材料力学常用基本公式

1. 外力偶矩计算公式 （P功率，n转速）

2. 弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式

3. 轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式

面积A，拉应力为正）

（杆件横截面轴力FN，横截面

4. 轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转

至外法线的方位角为正）

5. 纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径

d，拉伸后试样直径d1）

6. 纵向线应变和横向线应变

7. 泊松比

8. 胡克定律

标准文案

实用文档

9. 受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?

10. 承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式

11. 轴向拉压杆的强度计算公式

12. 许用应力 ， 脆性材料 ，塑性材料

13. 延伸率

14. 截面收缩率

15. 剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）

16. 拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式

17. 圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆

（b）空心圆

18. 圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r ）

19. 圆截面周边各点处最大切应力计算公式

标准文案

实用文档

20. 扭转截面系数 ，（a）实心圆

（b）空心圆

21. 薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0 为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式

22. 圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、 扭转刚度GHp的关系式

23. 同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时

或

24. 等直圆轴强度条件 25. 塑性材料

；脆性材料

26. 扭转圆轴的刚度条件? 或

27. 受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,

28. 平面应力状态下斜截面应力的一般公式

标准文案

实用文档

,

29. 平面应力状态的三个主应力 ,

,

30. 主平面方位的计算公式

31. 面内最大切应力

32. 受扭圆轴表面某点的三个主应力33. 三向应力状态最大与最小正应力

， ,

，

34. 三向应力状态最大切应力

35. 广义胡克定律

标准文案

实用文档

36. 四种强度理论的相当应力37. 一种常见的应力状态的强度条件

，

38. 组合图形的形心坐标计算公式 ，

39. 任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之

和的关系式

40. 截面图形对轴z和轴y的惯性半径? ,

41. 平行移轴公式（形心轴zc与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）

42. 纯弯曲梁的正应力计算公式

43. 横力弯曲最大正应力计算公式

44. 矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数? ，

，

标准文案

实用文档

45. 几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性

轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）

46. 矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处

47. 工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式

48. 轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式

49. 圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处

50. 圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处

51. 弯曲正应力强度条件

52. 几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件

53. 弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件

或

，

54. 梁的挠曲线近似微分方程

55. 梁的转角方程

标准文案

实用文档

56. 梁的挠曲线方程?

57. 轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计

算公式

58. 偏心拉伸（压缩）

59. 弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式

，

60. 圆截面杆横截面上有两个弯矩

61. 圆截面杆横截面上有两个弯矩

和和

同时作用时，合成弯矩为

同时作用时强度计算公式

62.

63. 弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式

. 剪切实用计算的强度条件

标准文案

实用文档

65. 挤压实用计算的强度条件

66. 等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式 67. 压杆的约束条件：（a）两端铰支 μ=l

（b）一端固定、一端自由 μ=2 （c）一端固定、一端铰支 μ=0.7 （d）两端固定 μ=0.5

68. 压杆的长细比或柔度计算公式 ，

69. 细长压杆临界应力的欧拉公式

70. 欧拉公式的适用范围

71. 压杆稳定性计算的安全系数法

72. 压杆稳定性计算的折减系数法

73.

关系需查表求得

标准文案

实用文档

3 截面的几何参数

序号 公式名称 （3.1） 截面形心位置 公式 zc（3.2） 截面形心位置 zdA，yAAiccAydAAi i符号说明 Z为水平方向 Y为竖直方向 zc（3.3） （3.4） 面积矩 面积矩 zA， yAiiyAAiSZydA，SyzdA AASzAiyi，SyAizi Szc，ycz AASyAzc，SzAyc （3.5） 截面形心位置 Sy（3.6） （3.7） （3.8） （3.9） （3.10） （3.11） （3.12） 面积矩 轴惯性矩 极惯必矩 极惯必矩 惯性积 轴惯性矩 惯性半径 （回转半径） Izy2dA，Iyz2dA AAI2dA AIIzIy IzyzydA AIzizA，IyiyA 22 izIz，iyAIyA （3.13） 面积矩 轴惯性矩 极惯性矩 惯性积 （3.14） 平行移轴公式 SzSzi，SySyi IzIzi，IyIyi IIi，IzyIzyi IzIzca2A 标准文案

