双曲线及其标准方程(专题训练)

双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离 等于常数2a（小于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做双曲线. 如图所示：双曲线的概念

标准方程 图形 xa22yb221(a0,b0) ya22xb221(a0,b0) 性 质 焦距 范围 对称性 顶点 轴 准线 xa F1（0,c)，F2（o,c) 焦点 F1（-c,0)，F2（c,0) | F1F2|=2c a2b2c2 x≤-a与x≥a y≤-a与y≥a 关于x轴，y轴和原点对称 （-a，0）。（a，0） （0，-a）（0，a） 实轴A1A2长2a，虚轴B1B2长2b 2cba ya2c 渐近线 共渐近线的双曲线系方程 yx. yabx xa22yb22（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.

注：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

设是双曲线上任一点，点到F1对应准线的距离为d1，点到F2对应准 线的距离为d2，则

F1d1F2d2e．

1

题型一：双曲线定义问题

1.若aR，方程x5y22y2x52y26，表示什么曲线？

若改成：x52x522y6 ？

2．已知ABC的顶点A0,4、B0,4，且4sinBsinA3sinC，则顶点C的轨迹方程是 3．双曲线

x216y291上一点P到左焦点的距离为15，那么该点到右焦点的距离为

变式：设F1,F2是双曲线

x216y2201的焦点，点P是双曲线上的点，点P到焦点F1的距离

等于9，求点P到F2的距离。

x24..若kR，则“k3”是“方程k3y2k31表示双曲线”的( )

A. 充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件.

题型二，利用标准方程确定参数

1. 求双曲线25x24y2100的实半轴长 虚半轴长 焦点坐标

, 焦距 离心率 2．若方程

x2k2y25k1表示x型双曲线，则k的取值范围是

表示y型双曲线，则k是 表示双曲线，则k的取值范围是 3.已知双曲线8kxky8的一个焦点为3,0，k为 224．椭圆

x24ya221与双曲线

x2ay221有相同的焦点，则a的值是

5变式：与椭圆4x9y36有相同焦点，且过点3,2的双曲线方程

226．等轴双曲线的一个焦点是F16,0，则它的标准方程是

2

题型三。双曲线的标准方程

1．写出适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）a4,b3，焦点在x轴上；（2）焦点为0,6，0,6，且经过点2,5

（3）焦点在x轴上，经过点152,3，,32； （4）焦点在x轴上，a25，并且经过点A5,2； 1（5）已知双曲线的渐近线方程为y=±x,焦距为10，

2题型四：双曲线的离心率问题

1.已知双曲线的中心在原点，离心率为2，且过点(4,10)，求此双曲线方程

xa222.已知双曲线yb22221(a0,b0)的离心率e54，虚半轴长为2，求双曲线的方程。

3.若双曲线

xa22yb1(a0,b0)的焦点到渐近线的距离为实轴长，则其离心率为

4．双曲线的渐近线方程为yxa2232x，则其离心率为 。

5．双曲线yb221（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30

的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为______________ 6.已知F1,F2是双曲线的两个焦点，PQ是过点F1且垂直于实轴所在直线的双曲线的弦，

PF2Q90，则双曲线的离心率为

0x2y2

7已知双曲线 2 － 2 = 1 (a＞0,b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，

a b且∣PF1∣=4∣PF2∣,则此双曲线的离心率e的最大值为 （ ） 4

A．

3

8.已知F1,F2是双曲线

xa225B．

3

yb22C．２

1,(ab0)7D．

3

的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与

双曲线的左支交于A、B两点,若ABF2是正三角形,那么双曲线的离心率为 ( ) A.

2 B.

3 C. 2 D. 3

3

9.若双曲线

xa222，则它的离心率为（ ） y1的一个焦点为（2，0）

A.

255 B.

32 C.233 D.2

题型五：双曲线中的焦点三角形

1、设P为双曲线x2y2121上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若

|PF1|:|PF2|3:2，则△PF1F2的面积为（ ）

A．63 B．12 C．123 D．24

2.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是 . 3：F1,F2是双曲线值为________

4.变式：设F1、F2是双曲线的两个焦点，且F1F218，过F1的直线交双曲线的同一支于

M、N两点，若MN10，MF2N的周长为48．则满足条件中的双曲线的标准方

x216y291的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么PF2QF2PQ的

程是 x2

2

05．设F1,F2为双曲线

F1PF2的面积

4y1的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF290，则

6.变式：设F1,F2是双曲线求△F1PF2面积。

x29y2161的两个焦点，点P在双曲线上，且F1PF260，

0题型六：双曲线的渐近线问题

1．双曲线3xy3的渐近线方程是 2．双曲线16x9y144的渐近线的方程是 3．双曲线的渐近线方程为x2y0，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

4

22224、过点（23,3），且与双曲线

x2x216y291有相同的渐近线的双曲线方程是

5.过点（2，－2）且与双曲线A.

y22y－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )

2－

x224=1 B.

x2－

42=1 C.

y2－

x242=1 D.

x2－

y224=1

6、(2008辽宁文) 已知双曲线9y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m( ) A．1 B．2 C．3 D．4

题型七：双曲线的距离问题

1.设P是双曲线

xa22－

y29=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y=0，F1、F2分别是

双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于( ) A.1或5 B.6 2.已知双曲线

x2 C.7 D.9

12y241的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交

点，则此直线斜率的取值范围是

3333A.(

3,3) B. (-3,3) C.[

x23,3] D. [-3,3]

3.已知圆C过双曲线

9－

y216=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到

双曲线中心的距离是____________. 题型八：轨迹问题

22

1.双曲线x－y =4的两焦点分别为F1、F2，A为双曲线上任一点。AP是∠F1AF2的平分线，且 APF2P=0.则点P的轨迹是 （ ）

A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.圆的一部分 D.抛物线的一部分 2求与圆(x3)y1及(x3)y9都外切的动圆圆心的轨迹方程 2222强化练习

1.已知F1,F2是双曲线

x22y21的左、右焦点,P、Q为右支上的两点,直线PQ过F2,且倾

斜角为,则PF1QF1PQ的值为 ( )

5

A 42 B 8 C 22 D 随的大小变化

2.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7，0)，直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣

x223，则此双曲线的方程是

x2A．

3y24=1 B．

4y23=1 C．

x25y22=1 D．

x22y25=1

3.双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为 A.

3 B.

62 C.

63 D.

33

4已知双曲线的两个焦点为F1(5,0)，P是此双曲线上的一点，且PF1PF2，F2(5,0)，

|PF1||PF2|2，则该双曲线的方程是

x2

x2 y2 A．

2y231 B．

x23yby221 C．

4y21 D．x241

5、已知F1、F2是双曲线

xa22221(a0,b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形

MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是

A．423

B．31

C．

312

D．31

6.若双曲线x2－y2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x的距离是2，则a＋b的值为（ ）。 （A）－

12 （B）

122

（C）－

2

12或

12 （D）2或－2

xy

7.已知点F是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直

ab

于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 ( )

A．(1，＋∞) B．(1,2) C．(1,1＋2) D．(2,1＋2) 2222

8、求与圆A：（x+5）+y=49和圆B：（x－5）+y=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为________________ 9、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为(3,0) （1）求双曲线C的方程； （2）若直线l:ykx2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OAOB2（其

中O为原点）. 求k的取值范围.

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