光泽县二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

2（a－x），x＜1若f（－6）＋f（log6）＝9，则a的值为（ 1． 已知函数f（x）＝log22x，x≥1

A．4 B．3

{)）

C．2 A．1

B．2

C．3

D．1

）

D．4

2． 若曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（

3． 高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ A．720B．270C．390D．300

4． 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（ A．akm

B．

akm

）

D．

akm

）

C．2akm

）

5． 已知 m、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n

B．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β

C．若m⊥α，n⊥α，则 m∥nD．若 m∥α，m∥β，则 α∥β　

6． 函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），若存在φ∈（数m的取值范围是（ A．（　　

7． 复数z=

（其中i是虚数单位），则z的共轭复数=（

D．﹣ +i

）

）

）

]

C．（

）

D．（

]，

），使f（sinφ）=f（cosφ），则实

）B．（，

A．﹣iB．﹣﹣iC． +i

11238． 设a，b为正实数，22，(ab)4(ab)，则logab=（

abA.0

B.1　　

C.1

D.1或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力.

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9． △ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量

，若

A．

B．

C．

，则角B的大小为（ D．

）

）

，

10．等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（ A．1

B．2

C．3

D．4

11．已知曲线C1：y=ex上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（ A．1

B．

C．e﹣1

D．e+1

）

12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A.7 B.8C. 9D. 10

【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是循环语句循环终止的条件.

二、填空题

13．在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5　

，CD=5，BD=2AD，则AD的长为　　．第 2 页，共 16 页

14．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若6a=4b=3c，则cosB=　　．15．设xR，记不超过x的最大整数为[x]，令xx[x].现有下列四个命题: ①对任意的x，都有x1[x]x恒成立；②若x(1,3)，则方程sin2xcos2[x]1的实数解为6；

31③若an（nN），则数列an的前3n项之和为n2n；

223④当0x100时，函数f(x)sin[x]sin22nx1的零点个数为m，函数g(x)[x]xx1的3零点个数为n，则mn100.

其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）

【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

16．AA1=2cm，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB=AD=4cm，则点A1到平面AB1D1的距离等于　　　　　　cm．　

17．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是　　　　　　．18．设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为________．

1818 0792 4544 1716 5809 7983 86196206 7650 0310 5523 05 0526 6238

【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想．

三、解答题

19．某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下：甲的成绩乙的成绩第一次8275第二次8790第三次8691第四次8074第五次9095（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由；（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．　

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20．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中实数a的值；

（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；

（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

21．衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名后按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

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22．已知函数f（x）=xlnx，求函数f（x）的最小值．

23．已知椭圆E：上．

+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点（，）在椭圆E

（1）求椭圆E的方程；

（2）设过点P（2，1）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点恰好为点P，求直线l的方程．　

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24．（本题满分12分）设向量a(sinx,3(sinxcosx))，b(cosx,sinxcosx)，xR，记函数2f(x)ab.

（1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A)1，a2，求ABC面积的最大值.2第 6 页，共 16 页

光泽县二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】

【解析】选C.由题意得log2（a＋6）＋2log26＝9.即log2（a＋6）＝3，

∴a＋6＝23＝8，∴a＝2，故选C.2． 【答案】A

【解析】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x2+bx+1，∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，

∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b，即a=1，b=0．∴a+b=1．故选：A．

【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．　

3． 【答案】C

解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人，首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；所求方案有：故选：C．4． 【答案】D

【解析】解：根据题意，

△ABC中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，∵AC=BC=akm，

∴由余弦定理，得cos120°=解之得AB=故选：D．

akm，

akm，

，

+

+

=390．

即灯塔A与灯塔B的距离为

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【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A与灯塔B的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．　

5． 【答案】C

【解析】解：对于A，若 m∥α，n∥α，则 m与n相交、平行或者异面；故A错误；对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则 α与β可能相交，如墙角；故B错误；对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到 m∥n；故C正确；对于D，若 m∥α，m∥β，则 α与β可能相交；故D错误；故选C．

【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．　

6． 【答案】A

【解析】解：∵函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），∴函数f（x）关于x=m对称，若φ∈（

，

），

则sinφ＞cosφ，

则由f（sinφ）=f（cosφ），则即m=当φ∈（则＜

，

=m，

=

（sinφ×

∈（，

+，

cosαφ）=），

sin（φ+

）

），则φ+

）＜

sin（φ+

，

则＜m＜故选：A

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【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．　

7． 【答案】C【解析】解：∵z=∴=故选：C．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．　

8． 【答案】B.