实用文档 IyIycb2A IzyIzcycabA 4 应力和应变

序号 （4.1） （4.2） （4.3a） （4.3b） （4.4a） （4.4ab （4.5） （4.6） 公式名称 轴心拉压杆横 截面上的应力 危险截面上危 险点上的应力 轴心拉压杆的 纵向线应变 轴心拉压杆的 纵向绝对应变 胡克定理 公式 N ANmax Al llll1.l 符号说明 胡克定理 胡克定理 E N.l lEANlliliii EAiE  （4.7） （4.8） 横向线应变 泊松比（横向 变形系数） 'bb1b bb ' ' （4.9） （4.10） （4.11） 剪力双生互等 定理 剪切胡克定理 实心圆截面扭 转轴横截面上 的应力 xy G T I标准文案

实用文档 （4.12） 实心圆截面扭 转轴横截面的 圆周上的应力 抗扭截面模量 （扭转抵抗矩） 实心圆截面扭 转轴横截面的 圆周上的应力 圆截面扭转轴的 变形 圆截面扭转轴的 变形 单位长度的扭转 角 矩形截面扭转轴 长边中点上的剪 应力 maxTR I （4.13） WTIR （4.14） maxT WT（4.15） T.l GI （4.16） Tliii GIiT ，GIl （4.17）  （4.18） maxTT WTb3WT是矩形截面 WT的扭转抵（4.19） （4.20） 矩形截面扭转轴 短边中点上的剪 应力 矩形截面扭转轴 单位长度的扭转 角 1max 抗矩 TT GITGb4IT是矩形截面的 IT相当极惯性矩 （4.21） 矩形截面扭转轴 全轴的扭转 角 .lT.l 4Gb与截,, 面高宽 比h/b有关的参数 标准文案

实用文档 （4.22） 平面弯曲梁上任 一点上的线应变 平面弯曲梁上任 一点上的线应力 平面弯曲梁的曲 率 纯弯曲梁横截面 上任一点的正应 力 离中性轴最远的 截面边缘各点上 的最大正应力 抗弯截面模量 （截面对弯曲 的抵抗矩） 离中性轴最远的 截面边缘各点上 的最大正应力 横力弯曲梁横截 面上的剪应力 y Ey（4.23） 1（4.24） M EIzMy Iz（4.25） （4.26） M.ymaxmax IzWzIymax （4.27） （4.28） maxM Wz（4.29） *VSz IzbSz*被切割面（4.30） 中性轴各点的剪 应力 *VSzmax maxIzb积对中性轴的 面积矩。 （4.31） 矩形截面中性 轴各点的剪应力 （4.32） 工字形和T形截 面的面积矩 （4.33） 平面弯曲梁的挠 曲线近似微分方 程 （4.34） 平面弯曲梁的挠曲线上任一截面 的转角方程 标准文案

max3V 2bh V向下为正 X向右为正 ** SzAi*yciEIvzM(x) \"实用文档 （4.35） 平面弯曲梁的挠曲线上任一点挠度方程 （4.36） 双向弯曲梁的合成弯矩 （4.37a） 拉（压）弯组合矩形截面的中性轴在Z轴上的截距 （4.37b） 拉（压）弯组合矩形截面的中性轴在Y轴上的截距

EIzv'EIzM(x)dxC EIzvM(x)dxdxCxD 2 MMz2My zp,yp是集中azz02iyzp iz2ayy0 yp力作用点的标 5 应力状态分析

序号 公式名称 （5.1） 单元体上任意 截面上的正应力 （5.2） 单元体上任意 截面上的剪应力 （5.3） 主平面方位角 （5.4） 大主应力的计算公式 （5.5） 主应力的计算公式 （5.6） 单元体中的最大剪应力 （5.7） 主单元体的八面体面上标准文案

