2019中考数学真题分类汇编知识点47 新定义型2019

一、选择题

1.（2019·岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（） A．c＜－3 B．c＜－2 C．c【答案】B

【解析】 当y=x时，x=x2+2x+c，即为x2+x+c=0，由题意可知：x1，x2是该方程的两个实数根，所以∵x1＜1＜x2，∴（x1－1）（x2－1）＜0， 即x1x2－(x1＋x2) ＋1＜0， ∴c－(－1)＋1＜0， ∴c＜－2.

又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0， 即12－4c＞0， 解得：c＜

1D．c＜1 4x1x21

x1x2c1 4.

∴c的取值范围为c＜－2 .

2.（2019·济宁）已知有理数a≠1，我们把11称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝−1，－1的差1a12倒数是11．如果a1＝－2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此1(1)2类推，那么a1＋a2＋…＋a100的值是（） A．－7.5 B．7.5 C．5.5 D．－5.5 【答案】A

【解析】由题意知：a2＝1113111＝；a3＝＝，a4＝＝－2；a5＝＝；…；可知1231(2)31(2)31132经过3次开始循环，所以a1＋a2＋…＋a100＝－2＋＋3.

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

二、填空题

133131－2＋＋＋…－2＝332＝－7.5． 232618．（2019·娄底） 已知点Px0,y0到直线ykxb的距离可表示为dkx0by01k2，例如：点（0，

1）到直线y＝2x+6的距离d间的距离为___________． 【答案】22．

20611225．据此进一步可得两平行直线yx与yx4之

【解析】在直线yx上任取点，不妨取（0，0），根据两条平行线之间距离的定义可知，（0，0）到直线

yx4的距离就是两平行直线yx与yx4之间的距离．d040112422． 216．（2019·常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根

据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P是二

1次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝－1于点Q，则四边形PMNQ是

4广义菱形．其中正确的是 ．（填序号）

【答案】①④

【解析】正方形和菱形满足一组对边平行，一组邻边相等，故都是广义菱形，故①正确；平行四边形虽然

满足一组对边平行，但是邻边不一定相等，因此不是广义菱形，故②错误；对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形的对边不一定平行，邻边也不一定相等，因此不是广义菱形，故③错误；④中

12110)PQ＝m2的四边形PMNQ满足MN∥PQ，设P(m，（m＞0），∵PM＝m2(m21)2＝m＋1，

44412－(－1)＝m＋1，∴PM＝PQ，故四边形PMNQ是广义菱形．综上所述正确的是①④．

417．（2019·陇南）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征

值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝ ． 【答案】

81或． 5480o820o1【解析】当∠A是顶角时，底角是50°，则k=o；当∠A是底角时，则底角是20°，k=o，

505804故答案为：

2. 3. 4. 5.

三、解答题

1.（2019·重庆A卷）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在

数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．

定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯

81或． 54数”，

例如：32是”纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23

＋24＋25时，个位产生了进位．

（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由； （2）求出不大于100的“纯数”的个数．

解：（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下：

∵在计算2019＋2020＋2021时，个位产生了进位，而计算2020＋2021＋2022时，各数位都不产生进位， ∴2019不是“纯数”，2020是“纯数”．

（2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2

时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．现分三种情况讨论如下：

①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个；

②当这个数为二位自然数时，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，即10、11、12、20、21、22、30、31、32共9个； ③当这个数为100时，易知100是“纯数”．

综上，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13．

2.（2019·重庆B卷）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然

数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等. 现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”.

定义：对于自然数n，在通过列竖式进行nn1n2的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n为“纯数”.

