故选：D．
7．解：A、由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，即b＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
＝2，
5 / 11
word版 初中数学
∴c＞0，
因此abc＞0，故错误； B、抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故正确； C、对称轴为x＝﹣
＝﹣1，得2a＝b，
∴2a﹣b＝0，故错误； D、∵当x＝﹣1时，y＞0 ∴a﹣b+c＞0，故错误． 故选：B．
8．解：∵抛物线y＝ax2﹣4ax＝a（x﹣2）2﹣4a， ∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，
若y1＝y2，则|x1﹣2|＝|x2﹣2|，故选项A错误；
当a＞0时，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1＞y2，故选项B错误； 当a＜0时，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1＜y2，故选项C错误； 若|x1﹣2|＝|x2﹣2|，则y1＝y2，故选项D正确； 故选：D． 9．解：∵抛物线∴抛物线故选：B．
10．解：①根据函数图象的开口向下知，a＜0， ∵对称轴为直线x＝﹣∴
，
在y轴左边，
的形状是抛物线，开口向下，
的形状、大小、开口方向都相等的函数的二次项系数是
，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0． 故①的结论正确；
②∵抛物线的对称轴在（﹣1，0）的右边，
6 / 11
word版 初中数学
∴∴∵a＜0， ∴b＞2a，
，
，
∴2a﹣b＜0， 故②的结论正确；
③由函数图象可知，当x＝﹣2时，y＜0， 即y＝4a﹣2b+c＜0， 故③的结论正确；
④（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a+c﹣b）＜0，故④的结论错误； 故选：C． 二．填空题 11．解：令x＝0， 得y＝6，
故与y轴的交点坐标是：（0，6）． 故答案为：（0，6）．
12．解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小， ∴①若h＜1≤x≤2，x＝1时，y取得最小值4， 可得：（1﹣h）2+3＝4， 解得：h＝0或h＝2（舍）；
②若1≤x≤2＜h，当x＝2时，y取得最小值4， 可得：（2﹣h）2+3＝4， 解得：h＝3或h＝1（舍）；
③若1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为3，不是4， ∴此种情况不符合题意，舍去． 综上，h的值为0或3， 故答案为：0或3．
13．解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
7 / 11
word版 初中数学
∵1＜2， ∴y1＞y2． 故答案为＞．
14．解：二次函数y＝x2﹣2ax+3开口向上，对称轴为直线x＝﹣当a≤2时，则m＝2时，n＝2a， 此时2a＝4﹣4a+3，解得a＝； 当a≥3时，则m＝3时，n＝2a， 此时2a＝9﹣6a+3，解得a＝， ∵＜3，不合题意，舍去， 当2＜m＜3时，则m＝a时，n＝2a，
此时2a＝a2﹣2a2+3，解得a＝﹣3或a＝1，不合题意舍去， 故a的值为， 故答案为．
15．解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）， ∴AB＝4， ∵抛物线y＝∴CD＝2，
∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2）， ∴h＝
＝c+1，
[x﹣（c+1）]2+k，
[c﹣（c+1）]2+k，
（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，
＝a，
∴抛物线y＝
把点C（c，2）代入得，2＝解得，k＝， 故答案为． 三．解答题
16．解：（1）当x＝0时，y＝1，因此点A的坐标为（0，1），
将点A向右平移4个单位长度，向上平移1个单位长度得到点B，因此点B坐标为（4，
8 / 11
word版 初中数学
2），
故答案为：（0，1），（4，2）；
（2）抛物线y＝x2﹣2mx+1的对称轴为x＝﹣
＝﹣
＝m，抛物线恒过点A（0，1），
当函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，就是抛物线与线段AB除点A以外没有其它的公共点，
①当对称轴x＝m＜0时，即m＜0均可，
②当对称轴x＝m＞0时，若抛物线过点B，把（4，2）代入得，16﹣8m+1＝2， 解得，m＝因此当m＞
，
时，函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，
时，函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点．
综上所述，当m＜0或m＞
17．解：（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+6+m（m是常数）经过点（1，﹣2）， ∴﹣2＝1﹣4+6+m， 解得m＝﹣5；
（2）∵二次函数的最小值是﹣， ∴
解得：m＝﹣．
＝﹣，
18．解：（1）二次函数y＝ax2+4x﹣的相关函数为y＝
，
9 / 11
word版 初中数学
将点A（﹣1，解得：a＝﹣1．
）代入y＝﹣ax2﹣4x+得：﹣a+4+＝
，
（2）当﹣3≤x＜0时，y＝x2﹣4x+，抛物线的对称轴为x＝2，此时y随x的增大而减小，
∴此时y的最大值为
．
当0≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x﹣，抛物线的对称轴为x＝2，
当x＝0有最小值，最小值为﹣，当x＝2时，有最大值，最大值y＝． 综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值为﹣；
（3）如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．
，最小值为
所以当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3．
如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，
10 / 11
word版 初中数学
∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1．
∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1）， ∴n＝1．
如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1）， ∴+2﹣n＝1，解得：n＝．
∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤．
11 / 11