公式 xy2xy2符号说明 cos2xsin2 xy2 sin2xcos2 2x （0与x反号） tan20xy maxmaxxy2xy2x 222 xyxy2 x223max1 2 13122132232 实用文档 （5.8） 的剪应力 面上的线应变 xy2xy2cos2xy2 sin2 （5.9） 面与+90o面之间的角应变 xy(xy)sin2xycos2 （5.10） 主应变方向公式 大主应变 xy tan20xy （5.11） max（5.12） 小主应变 xy2xyxy24 22 max（5.13） xy的替代公式 （5.14） 主应变方向公式 （5.15） 大主应变 xy2xyxy24 022 xy245xy 2450xy tan20xy2max（5.16） 小主应变 xy2x4502y45022 22 （5.17） 简单应力状态下的胡克定理 （5.18） 空间应和状态下的胡克定理 x450y450 max222xx，yx，zx EEExy 1xyz E1yyzx E1zzxy Ex 标准文案

实用文档 （5.19） 平面应力状态下的胡克定理（应变形式） 1(xy) E1y(yx) Ex （5.20） 平面应力状态下的胡克定理（应力形式） EEx(xy) 21Ey(yx) 12z(xy) z0 （5.21） 按主应力、主应变形式写出广义胡克定理 1123 E12231 E13312 E11(12) E12(21) E1 （5.22） 二向应力状态的广义胡克定理 （5.23） 二向应力状态的广义胡克定理 EE1(12) 21 E1(12) 12E2(21) 213(12) 30 （5.24） 剪切胡克定理 xyGxy yzGyz zxGzx 标准文案

实用文档

6 内力和内力图

序号 （2.1a） （2.1b） 公式名称 外力偶的 换算公式 公式 符号说明 Te9.55Te7.02Nk nNpn q(x)向（2.2） 分布荷载集度 剪力、弯矩之 间的关系 （2.3） （2.4） dV(x)q(x) dx dM(x)V(x) dxd2M(x)q(x) 2dx上 为正

7 强度计算

序号 （6.1） 公式名称 公式 第一强度理1fut(脆性材料）时，材料发生脆性断论：最大拉应当*1fu.(塑性材料）力理论。 裂破坏。 （6.2） 第二强度理1(23)fut(脆性材料）1当时，材论：最大伸长*1（23）fu(塑性材料）线应变理论。 料发生脆性断裂破坏。 符号说明 标准文案

实用文档 （6.3） 第三强度理 13fy(塑性材料）时，材料发生剪论：最大剪应当13fuc(脆性材料）力理论。 切破坏。 （6.4） 第四强度理当 论：八面体面1222fy(塑性材料）剪切理论。 12132321122132232fuc(脆性材料）2时，材料发生剪切破坏。 （6.5） 第一强度理论的相当应力 第二强度理论的相当应力 第三强度理论的相当应力 第四强度理论的相当应力 1*1 *21（23） （6.6） （6.7） *313 （6.8） *41122132232 2 （6.9a） 由强度理论建立的强度条件 （6.9b） 由直接试验 建立的强度（6.9c） 条件 （6.9d） （6.10a） 轴心拉压杆 的强度条件 （6.10b） *[] tmax[t] cmax[c] max[] tmaxcmaxN[t] ANA[c] 标准文案

实用文档 （6.11a） 由强度理论 建立的扭转 轴的强度条（6.11b） 件 （6.11c） （6.11d） T1max[t] (适用于脆性WT*1 材料) *21（23）=max(0max)(1)max[t] maxT[]t (适用于脆性材料) WT1*313maxmax2max[] maxT[] (适用于塑性材料) WT2*4112213223221max020max2maxmax223max[] max（6.11e） 由扭转试验建立的强度条件 （6.12a） 平面弯曲梁 的正应力强 度条件 （6.12b） T[] (适用于塑性材料) WT3maxT[] WTtmaxM[t] WZ cmaxMWZ [c] 标准文案

