郓城外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

郓城县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是（ ）

A．甲 B．乙 C．甲乙相等 D．无法确定

xy2„02． 已知实数x[1,1]，y[0,2]，则点P(x,y)落在区域x2y1„0 内的概率为（ ）

2xy2…0A.

3 4B.

3 8C.

1 4D.

1 8【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.

3． 已知函数 f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（ x1≠x2），下列结论正确的是（ ） ①f（x）＜0恒成立；

②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0； ③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0； ④⑤

； ．

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A．①③ B．①③④ C．②④ D．②⑤

''4． 函数f(x)在定义域R上的导函数是f(x)，若f(x)f(2x)，且当x(,1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf(2)，cf(log28)，则（ ）

A．abc B．abc C．cab D．acb 5． 已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为

，则C的方程为（ ） +y2=1

C．

+

=1

+

=1

，过F2的直线l交C于A、B

两点，若△AF1B的周长为4A．

+

=1

B．

D．

6． 已知集合AxN|x5，则下列关系式错误的是（ ）

A．5A B．1.5A C．1A D．0A 7． 在平面直角坐标系中，直线y=

x与圆x2+y2﹣8x+4=0交于A、B两点，则线段AB的长为（ ）

A．4 B．4 C．2 D．2

8． 抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（ ） A．

B．

C．

D．3

9． 单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（ ）

A．该几何体体积为 B．该几何体体积可能为 C．该几何体表面积应为+

D．该几何体唯一

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10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（ ） A.1 6 B. 1 C. 1 3 D. 43

【命题意图】本题考查空间几何体的三视图，几何体的体积等基础知识，意在考查学生空间想象能力和计算能力． 5101511．命题“∀a∈R，函数y=π”是增函数的否定是（ ） A．“∀a∈R，函数y=π”是减函数 B．“∀a∈R，函数y=π”不是增函数 C．“∃a∈R，函数y=π”不是增函数 D．“∃a∈R，函数y=π”是减函数

12．如图框内的输出结果是（ ） A．2401 B．2500 C．2601 D．2704

二、填空题

13．已知命题p：∃x∈R，x2+2x+a≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是 ．（用区间表示）

14．分别在区间[0,1]、[1,e]上任意选取一个实数a、b，则随机事件“alnb”的概率为_________.

xìïe,x³0215．已知f(x)=í，则不等式f(2-x)>f(x)的解集为________．

ïî1,x<0【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力．

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16．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则

= ．

17．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ． 18．（

72

﹣2）的展开式中，x的系数是 ．

三、解答题

19．（本题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn（1）求数列{an}的通项公式；

3an3（nN）. 27（nN）. 2【命题意图】本题考查了利用递推关系求通项公式的技巧，同时也考查了用错位相减法求数列的前n项和.重

（2）若数列{bn}满足anbnlog3a4n1，记Tnb1b2b3bn，求证：Tn点突出运算、论证、化归能力的考查，属于中档难度.

20．已知等比数列{an}中，a1=，公比q=． （Ⅰ）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn=

（Ⅱ）设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{bn}的通项公式．

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21．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上． （1）求证：平面AEC⊥平面PDB； （2）当PD=

AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°． （1）求证：PC⊥BC；

（2）求点A到平面PBC的距离．

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23．已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，，，...，.

，其中

、

，集合

..。

（1）当（2）设、.证明：若

，..。.

，，

，，...，；

..。

，，

时，用列举法表示集合

，，，...，

，则

24．已知正项等差{an}，lga1，lga2，lga4成等差数列，又bn=（1）求证{bn}为等比数列． （2）若{bn}前3项的和等于

，求{an}的首项a1和公差d．

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郓城县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：根据茎叶图中的数据可知，甲地的数据都集中在0.06和0.07之间，数据分别比较稳定， 而乙地的数据分布比较分散，不如甲地数据集中， ∴甲地的方差较小． 故选：A．

【点评】本题 考查茎叶图的识别和判断，根据茎叶图中数据分布情况，即可确定方差的大小，比较基础．

2． 【答案】B 【

解

析

】

3． 【答案】 D

【解析】解：由导函数的图象可知，导函数f′（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，故原函数为减函数， 并且是，递减的速度是先快后慢．所以f（x）的图象如图所示． f（x）＜0恒成立，没有依据，故①不正确；

②表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]异号，即f（x）为减函数．故②正确； ③表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]同号，即f（x）为增函数．故③不正确， ④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值， 右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边， 故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤． 故选D．

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4． 【答案】C 【解析】

考点：函数的对称性，导数与单调性．

可或缺的重要一环，因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的，如函数f(x)满足：

【名师点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要工具，通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不

f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)，则其图象关于直线xa对称，如满足f(2mx)2nf(x)，