．

=

，

11ab2222【解析】(ab)4(ab)(ab)4ab4(ab)，故

abab2323(ab)24ab4(ab)3111184(ab)8ab2，而事实上ab2ab2，22(ab)(ab)abababab∴ab1，∴logab1，故选B.9． 【答案】B【解析】解：若

，

a+c）=0，

a+c）=0，

则（a+b）（sinB﹣sinA）﹣sinC（化为a2+c2﹣b2=﹣∴cosB=

∵B∈（0，π），∴B=故选：B．

【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，是一道基础题．　

10．【答案】B

【解析】解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．　

11．【答案】C

，

ac，

=﹣

，

由正弦定理可得：（a+b）（b﹣a）﹣c（

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【解析】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：∴0＜1+ln（x2﹣m）≤∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤

，

，∴

．

=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，

∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．

化为m≥x﹣ex﹣e，x＞m+．

令f（x）=x﹣ex﹣e，则f′（x）=1﹣ex﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．　

12．【答案】A

【解析】运行该程序，注意到循环终止的条件，有n10，i1；n5，i2；n16，i3；n8，i4；n4，i5；n2，i6；n1，i7，到此循环终止，故选 A.

二、填空题

13．【答案】　5　．

【解析】解：如图所示：延长BC，过A做AE⊥BC，垂足为E，∵CD⊥BC，∴CD∥AE，∵CD=5，BD=2AD，∴在RT△ACE，CE=由

得BC=2CE=5

，

=

=10，

，解得AE==

，

=

，

在RT△BCD中，BD=则AD=5，故答案为：5．

【点评】本题考查平行线的性质，以及勾股定理，做出辅助线是解题的关键，属于中档题．　

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14．【答案】　

　．

【解析】解：在△ABC中，∵6a=4b=3c∴b=

，c=2a，

=

=

．

由余弦定理可得cosB=故答案为：

．

【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属于基础题．　

15．【答案】①③

【解析】对于①，由高斯函数的定义，显然x1[x]x，①是真命题；对于②，由sin2sin2xsin2[x]化为sin2(x1)sin21，方程无解；当2x3 时，0x21，0sin(x2)sin1，

此时sin2sin2x1cos2[x]，即sin2xsin2[x].当1x2 时，0x11，0sin(x1)sin1，此时

xcos2[x]1得，

xsin2[x]化为sin(x2)sin2，所以x22或x22，即x4或x，所以原方

n123程无解.故②是假命题；对于③，∵an（nN），∴a10，a20，a31，

3333143n13n，a41，…，a3n1[n]n1a[n]n，所以数列an的前3n项之和3n333331为3[12(n1)]nn2n，故③是真命题；对于④，由

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16．【答案】　

【解析】解：由题意可得三棱锥B1﹣AA1D1的体积是三角形AB1D1的面积为4则h=

=，

，

，设点A1到平面AB1D1的距离等于h，则

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故点A1到平面AB1D1的距离为故答案为：

．

．

17．【答案】　50π　．

【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：所以球的半径为：故答案为：50π．

【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．　

18．【答案】19

【解析】由题意可得，选取的这6个个体分别为18,07,17,16,09,19，故选出的第6个个体编号为19．

；则这个球的表面积是：

=50π．

，

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）解法一：依题意有

，

答案一：∵答案二：∵

∴从稳定性角度选甲合适．

乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．

（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．

解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为；乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为． 所以选乙合适．

（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．

从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况．恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况．

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∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率．

【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．　

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得：10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）=1，解得a=0.03．

（Ⅱ）由频率分布直方图得到平均分：

=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74（分）．

（Ⅲ）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A，B，数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F，若从数学成绩在[40，50）与[90，100）两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有：

（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15个，如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内，则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，

记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，

则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共7个，

所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率P=图和列举法的合理运用．　

21．【答案】（1）3,2,1；（2）【解析】111]

试题分析：（1）根据分层抽样方法按比例抽取即可；（2）列举出从名志愿者中抽取名志愿者有10种情况，其中第组的名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有种，进而根据古典概型概率公式可得结果. 1

．

【点评】本题考查频率和概率的求法，二查平均分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方

7 .10第 14 页，共 16 页

（2）记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3，第4组的2名志愿者为B1,B2，则从5名志愿者中抽取2名志愿者有(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,A3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)，共10种，其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，

(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)，共7种，所以第4组至少有一名志愿都被抽中的概率为

考点：1、分层抽样的应用；2、古典概型概率公式.22．【答案】

【解析】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f′（x）=1+lnx令f′（x）=1+lnx=0，可得

∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0∴

时，函数取得极小值，也是函数的最小值

=

=﹣．

7.10∴f（x）min=

【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．　

23．【答案】

【解析】解：（1）由题得=解得a2=8，b2=4．∴椭圆方程为：

．

，

=1，又a2=b2+c2，

（2）设直线的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），∴两式相减得

，

=1，

=0，

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∵P是AB中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，代入上式得：4+4k=0，解得k=﹣1，∴直线l：x+y﹣3=0．

=k，

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、斜率计算公式、中点坐标坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　

24．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等.

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