最后冲刺系列解析几何专题系列一圆锥曲线的基本量问题

圆锥曲线是解析几何的核心内容，是高考的命题的热点之一，其特点是用代数的方法研究和解决几何问题，所以它是数形结合思想的典型载体。圆锥曲线的基本量是江苏近几年来高考中的热点问题，在近三年的高考中均有所体现，考查内容如下表所示：

高考年份 填空题 解答题 知识点 2010年 第6题 中心在坐标原点的双曲线的标准方程、圆锥曲线的统一定义 2011年 第18题 椭圆的标准方程 2012年 第8题 第19题 双曲线的性质、椭圆的性质、直线方程、两点间的距离公式 由上表可以看出，在江苏近三年的高考中，主要考察的是圆锥曲线的基本量及其方程（特别是离心率的考查），弱化了直线与圆锥曲线的位置关系，而且又以椭圆与双曲线的性质考查为主。 [备考策略 提升信心]

1．江苏高考的圆锥曲线的考查方式与其他新课标地区不同，淡化双曲线与抛物线，淡化直线与圆锥曲线的关系，以椭圆为载体的综合问题是考查的重点。

2．新型的圆锥曲线的试题主要呈现以下特点：（1）在曲线的准线、渐近线、离心率上做文章，围绕圆锥曲线的定义、性质、几何量的含义进行解题，主要考查处理有关问题的基本技能、基本方法；（2）椭圆处于更加突出的位置，几乎所有的解答题都会围绕椭圆展开；（3）与圆一起出现，特别是直线与圆的位置关系，相切的内容更是常考内容。

3.找出题中的等量关系（或不等关系）利用a,b,c表示关系式中的量，再代入求解 [小题训练 激活思维]

1.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2 = 4x的准线交于A、B两点，AB =3，则C的实轴长为 .1

2.已知双曲线

x2a2y2b21(a0,b0)的右焦点为F,若以F为圆心的圆x2y26x50与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 .答案：35 5x2y23.设双曲线1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上位于第一象限内一

4565VPFF,2点，且12的面积为6，则点P的坐标为  5提示：注重方法的选择

x2y24.（2012苏北四市元月）已知椭圆的方程为221(ab0)，过椭圆的右焦点且

ab与x轴垂直的直线与椭圆交于P,Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若PQM为正三角形，则椭圆的离心率为

3 3x2y25.已知F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点, 点P是椭圆上的任意一点, 则

84|PF1PF2|的取值范围是 ．答案：[0,222]

PF1提示：整体消元；或焦半径公式（文科学生适当掌握一些焦半径（椭圆）知识会有帮助）

x2y26.设P为双曲线221(a0,b0)上除顶点外的的任意一点，F1,F2分别为左右

ab点，F1PF2内切圆交实轴于点M，则F1MF2M值为 ．b2 说明：本题目的在于强化定义的运用 [核心问题 聚焦突破]

x2y2如图，在平面直角坐标系xoy中，A1,A2,B1,B2为椭圆221(ab0)的四个顶点，

abF为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 .e275

x2y2变式训练：已知B为双曲线221(a0,b0)的左准线与

abuuuruuurx轴的交点，点A(0,b)，若满足AP2AB的点P在双曲线上，

则该双曲线的离心率为 ．[变式拓展 分类解密] 题型一：直接求出a,c，求解e

2

例1：已知圆锥曲线的标准方程或a,c易求时，可利用率心率公式e来解决。

x2y2（2012扬州期末）已知椭圆221(ab0)过点P(3,1)，其左右焦点分别是F1,F2，

abca且F1PF2P6，则椭圆的离心率为 题型二：构造a、c的齐次式，解出e

23 3根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

x2y2例2：已知F1、F2是双曲线221（a0,b0）的两焦点，以线段F1F2为边作

ab正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是

解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为，由焦半径公式PF1expa，

c22cccc即ca，得220，解得

a2aaec13（13舍去） a题型三：采用离心率的定义以及椭圆的定义（或统一定义）求解

例3：（1）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

c2c2c2ca2aPF1PF222c2c121解：e21

x2y2（2）设椭圆221（a0,b0）的右焦点为F1，右准线为l1，若

ab过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是

.