例如：32是“纯数”，因为323334在列竖式计算时各位都不产生进位现象； 23不是“纯数”，因为232425在列竖式计算时个位产生了进位. ⑴请直接写出1949到2019之间的“纯数”；

⑵求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由. 解：（1）1949到2019之间的“纯数”为2000、2001、2002、2010、2011、2012 . （2）由题意：不大于100的“纯数”包含：一位数、两位数和三位数100

若n为一位数，则有n+（n+1）+（n+2）＜10，解得：n＜3，所以：小于10的“纯数数”有0、1、2，共3个．

两位数须满足：十位数可以是1、2、3，个位数可以是0、1、2，列举共有9个分别是10、11、12、20、21、22、30、31、32；三位数为100，共1个所以：不大于100的“纯数”共有13个.

3.（2019·衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满

是x=

bdac，y=，那么称点T是点A，B的融合点。

33148(2)=1，y==2时.则点T（1，2）是33例如：A（-1，8），B（4，一2），当点T（x.y）满是x=

点A，B的融合点。

（1）已知点A（-1，5），B（7，7）.C（2，4）。请说明其中一个点是另外两个点的融合点. （2）如图，点D（3，0）.点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点.

y1lx1O①试确定y与x的关系式.

D

②若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标.

解：（1）∵

1757=2，=4， 33∴点C（2，4）是点A.B的融合点。..…3分 （2）①由融合点定义知x=

3t，得t=3x-3....4分 3又∵y=

0(2t3)3y3，得t=...….5分 323y3，化简得y=2x-1.……6分 2∴3x-3=

②要使△DTH为直角三角形，可分三种情况讨论：

（Ⅰ）当∠THD=90°时，如图1所示，设T（m，2m-1），则点E为（m，2m+3）.

yET1x1l由点T是点D，E的融合点，可得m=

OHD

m3(2m3)0或2m-1= 3333，∴点E1（，6）.…7分 22解得m=

EyTxl（Ⅱ）当∠TDH=90°时，如图2所示，则点T为（3，5）. 由点T是点D，E的融合点，可得点E2（6，15）。.……8分 （Ⅲ）当∠HTD=90°时，该情况不存在。……9分 （注：此类情况不写不扣分） 综上所述，符合题意的点为E1（

OHD

3，6），E2（6，15）. ……10分 24.(2019·宁波)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.

(1)如图1,在△ABC中,AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD上的点.求证:四边形ABEF是邻余四边形;

(2)如图2,在5×4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F在格点上;

(3)如图3,在(1)的条件下,取EF中点M,连接DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N为AC的中点,DE＝2BE,求邻余线AB的长.

解：(1)∵AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD⊥BC,∴∠ADB＝90°,∴∠DAB+∠DBA＝90°, ∴∠FAB与∠EBA互余.∴四边形ABEF是邻余四边形; (2)如图所示,四边形ABEF即为所求.(答案不唯一)

(3)∵AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,∴BD＝CD,∵DE＝2BE,∴BD＝CD＝3BE,∴CE＝CD+DE＝5BE.∵∠EDF＝90°,M为EF的中点,∴DM＝ME.∴∠MDE＝∠MED.∵AB＝AC,∴∠B＝∠C,∴△DBQ∽△ECN,∴

QBBD3,∵QB＝3,∴NC＝5,∵AN＝CN,∴AC＝2CN＝10,∴AB＝AC＝10. NCCE5

5.（2019·金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝－（x－2）2＋m＋2的顶点．

（1）当m＝0时，求该抛物线下放（包括边界）的好点个数． （2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．

（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．

yCPBxOA

解：（1）当m＝0时，二次函数的表达式为y＝－x2＋2，画出函数图象（图1）， ∵当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝1； ∴抛物线经过点（0，2）和（1，1）．

