概率试题4

1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））

佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm)分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm)分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179. (Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；

(Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过170cm的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过178cm的人数为X,求X的分布列和数学期望.

2、（广州市2014届高三1月调研测试）

3排球队 篮球队

图4

空气质量指数PM2.5 (单位:μg/m)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：

PM2.5日均浓度 0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 空气质量类别 优 良 ＞250 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图5所示．

（1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数； （2）在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良

的天数，求X的分布列及数学期望．

3 2 0 4 5 5 6 4 7 6 9 7 8 8 0 7 9 1 8 0 9 图5

1

3、（增城市2014届高三上学期调研）

在一个盒子里装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品，1枝三等品.

（1）从盒子里任取3枝恰有1枝三等品的概率多大？；

（2）从盒子里任取3枝，设为取出的3枝里一等品的枝数，求的分布列及数学期望. 4、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）

盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数i,i,2,2,其中i是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．

（1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件B “在四次试验中，至

少有两次得到虚数” 的概率；

（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为a,b，求随机变量ab的分布列与数学

期望E.

5、（惠州市2014届高三第三次调研考）

甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为

2221，乙队中3人答对的概率分别为,,，3332且各人回答正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分． （1）求随机变量的分布列和数学期望；

（2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．

2

6、（揭阳市2014届高三学业水平考试）

根据空气质量指数AQI（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:

AQI（数值） 空气质量级别 空气质量类别 050 51100 101150 151200 201300 300 一级 二级 三级 四级 五级 六级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 空气质量类别颜色 绿色 黄色 橙色 红色 紫色 褐红色 某市2013年10月1日—10月30日，对空气质量指数AQI进行监测,获得数据后得到如图（4）的条形图:

（1）估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中 度污染的概率；

天数（2）在上述30个监测数据中任取2个,设为空气

10质量类别颜色为紫色的天数,求的分布列.

6 4 2 0一级二级三级四级五级六级 图（4） 7、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）

2013年2月20日,针对房价过高,常务会议确定五条措施(简称“国五条”).为此,记者对

某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查,随机抽取了60人,作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图),同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表):

月收入(百元) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55)

[55,65) 赞成人数 8 7 10 6 2 8空气质量级别[65,75) 1

(I)试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入;

(Ⅱ)若从月收入(单位:百元)在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查,记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.

3

8、（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估） 一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：

学生 语文（x分） 英语（y分） S1 87 86 S2 90 S3 91 S4 92 92 S5 95 94 （1） 根据表中数据，求英语分y对语文分x的线性回归方程；

（2） 要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以表

示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量的分布列及数学期望E.

（附:线性回归方程ybxa中，b(xx)(yy)iii1n(xx)ii1n,aybx,其中x,y为样本平

2ˆ,aˆ的值的结果保留二位小数.） 均值，b 9、（中山市2014届高三上学期期末考试）

某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．

（I）估计这次测试数学成绩的平均分；

（II）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为，求的分布列及数学期望E．

4

10、（珠海市2014届高三上学期期末）

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。某试点城市环保局从该市市区2013年上半年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如右下图茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）。

（1）在这15天的PM2.5日均监测数据中，求其中位数； （2）从这15天的数据中任取2天数据，记表示抽到PM2.5监测数

据超标的天数，求的分布列及数学期望；

（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年

（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.

11、（珠海一中等六校2014届高三第三次联考）

平安汽车租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

(Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

5

12、（东莞市2014届高三上学期期末调研测试）

某校有甲、乙两个研究性学习小组，两组的人数如下：

现采用分层抽样的方法，从甲、乙两组抽取3名同学进行展示交流。 （1）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；

（2）记X为抽取的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望。

6

概率答案

1、【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. „„4分 (Ⅱ)排球队中超过170cm的有4人,超过178cm的有3人, 篮球队中超过170cm的有5人,超过178cm的有2人, 所以X的所有可能取值为0,1,2则„„„„„„„„5分

11C1C3, P(X0)13120C4C51111C1C2C3C311, PX11120C4C511C3C6,„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 PX212120C4C5排球队 篮球队

3 2 18 1

9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8

8 15 9

所以X的分布列为

X P 0 3 201 11 202 6 20 „„„„„„„„11分 所以X的数学期望EX031162312.„„„„„„„„„12分 202020202、解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为

优或良的天数为5天．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1分

所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．„2分

（2）X的取值为0，1，2，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

02C5C103因为PX0，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 2C1571C1105C10PX12，„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分

