奔驰定理
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【 A】知识点
(1) 奔驰定理（点 P 在三角形 ABC内部）
(2) 奔驰定理（点 P 在三角形 ABC外部）
(3) 推论
ⅰ、点 P 是三角形 ⅱ、点 P 是三角形 ⅲ、点 P 是三角形 ⅳ、点 P 是三角形
【 B】例题讲解
ABC的重心（三边中线的交点）
ABC的内心（三个角平分线的交点）
ABC的垂心（三条高线的交点）
ABC的外心（三边中垂线的交点）
例 1、设 G 是
ABC 的重心，且 (56 sin A)GA (40 sin B)GB (35sin C)GC 0 ，则角 B 的大小为 _______
例 2、若点 O 在
ABC 的内部，且 OA 3OC 5OB 0 ，则 ABC 的面积与 AOC 的面积之比是 ________.
例 3、若点 O 在
ABC 的内部，且 OA 2OB mOC 0， S AOB S
ABC
4
，则实数 m =_________.
7
例 4、（ 2016 清华大学自主招生） 若点 O在 则实数
ABC 的内部， S AOB : S BOC : S AOC 4:3:2, 设 AO
ABAC，
=_____ ， =_____.
例 5、（ 2018 绍兴高三 5 月卷 15）已知
ABC 的外接圆的圆心为 O，且∠
，若
A= 60
α β αβ∈ ， AO = AB+ AC( , R)
则 α+ β的最大值是 __________
【 C】能力提升
1、已知
ABC 中， I 为内心， AC 2, BC 3, AB 4, 且 AI x AB yAC , 则，则 x y 的值为 ______ .
2、设 P 是
ABC 所在平面上一点，且满足 3PA 4PC mAB, (m 0) ，若 ABP 的面积为 8，则 ABC 的面积
是 _______.
3、在
ABC 中， AB 4, AC 3, BC 2, H 为 ABC 的垂心， AH x AB y AC ，则 =______.
x
y
4、(齐鲁名校协作体)
已知G是 ABC的重心，点M,N 分别在边
3
AB,AC 上，满足
AG x AM y AN , x y 1，若 AM
AB, 则 ABC 和 AMN 的面积之比是 ____________.
4
5
、正三角形 ABC 内一点 M ，满足 CM
mCA nCB ，
MCA 45
，则
m =______________. n
6、( 吉林实验中学高三四模 ) 已知 的最大值是 ________.
ABC 的外接圆 O 的半径为 1，且 BO
BA BC ，若 ABC
60 ，则
7、(2018 高一数学竞赛 ) 已知点 O 是锐角
ABC 的外心， A
3
，且 OA xOB yOC ，则 2x y 的取值范围
是 _______________.
【 D】三角形四心问题补充
1、已知点 O 是
ABC 所在平面内一点， 满足 | OA |2 | BC |2 | OB |2 | CA |2 | OC |2 | AB |2 , 则点 O 是 ABC
的 _____心。
2、已知点 O是平面上一定点，
A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
[0,
) ，则点 P 的轨迹通过
OP OA
( |AB|
ABAC
|AC|
),
ABC 的______心
3、已知点 O 是 ABC 所在平面内一点，动点 P 满足： OP OA (
AB | AB | sin ABC
AC | AC | sin ACB
),
其中(0,
) , 则动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的 ______心。
4
、已知点
O
是
ABC
所在平面内一点，动点
P
满足：
OPOA(
|AB|2
AB
sin ABC
AC ),
| AC |2 sin ACB
其中
(0,
) , 则动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的 ______心。
OA,OB,OC 5 、已知向量 满足条件： OA OB OC
|OA| |OB| |OC| 2
0 ，且
，点
P
是
ABC
内一动点，则 AB AP BC BP CA CP
__________