实用文档 （6.13） 平面弯曲梁的剪应力强度条件 （6.14a） 平面弯曲梁 的主应力强（6.14b） 度条件 （6.15a） 圆截面弯扭 组合变形构 件的相当弯（6.15a） 矩 *VSZmaxmax[] IZb*3242[] *4232[] 22MZMyT2*3*313WM W *4112213223222Z2y2 （6.16） 螺栓的抗剪强度条件 （6.17） 螺栓的抗挤压强度条件 （6.18） 贴角焊缝的剪切强度条件 MM0.75TW*M4Wbc4N[] 2ndNdt[] bcN[wf] 0.7hflw

8 刚度校核

序号 （7.1） （7.2） 公式名称 构件的刚度条件 扭转轴的刚度条件 平面弯曲梁的刚度条件

标准文案

公式 max[] l.lTmax[] GI符号说明 （7.3） vmaxv[] ll 实用文档

9 压杆稳定性校核

序号 公式名称 （8.1） 两端铰支的、细长压杆 的、临界力的欧拉公式 （8.2） 细长压杆在不同支承情 况下的临界力公式 公式 Pcr2EIl2符号说明 I取最小值 2EI Pcr2(.l)l0.l l0—计算长度。 —长度系数； 一端固定，一端自由：2 一端固定，一端铰支：0.7 两端固定：0.5 （8.3） 压杆的柔度 .li iI是截面的惯性A（8.4） 压杆的临界应力 cucuPcr A半径 （回转半径） 2E2 E fP （8.5） 欧拉公式的适用范围 抛物线公式 P当c（8.6） E时， 0.57fyfy—压杆材料的屈服crfy[1(2)] c极限； —常数，一般取0.43 标准文案

实用文档 PcrcrAfy[1(2)].A c （8.7） （8.8） 安全系数法校核压杆的稳定公式 折减系数法校核压杆的稳定性 PPcr[Pcr] kwP.[] A —折减系数 [cr]，小于1 []

10 动荷载

序号 （10.1） 公式名称 动荷系数 公式 KdPdNdddPjNjjj 构件匀加速 上升或下降 时的动荷系数 （10.3） 构件匀加速 上升或下降 时的动应力 (10.4) 动应力强度条件 (10.2) Kd1a g符号说明 P-荷载 N-内力 -应力 -位移 d-动 j-静 a-加速度 g-重力加速度 adKdj(1)j gdmaxKdjmax[] []杆件在静荷载作用下（10.5） 构件受竖直方向冲击时的动荷系数 （10.6） 构件受骤加荷载时的动荷系数 Kd112H j 的容许应力 H-下落距离 Kd1102 H=0 标准文案

实用文档 （10.7） 构件受竖直方向冲击时的动荷系数 （10.8） 疲劳强度条件 v2 Kd11gjjv-冲击时的速度 max[]K -疲劳极限 []-疲劳应力容许值 K-疲劳安全系数

11 能量法和简单超静定问题

序号 （9.1） 公式名称 公式 外力虚功： WeP11P22Me33...PiI （9.2） l内力虚功： WMdVdNdlTd lll（9.3） 虚功原理： 变形体平衡的充要条件是：WeW0 （9.4） 虚功方程： 变形体平衡的充要条件是：WeW （9.5） l莫尔定理： MdVdNdlTd lll（9.6） 莫尔定理： MMKVVNNTTdxdxdxdx lEIlGAlEAlGI（9.7） 标准文案

桁架的莫尔定理： 实用文档 （9.8） （9.9） NNl EA变形能： UW（内力功） 变形能： UWe（外力功） （9.10） （9.11） 外力功表示的变形能： 1111UPP...PPiI 1122ii2222内力功表示的变形能： M2(x)KV2(x)N2(x)T2(x)dxdxdxdx l2EIl2GAl2EAl2GI（9.12） 卡氏第二定理： iU Pi（9.13） i卡氏第二定理计算位移公式： MMKVVNNTTdxdxdxdx lEIPlGAPlEAPlGIPiiii（9.14） 卡氏第二定理计算桁架位移公式： iNNl EAiP（9.15） 卡氏第二定理计算超静定问题： ByMMdx0 lEIRB（9.16） 莫尔定理计算超静定问题： By（9.17） MMdx0 lEI一次超静定结构的力法方程： 标准文案