C152120C5C2PX2210．„„„„„„„„„„„„„„9分

C1521所以X的分布列为：

1 0 310 P 21731022所以数学期望EX012．

721213542C211 3、解.（1）P536542C6321（2）=0,1,2,3,

X 2 2 21„„„„10分

7

311C3C3C329C32C319P(=0) 3，P(=1) ，P(=0) ， 33C620C620C6203C31P(=0) 3

C620所以的分布列是

 P 0 1 2 3 1 209 209 201 20 10分 E()=0×

19913+1×+2×+3×= 202020202214、解：（1）P(A)，

425110101411113 P(B)1P(B)1C4()()C4()()1. …… 5分

22221616（2）a,b,的可能取值如下左表所示：

 ab i i 2 2  i i 2 2 1 1 2 2 P 1 1 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 418141,P(=2),P(=4). …9分 由表可知：P(=1)11621所以随机变量X的分布列为（如上右表）

1119所以E()=124. …………………………12分

42445、解：（1）解法一：由题意知，的可能取值为0，1，2，3，且 „„„„1分

321 1 42 1 24 1 42122201，P(1)C3P(0)C311，„„„„3分

339327

822432．„„„„5分 P(2)C321，P(3)C3339327所以的分布列为

23 P 0 1 2 3 1 272 94 98 27 8

的数学期望为E012481232．„„„„7分 279927解法二：根据题设可知，~B3，，„„„„3分 因此的分布列为

2322P(k)C133k3k3k2k1，2，3．„„5分 C3k0，3k3因为~B3，，所以E32322．„„„„7分 3（2）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分

乙得0分”这一事件，所以ABC2D，且C，D互斥，又„„„„8分

2221112111110P(C)C3214，„10分

33332332332321114P(D)C5，„„„„11分

33323333由互斥事件的概率公式得P(AB)P(C)P(D)104343455． 43332436、解：（1）由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为6, -------------1分 所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率 P61.---------------------4分 305（2）随机变量的可能取值为0,1,2,-----------------------------------------------5分

2C2665则P02,-----------------------------------------------------------7分

C308711C4C26104,----------------------------------------------------------9分 P12C304352C42-------------------------------------------------------11分 P22C30145 所以的分布列为:

 P 0 65 871 104 4352 2 1457、解：（Ⅰ）这60人的月平均收入为： (200.015300.015400.025500.02600.01)1043.5（百元）（5分）

（Ⅱ）根据频率分布直方图可知道：

„„„„„„（7分）

9

„„（12分）

„„„„„„（14分）

8、【解析】(1) x y5879091929591, （1分）

5929490 ,（2分）

8652i(xx)i15iii1(4)2(1)20214234,(xx)(yy)(4)(4)(1)(1)0(1)124435,

b35ˆybx1.03, a 73901.03913.34故回归直线方程为y1.03x3.73 (6分) (2)随机变量的可能取值为0,1,2.

211C2C2C12P(0)2; （7分） P(1)22;（8分）

C46C432C21P(2)2. （9分）

C46故X的分布列为

 P 0 1 2 1 62 31 6121E0121. （12分）

6369、解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：

10

45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………（3分） 众数的估计值为75分

……………（5分）

所以，估计这次考试的平均分是72分． ……………（6分）

2（II）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是C615，

有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），

2这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是C46，

两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率P62. ……………（8分） 155随机变量的可能取值为0、1、2、3，则有．

k∴P(k)C3()k()3k,k0,1,2,3

2535∴变量的分布列为：

 0 1 2 3 P 8 12536 12554 12527 125 …………（10分）

E083654546123 1251251251255 …………（12分）

解法二. 随机变量满足重复试验,所以为二项分布, 即~B(3,)………（10分）

2526Enp3 …………（12分）

5510、解：(1)由茎叶图可得中位数是45

(2) 依据条件，服从超几何分布：

其中N15,M5,n3，的可能值为0,1,2

2kC5kC10由p(k)， 2C152C50C103得p(0)， 2C157110C5C10C52C10102， ， p(1)p(2)22C1521C1521所以的分布列为：

 0 1 2 3102 7212131022E012

721213P (3)依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为p102 153 11

一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则～B(360,)

23E3602240 3一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级

11、解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：

36003000 =12，

50所以这时租出了88辆车.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

（2）设每辆车的月租金定为x元，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 则租赁公司的月收益为：f（x）=（100－x3000）（x－150）－x3000×50，整理得：

50501x2f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.

5050所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050. „„„„„11分

即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元. 12、解：（1）依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 (57):(33)2:1， 1分

所以，按照分层抽样的方法，从甲组抽取的学生人数为

232；从乙组抽取的3学生人数为31． „„„2分 设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A， „„„3分

11C7C535 则P(A)， 2C126613 故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为

35． „„„„5分 66 （2）随机变量X的所有取值为0,1,2,3． „„„„6分

11111C52C3C7C5C3C52C3515P(X0)21,P(X1),2121C12C666 C12C6C12C4

1112121C7C5C3C7C314C7C37P(X2),P(X3), „9分212121C12C6C12C633C12C4

所以，随机变量X的分布列为:

X P 数学期望E(X)00 5 661 15 442 3 7 4414 335151475123． „„„12分 33443

12