则其图象关于点(m,n)对称． 5． 【答案】A

【解析】解：∵△AF1B的周长为4∴4a=4∴a=

， ，

，

，

，

∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，

∵离心率为∴∴b=

，c=1，

=

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∴椭圆C的方程为故选：A．

+

=1．

【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

6． 【答案】A 【解析】

试题分析：因为AxN|x5 ，而1.5N,1N,.5A,1A，即B、C正确，又因为0N且

05，所以0A，即D正确，故选A. 1

考点：集合与元素的关系. 7． 【答案】A

2222

【解析】解：圆x+y﹣8x+4=0，即圆（x﹣4）+y=12，圆心（4，0）、半径等于2

． ，

由于弦心距d=故选：A．

=2，∴弦长为2=4

【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．

8． 【答案】A 【解析】解：由

2

，得3x﹣4x+8=0．

2

△=（﹣4）﹣4×3×8=﹣80＜0．

2

所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x无交点．

设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0 联立

，得3x﹣4x﹣m=0．

2

2

由△=（﹣4）﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，

得m=﹣．

2

所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x相切的直线方程为4x+3y﹣=0．

所以抛物线y=﹣x上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是

2=．

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故选：A． 中档题．

9． 【答案】C

【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是

【解析】解：由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体，截掉一个角（三棱锥）得到 且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1

该几何体的表面积由三个正方形，有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为故其表面积S=3•（1×1）+3•（×1×1）+故选：C．

【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键．

10．【答案】D 【

解

析

】

•（

2）=

的正三角形组成

．

11．【答案】C

【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀a∈R，函数y=π”是增函数的否定是：“∃a∈R，函数y=π”不是增函数． 故选：C．

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．

12．【答案】B

【解析】解：模拟执行程序框图，可得S=1+3+5+…+99=2500， 故选：B．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，等差数列的求和公式的应用，属于基础题．

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二、填空题

13．【答案】 （1，+∞）

2

【解析】解：∵命题p：∃x∈R，x+2x+a≤0，

当命题p是假命题时，

2

命题￢p：∀x∈R，x+2x+a＞0是真命题；

即△=4﹣4a＜0， ∴a＞1；

∴实数a的取值范围是（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）．

【点评】本题考查了命题与命题的否定的真假性相反问题，也考查了二次不等式恒成立的问题，是基础题目．

14．【答案】

e1 eaa【解析】解析： 由alnb得be，如图所有实数对(a,b)表示的区域的面积为e，满足条件“be”的实数对(a,b)表示的区域为图中阴影部分，其面积为

10eadaea|e1，∴随机事件“alnb”的概率为

01e1． e15．【答案】(-2,1)

【解析】函数f(x)在[0,+?)递增，当x<0时，2-x2>0，解得-22x，

解得0?x1，综上所述，不等式f(2-x)>f(x)的解集为(-2,1)． 16．【答案】 ﹣5 ．

2

【解析】解：求导得：f′（x）=3ax+2bx+c，结合图象可得 x=﹣1，2为导函数的零点，即f′（﹣1）=f′（2）=0， 故

，解得

故==﹣5

故答案为：﹣5

17．【答案】 x﹣y﹣2=0 ．

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【解析】解：直线AB的斜率 kAB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），

所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0， 故答案为x﹣y﹣2=0．

【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．

18．【答案】﹣280 解：∵（﹣2）7

的展开式的通项为

=．

由

，得r=3．

∴x2的系数是．

故答案为：﹣280．

三、解答题

19．【答案】 【

解

析

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】

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20．【答案】

【解析】证明：（I）∵数列{an}为等比数列，a1=，q= ∴an=×

=

，

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Sn=

又∵∴Sn=（II）∵an=

==Sn

∴bn=log3a1+log3a2+…+log3an=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33） =﹣（1+2+…+n） =﹣

∴数列{bn}的通项公式为：bn=﹣

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．

21．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD， ∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB， ∴平面AEC⊥平面PDB．

（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角， ∴O，E分别为DB、PB的中点， ∴OE∥PD，

，

又∵PD⊥底面ABCD， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO， 在Rt△AOE中，

，

∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．

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22．【答案】

【解析】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC． 由∠BCD=90°，得CD⊥BC， 又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD， 所以BC⊥平面PCD．

因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．

（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则： 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等． 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍． 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC， 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F． 易知DF=

，故点A到平面PBC的距离等于

．

（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h． 因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°． 从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1． 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC． 又PD=DC=1，所以

由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积由VA﹣PBC=VP﹣ABC，

故点A到平面PBC的距离等于论证能力和运算能力．

．

，得．

． ，

．

【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理

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23．【答案】

【解析】

24．【答案】

【解析】（1）证明：设{an}中首项为a1，公差为d． ∵lga1，lga2，lga4成等差数列，∴2lga2=lga1+lga4，

2

∴a2=a1a4．

2

即（a1+d）=a1（a1+3d），∴d=0或d=a1．

当d=0时，an=a1，bn=当d=a1时，an=na1，bn=

==

，∴

，∴

=1，∴{bn}为等比数列；

=，∴{bn}为等比数列．

综上可知{bn}为等比数列． （2）解：当d=0时，S3=当d=a1时，S3=

=

=

，所以a1=

；

，故a1=3=d．

【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合以及分类讨论思想的应用，涉及数列的公式多，复杂多样，故应多下点功夫记忆．

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