高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 . 一元二次不等式及其解法练习 理创新

[A组·基础达标练]

1．[2016·山西四校联考]设全集为R，集合A＝{x∈R|x<4}，B＝{x|－12

A∩(∁RB)＝( )

A．(－1,2) C．(－2，－1] 答案 C

解析 由x<4，得－24}，所以A∩(∁

R

2

B．(－2，－1) D．(－2,2)

B)＝{x|－22．[2015·长春三模]x<2是x－3x＋2<0成立的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 答案 A

解析 由x－3x＋2<0解得1C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案 B

1－x解析 由≥0得(x－1)(x＋2)≤0，且x≠－2，得

2＋x－24．[2016·皖南八校联考]不等式x－2x＋5≥a－3a对任意实数x恒成立，则实数a的

2

2

2

2

1－x≥0的解集为( ) 2＋xB．(－2,1]

D．(－∞，－2]∪(1，＋∞)

取值范围为( )

A．[－1,4]

C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) 答案 A

解析 由x∈R，x－2x＋5≥a－3a恒成立，先求出y＝x－2x＋5的最小值，当x＝1时，

2

2

2

B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) D．[－2,5]

ymin＝4，所以a2－3a≤4⇔a2－3a－4≤0，解得－1≤a≤4，故选A.

x＋2，x≤0，5．[2015·惠州二模]已知函数f(x)＝

－x＋2，x>0，

则不等式f(x)≥x的解集为( ) A．[－1,1] C．[－2,1] 答案 A

解析 当x≤0时，x＋2≥x，

2

2

B．[－2,2] D．[－1,2]

1

∴－1≤x≤0，①

当x>0时，－x＋2≥x，∴0由①②得，原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．故选A.

1

6．[2016·辽宁五校联考]已知一元二次不等式f(x)≤0的解集为xx≤或x≥3

2

2



，

则f(e)>0的解集为( )

A．{x|x<－ln 2或x>ln 3} B．{x|ln 21

解析 f(x)>0的解集为x2

x



， 

1xx由f(e)>0得21

解得ln 2即－ln 27．[2016·沈阳质检]不等式 x＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．

答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)

解析 Δ＝a－4×4＝a－16>0，解得a<－4或a>4.

2

2

2

1122

8．已知关于x的不等式ax＋2x＋c>0的解集为－，，则不等式－cx＋2x－a>0的

32

解集为________．

答案 (－2,3)

112－＋＝－，32a解析 依题意可知11c－3×2＝a，解得：a＝－12，c＝2

∴不等式－cx＋2x－a>0，即为 －2x＋2x＋12>0即x－x－6<0

解得－2解析 原不等式可化为(x－1)x－x－2>0或(x－1)·x－x－2＝0，

2

2

2

2

2

2

2

x－1>0，即2

x－x－2>0

x－1＝0，

或2

x－x－2≥0

或x－x－2＝0，

2

解得x>2或x∈∅或x＝2或x＝－1，

综上可知，原不等式的解集为{x|x≥2或x＝－1}．

10．[2015·铜陵一模]已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>0的解集为(1,2)，若f(x)的最大值小于1，则a的取值范围是________．

答案 (－4,0)

解析 由题意知a<0，且方程f(x)＝0的两根为1,2，

f(x)＝a(x－1)(x－2)＝ax2－3ax＋2a， a3∴[f(x)]max＝f＝－<1， 42

∴a>－4，故－4[B组·能力提升练]

1．[2016·山西质监]若关于x的不等式4a成立，则a的取值范围为( )

x－1

<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒

1A.0，

2

C．[2，＋∞) 答案 B 解析 不等式4ax－1

1B.0， 2

D．(2，＋∞)

33x－1

1时，44

3

≤×2－1，4

<3x－4等价于ax－1

在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当02－1

2．[2016·贵州六校联考]若不等式

t＋2

≤a≤2在t∈(0,2]上恒成立，则a的取值t＋9t2t 3

范围是( )

1A.，1 614C.， 613

答案 D 解析

＝t＋9

2

1B.，22 6

D.

2，1

13

t99913t1

，而y＝t＋在(0,2]上单调递减，故t＋≥2＋＝，2＝9tt22t＋99t＋t＋1

tt211t＋2121121

≤(当且仅当t＝2时等号成立)，因为≥，所以2＝＋2＝2＋－≥1(当且仅当13t2tttt48

t＝2时等号成立)，故a的取值范围为，1.



3．[2015·福州期末]若不等式x－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，求a的取值范围是________．

答案 [－4,3]

解析 原不等式可化为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要

2

2

13

a≥－4即可，

即－4≤a<1，

当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求， 当a>1时，不等式的解集为[1，a]， 此时只要a≤3即可，即14．[2013·重庆高考]设0≤α≤π，不等式8x－(8sinα)x＋cos2α≥0对任意x∈R恒成立，则α的取值范围是________．

2

π5答案 0，∪π，π

66



222



解析 由题意知，(8sinα)－4×8·cos2α≤0， ∴2sinα－cos2α≤0， ∴2sinα－(1－2sinα)≤0， ∴4sinα－1≤0， 12

∴sinα≤，

4又0≤α≤π， 1

∴0≤sinα≤.

2

π5π

∴0≤α≤或≤α≤π.

66

5．已知函数f(x)＝ax＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.当x∈(－3,2)时，f(x)>0.

(1)求f(x)在[0,1]内的值域；

4

22

2

(2)若ax＋bx＋c≤0的解集为R，求实数c的取值范围． 解 (1)因为当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0， 当x∈(－3,2)时，f(x)>0，

所以－3,2是方程ax＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，

2

2

b－8

－3＋2＝－，a所以可得－a－ab－3×2＝，a

所以a＝－3，b＝5，

122

所以f(x)＝－3x－3x＋18＝－3x＋＋18.75，

2

函数图象关于x＝－0.5对称，且抛物线开口向下， 所以在区间[0,1]上f(x)为减函数，

所以函数的最大值为f(0)＝18，最小值为f(1)＝12， 故f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．

(2)由(1)知，不等式ax＋bx＋c≤0化为－3x＋5x＋c≤0，

因为二次函数y＝－3x＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x＋5x＋c≤0的解集为R，只

a＝－3<0，需2

Δ＝b－4ac≤0，

2

2

2

2

25即25＋12c≤0⇒c≤－，

12

25所以实数c的取值范围为－∞，－. 12

5