实用文档 11X11P0 （9.18） X1方向有位移时的力法方程： 11X11P （9.19） 自由项公式： 1P（9.20） M1MPdx lEI2主系数公式： 11（9.21） M1dx lEI桁架的主系数与自由项公式： N1l lEA2111P

N1NPl lEA

标准文案

实用文档

材料力学公式汇总

一、应力与强度条件 1、 拉压 max2、 剪切 max挤压 挤压NA

maxQ AP挤压A挤压

3、 圆轴扭转 max4、

T Wt 平面弯曲 ①maxMWzmax②tmaxMmaxytmaxtmax

IzMcmaxmaxycmaxcnax

Iz③maxQmaxSz max

Izb*5、斜弯曲 maxMzMyWzWy

max6、拉（压）弯组合 maxtmaxNMAWz

maxMzNNMzycmaxc ytmaxt cmaxIzAAIz注意：“5”与“6”两式仅供参考 7、圆轴弯扭组合：①第三强度理论 r3②第四强度理论

r42w23n22w4n22MwMnWz

22Mw0.75Mn二、变形及刚度条件

标准文案

Wz

实用文档

１、 拉压 LNLEANiLiEALN(x)dxEA

（/m）

２、 扭转 TLTiLiTxdxGIpGIpGIpT1800 LGIp３、 弯曲

(1)积分法:EIy''(x)M(x) EIy'(x)EI(x)M(x)dxC EIy(x)[M(x)dx]dxCxD

(2)叠加法:fP1,P2…=fP1fP2+…， P1,P2=P1P2…

(3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)

MALPALqBBALB

MLPL2qL3B B B

EI2EI6EIqL4ML2PL3 fB fB fB8EI3EI2EI

ACBLMACPqBACBL/2L/2L

BqL3BA24EIqL384EI4ML3EI,A

ML6EIPL2 BA16EI

(4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出)

Mi2LiM2LM2xdx== Ufc2EI2EIiML2fc16EI

PL3fc48EI

2EI(5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)

标准文案

实用文档

iMxMxUdx EIPiPi三、应力状态与强度理论 １、 二向应力状态斜截面应力

xy2xy2cos2xysin2 xy2sin2xycos2

２、 二向应力状态极值正应力及所在截面方位角

xy2maxxy2()xymin22 tg202xyxy

３、 二向应力状态的极值剪应力

max(xy22)2xy

注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为450 ４、 三向应力状态的主应力：123

最大剪应力：max5、二向应力状态的广义胡克定律

（1）、表达形式之一（用应力表示应变）

xy11x(xy) y(yx) z(xy) xy

EEE132

G（2）、表达形式之二（用应变表示应力）

EE x()(yx) zxyy22110 xyGxy

6、三向应力状态的广义胡克定律

x1xyzE x,y,z xyxy xy,yz,zx

G

7、强度理论

（1）r111 r2123 b

nb（2）r313 r41122232312 sns2

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8、平面应力状态下的应变分析 （1）xycos2222xyxysin22cos2 22xyxysin2

xy（2）maxxymin22xy222 tg20xy xy四、压杆稳定

1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类）

2EImin2E①细长受压杆 p Pcr cr2 2L②中长受压杆 ps crab

③短粗受压杆 s “cr”=s 或 b

2E2、关于柔度的几个公式  pipL sas

b3、惯性半径公式i短边长度））

IzA （圆截面 izd4，矩形截面iminb12（b为

五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式） 能量方程 TVU 冲击系数 Kd112hst击）

六、截面几何性质

1、 惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）

IP（自由落体冲击） Kd2v0gst（水平冲

dA=

2d432

D432d 1 D4hb3bh3 IzydA1 1212332IzdDbhhb24Wz 1

ymax3263262d4D44

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2、惯性矩平移轴公式 IzIzca2A

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