∴好点有：（0，0），（0，1），（0，2）．（1，0）和（1，1）共5个．

yCPxO图1AO图2AxO图3EAyPBCyBPFxBC

（2）当m＝3时，二次函数的表达式为y＝－（x－3）2＋5，画出函数图象（图2）， ∵当x＝1时，y＝1；当x＝4时，y＝4；

∴抛物线上存在好点，坐标分别是（1，1）和（4，4）． （3）∵抛物线顶点P的坐标为（m，m＋2）， ∴点P在直线y＝x＋2上．

由于点P在正方形内，则0＜m＜2． 如图3，点E（2，1），F（2，2）．

∴当顶点P在正方形OABC内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF有交点（点F除外）． 当抛物线经过点E（2，1）时，－（ 2－m）2＋m＋2＝1， 513513，m2＝（舍去）． 22当抛物线经过点F（2，2）时，－（ 2－m）2＋m＋2＝2， 解得m1＝1，m2＝4（舍去）．

解得m1＝513＜m＜1时，点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点． 26.（2019·达州）箭头四角形 模型规律

如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B. 因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC=∠A+∠C+∠B”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”. 模型应用

（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________

∴当.

②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC=120°∠BAC=50°，则∠BFC=__________.

③如图4，BO1、CO2分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i=1，2，3，…，2017，2018），它们的交点从上到下依次为O1，O2，O3，…，O2018. 已知∠BOC=m°，∠BAC=n°，则∠BO1000C=______度

（1）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC=CD ，∠BCD=2∠BAD. O是四边形ABCD内的一点，且OA=OB=OD. 求证：四边形OBCD是菱形.

解：（1）①∵∠A+∠B+∠C=，∠D+∠E+∠F= ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2

②∵∠BEC=∠A+∠ABC+∠ACB ∠BFC=∠A+∠BEC=120°∠BAC=50°

11∠ABC+∠ACB 22∴

1111∠BEC=∠A+∠ABC+∠ACB 222211∠ABC+∠ACB 22∴60°=25°+

∴

11∠ABC+∠ACB=35° 2211∠ABC+∠ACB 22∴∠BFC=∠A+

＝50°＋35° ＝85°

∴∠BFC＝85° ③

10001019mn 20192019（2）

7.(2019·枣庄)对于实数a、b，定义关于的一种运算：ab＝2a+b.例如34＝2×3+4＝10. (1)求4(－3)的值；

(2)若x(－y)＝2，(2y)x＝－1，求x+y的值. 解：(1)根据题意得：4(－3)＝2×4+(－3)＝5.

(2)∵x(－y)＝2，(2y)x＝－1,∴2x+(－y)＝2,2×2y+x＝－1,解这个二元一次方程组,得,x＝

74,y＝,99∴x+y＝

1 3.

8.（2019·济宁） 阅读下面材料：

如果函数y＝f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2， （1）若x1＜x2，都有f(x1) ＜f(x2)，则称f(x)是增函数； （2）若x1＜x2，都有f(x1) ＞f(x2)，则称f(x)是减函数． 例题：证明函数f(x)＝

6(x＞0)是减函数． x666x6x16x2x1＝2. x1x2x1x2x1x2证明：设0＜x1＜x2，f(x1) －f(x2)＝

∵0＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1x2＞0．

6x2x16∴＞0，即f(x1) — f(x2)＞0．∴f(x1) ＞f(x2)，∴函数f(x)＝(x＞0)是减函数．

x1x2x根据以上材料，解答下面的问题：

1171f110,f22 已知函数fx2x（x＜0），22412x（1）计算：f(－3)＝________，f(－4)＝________； （2）猜想：函数fx1x（x＜0）是________函数（填“增”或“减”）； 2x（3）请仿照例题证明你的猜想． 解：

（1）f3132326163 ,f4429164（2）增；

（3）证明：设x1＜x2＜0，

111x22x121x1x2 f(x1) －f(x2)＝2x12x222x1x222xxxxxx121212x2x1x2x1xx2212x2x12

2

x2x1x2x11xx2212．

∵x1＜x2＜0，∴x2—x1＞0，x1x2＞0，x2＋x1－1＜0， ∴

x2x1x2x11x12x22＜0，即f(x1)－f(x2)＜0．∴f(x1) ＜f(x2)，∴函数fx1x是增函数． x29. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.