解：如图所示，AB是过F1且垂直于x轴的弦，∵ADl1于D，∴AD为F1到准线l1的

1ABAF112 距离，根据椭圆的第二定义，eADAD2题型四：建立a,c不等关系求解离心率的范围.

x2y23a例4：（1）若双曲线221（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大

ab2于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是

3a23a2331解析： 由题意可知(a)e(a)即e1解得e2

2c2c22e利用圆锥曲线相关性质建立a,c不等关系求解.

x2y2（2）双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且

ab|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 分析 ：求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？

解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1|?|PF2|=|PF2|=2a，|PF2|ca即2aca∴3ac 所以双曲线离心率的取值范围为1e3

点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于ca）则可建立不等关系使问题迎刃而解.

x2y2变式训练：设椭圆221的左、右焦点为F1,F2，左准线为l，P为椭圆上一点，

abPQl，垂足为Q，若四边形PQF1F2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围为

________(,1)

12x2y2（3）已知椭圆221(ab0)右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂

ab直于PA，则椭圆的离心率e的取值范围为

x02y021解：设P点坐标为（x0,y0）,则有a2b2

x2axy20000消去y02得(a2b2)x02a3x0a2b20若利用求根公式求x0运算复杂，应注意到方程的

2a2b2ab2e1 一个根为a,由根与系数关系知ax022x022由0x0a得2ababx2y2变式训练：椭圆G：221(ab0)的两焦点为F1(c,0),F2(c,0)，椭圆上存在点Mabuuuuvuuuuv使FMF2M0. 则椭圆离心率e的取值范围为 1uuuuvuuuuv解析： 设M(x,y),FMF2M0x2y2c2……① 12b22a2b222e1 . 将yb2x代入①得xa Q0x2a2求得2a222x2y2点评：221(ab0)中xa，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参

ab数范围问题中经常使用，应给予重视. 运用函数思想求解离心率

x2y2例5：设a1，则双曲线21的离心率e的取值范围是 2a(a1)解析：由题意可知e1(a1211)1(1)2∵a1∴112 aaa题型五：圆锥曲线定义、焦半径公式的运用

x2y2例6：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，

ab3都在椭圆上，其中e)和F2(c，0)．已知(1，e，2e为椭圆的离心率． yAPOBx（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1 与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P． （i）若AF1BF26，求直线AF1的斜率； 2（第19题）

（ii）求证：PF1PF2是定值．

（（变式训练：已知某椭圆的交点是F，过点F2且垂直于x轴的直线与椭1-4,0）,F24,0）圆的一个交点为B，且F1BF2B10，椭圆上不同的两点A(x1,y1)，C(x2,y2)，满足条件F2A,F2B,F2C成等差数列。 (1) 求该椭圆的方程； (2) 求弦AC中点的横坐标。 【专题总结 画龙点睛】 精要归纳：

1.离心率问题的求解方法：（1）建立一个关于a,b,c的齐次等式，再消除b，求出e；（2）建立一个关于a,b,c的齐次不等式，再消除b，求出e的范围；（3）利用定义或题中蕴含的几何关系，直接建立等式或不等式来求解e。（4）在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相

关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.

2.圆锥曲线的显着特点是用代数的方法解决几何问题，它的重点是用数形结合的思想把几何问题转化为代数问题。在圆锥曲线问题中转化后常出现多字母的等式（不等式）的化简，对字母运算能力要求较高。求圆锥曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是确定a2、b2的具体值，常用待定系数法。 [专题检测 水到渠成]

x2y2a21.设点P在椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上，直线l的方程为x＝－，且点F的坐标为(－

abcc，0)，作PQ⊥l于点Q．若P、F、Q三点构成一个等腰直角三

角形，则椭圆的离心率e＝_

2

2

x2y22.如图，已知椭圆221(ab0)的左、右准线分别为l1,l2，

ab且分别交x轴于C,D两点，从l1上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被x轴反射后与l2交于点B，若AFBF，且ABD75，则椭圆的离心率等于 62 2x2y23.已知双曲线221,(a0,b0)的左，右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支

ab上，且|PF1|4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为 解：∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1|?|PF2|=3|PF2|=2a，|PF2|ca即aca∴ac 所以双曲线离心率的取值范围为1e

532353x2y24.已知F1，F2分别为221 (a0,b0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任一

abPF1点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是

PF2PF1PF222解析 (2aPF2)2PF24a2PF24a24a24a8a，欲使最小值为8a，需右PF2支上存在一点P，使PF22a，而PF2ca即2aca所以1e3.

x2y2

5.（11年苏北四市二模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左

ab焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，l为左准线，PQ⊥l，垂足为Q，若四边形

PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是______________． (2－1,1)

x2y26.设椭圆C:221(ab0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直

abuuur8uuur线l分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且APPQ.求椭圆的离心率

5x2y21xy7.已知椭圆C:221(ab0)的离心率e，且原点O到直线1的距离为

ab2abd221 7（1）求椭圆的方程；

（2）过点M(3,0)作直线与椭圆C交于P，Q两点，求OPQ面积的最大值。