２ 中等数学 广——“ ｛ＩＭＯ｝ 中国队获第５５届ＩＭＯ团体总分第一名 ｛快讯｝ｉ一 ， ．、，．，．第５５届国际数学奥林匹克（ＩＭＯ）于２０１４年７月３日至１２日在南非开普敦举行，来自１０１个国家 及地区的５６０名学生参加了这次比赛。中国队以２０１分获得团体总分第一名。 中国队的成员如下： 领队姚一隽 复旦大学 观察员冷岗松上海大学 队员 高继扬浦鸿铭周韫坤齐仁睿谌澜天黄一山副领队李秋生 中国人民大学附属中学 上海理工大学 ４２分 ３９分 ３５分 ３５分 ２９分 ２２分 １９２分１７２分 金牌 金牌 金牌 金牌 金牌 银牌 张思汇上海市上海中学（高一）吉林省东北师范大学附属中学 广东省深圳中学（高二） 山东省济南市历城二中 湖南省湖南师范大学附属中学 湖北省武汉市武钢三中（高一） ２．美国１９３分 １７５分 ３．中国７．韩 国获得团体总分前八名的队及其总分如下： １．中 国２０１分 ５．日 本１７７分 ６．乌克兰、 ４．俄罗斯８．新加坡１９１分 １６１分 第５ ５届ＩＭ０试题 １．设０。＜ｔ／，，＜…为无穷正整数数列．证明： ＰＡＢ＝／ＢＣＡ，且 ＣＡＱ＝ ＡＢＣ， 存在唯一的整数ｎ（ｎ≥１），使得 。 ＜ Ｄ ＜＿■—一≤。…１≤０ ＋・ 点 、Ⅳ分别在直线ＡＰ、ＡＱ上，使得Ｐ为ＡＭ的 中点，且Ｑ为ＡＮ的中点．证明：直线ＢＭ与ＣＮ 的交点在△ＡＢＣ的外接圆上．（格鲁吉亚供题） 供题） ５．对每一个正整数凡，开普敦银行均发行面 １ １ （奥地利２．设／／，＞２为整数．考虑由ｎ 个单位正方形 Ｉ组成的一个凡×凡棋盘．若每一行和每一列上均恰 有一个“车”，则称放置ｎ枚棋子车的方案为“和 平的”．求最大的正整数ｋ，使得对于任何一种和 平放置ｎ个车的方案中，均存在一个ｋ×ｋ的正方 形，其ｋ 个单位正方形里均没有车． （克罗地亚供题） ３．在凸四边形ＡＢＣＤ中，已知 ＡＢＣ＝ 值为 的硬币．给定总额不超过９９＋÷的有限多 ｎ 厶 枚这样的硬币（面值不必两两不同）．证明：可以 把它们分为至多１００组，使得每一组中硬币的面 值之和最多为１． （卢森堡供题） ６．若平面上的一族直线中没有两条直线平 行，没有三条直线共点，则称其为“处于一般位 置”．一族处于一般位置的直线将平面分割成若 干区域，其中面积有限的区域称为这族直线的 “有限区域”．证明：对于充分大的ｎ及任意处于 一ＣＤＡ＝９０。，点日是Ａ向ＢＤ引的垂线的垂足， 点Ｓ、 分别在边ＡＢ、ＡＤ上，使得日在△ＳＣＴ的 内部，且 ＣＨＳ一 ＣＳＢ＝９０。。 般位置的／７，条直线，均可将其中至少／１，条直线 染成蓝色，使得每一个有限区域的边界均不全为 蓝色的． ＴＨＣ一 ＤＴＣ＝９０。． 证明：直线ＢＤ与△ＴＳＨ的外接圆相切． （伊朗供题） ４．设点Ｐ、Ｑ在锐角△ＡＢＣ的边ＢＣ上，满足 【注】若证明是ｃ （而不是√ｎ）的情形，可 根据常数ｃ的值给分． （奥地利供题）
