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第二章导数及其应用
§2导数的概念及其几何意义 2.1导数的概念~2.2导数的几何意义
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.设函数f(x)可导,则lim
A.f'(1) C.f'(1)
31
f(1+3𝛥x)-f(1)
3𝛥x
Δ𝑥→0
等于()
B.3f'(1) D.f'(3)
答案A 解析lim
f(1+3𝛥x)-f(1)
3𝛥x
2
Δ𝑥→0
=f'(1).
12
2.已知函数f(x)=,且f'(m)=-,则m的值等于()
𝑥
A.±2 答案A 解析lim
2
f(m+𝛥x)-f(m)
𝛥x2
1
Δ𝑥→0
B.2
22
-𝑚+Δ𝑥𝑚
C.-2 D.-4
=𝑙𝑖𝑚
𝛥x→0
Δ𝑥
=-𝑚2,则-𝑚2=-2,m2=4, 解得m=±2.
3.已知曲线y=f(x)=-2x2-2上一点P1,-2,则在点P处的切线的倾斜角为() A.30° 答案C 5
1
5
B.45° C.135° D.165°
解析∵点P1,-2在曲线y=f(x)=-2x2-2上,∴=
-(1+Δ𝑥)2-2+×12+2
Δ𝑥12
12
12
1𝑓(1+Δ𝑥)-𝑓(1)
Δ𝑥
=-1-Δx,
令Δx趋于0,则y=-x2-2在x=1处的导数为f'(1)=-1,即函数y=-x2-2在点P处的切线斜率
2
2
1
1
为-1.
又倾斜角的取值X围是[0°,180°), ∴在点P处的切线的倾斜角为135°.
4.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,则() A.f'(x0)>0 B.f'(x0)=0 C.f'(x0)<0 D.f'(x0)不存在 答案C - 1 - / 6
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解析由导数的几何意义,可得f'(x0)=-2<0.
5.设曲线y=f(x)=ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直,则a等于() A.2 答案B 解析由y=ax2,得Δy=a(2+Δx)2-22a=4aΔx+a(Δx)2,则=4a+aΔx,令Δx趋于0,∴f'(2)=4a.又y=ax2
Δ𝑥Δ𝑦
B.- 16
1
C.
2
1
D.-1
在点(2,4a)处的切线与直线4x-y+4=0垂直,∴4a=-,∴a=-.
4
16
11
6.若点(0,1)在曲线f(x)=x2+ax+b上,且f'(0)=1,则a+b=. 答案2 解析∵f'(0)=lim
f(0+𝛥x)-f(0)
𝛥x
Δ𝑥→0
=𝑙𝑖𝑚(a+Δx)=a=1,又f(0)=1,即b=1,∴a+b=2.
𝛥x→0
𝛥y
7.在曲线y=x2+2的图象上取一点(1,3)及附近一点(1+Δx,3+Δy),则lim答案2 解析∵Δ𝑦Δ𝑥
Δ𝑥→0𝛥x
=.
=
(1+Δ𝑥)2+2-(12+2)
Δ𝑥
=2+Δx,
∴lim(2+Δx)=2.
Δ𝑥→0
8.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则=.
𝑎
𝑏
答案2 解析由题意知a+b=3,
又f'(1)=lim
a(1+𝛥x)2+𝑏-(𝑎+𝑏)
𝛥x
Δ𝑥→0
=2a=2,则a=1,b=2,故a=2.
2𝑥
b
9.已知直线x+y=b是函数f(x)=ax+的图象在点(1,m)处的切线,则a+b=,m=. 答案53 解析由题意知m=a+2,1+m=b,
因为f'(1)=lim
f(1+𝛥x)-f(1)
𝛥x
Δ𝑥→0
=𝑙𝑖𝑚a-1+Δ𝑥=a-2,所以曲线f(x)在点(1,m)处的切线斜率为a-2,
𝛥x→0
2
由a-2=-1,得a=1,m=3,b=4,a+b=5. 10.求函数y=f(x)=x+在x=1处的导数.
𝑥2
解𝑓(1+Δ𝑥)-𝑓(1)Δ𝑥=
(1+Δ𝑥)+
2
-1-21+Δ𝑥
Δ𝑥
=1+Δ𝑥,令Δx趋于0,可知y=x+𝑥在x=1处的导数为f'(1)=-1.
Δ𝑥-12
11.求曲线f(x)=x2在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 解由导数定义可得f'(1)=2,
∴曲线f(x)=x2在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,则它与两坐标轴的交点分别为A(0,-1),B
12
,0,
1
∴S△AOB=2OA·OB=4.
- 2 - / 6
1
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12.已知直线l1为曲线y=f(x)=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2,求直线l2的方程. 解𝑓(1+Δ𝑥)-𝑓(1)Δ𝑥
=
(1+Δ𝑥)2+(1+Δ𝑥)-2-12-1+2
Δ𝑥
=Δx+3,令Δx趋于0,可知y=x2+x-2在x=1处的导数为f'(1)=3.
2
设直线l2与曲线y=x2+x-2相切于点P(x0,𝑥0+x0-2),同理可得f'(x0)=2x0+1,
2
则直线l2的方程为y-(𝑥0+x0-2)=(2x0+1)(x-x0). 因为l1⊥l2,所以3(2x0+1)=-1,解得x0=-3,所以直线l2的方程为3x+9y+22=0.
关键能力提升练
13.已知limA.-4 答案D f(2𝛥x+1)-f(1)
2𝛥x
Δ𝑥→0
2
=-2,则y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为()
C.2
D.-2
B.4
f(2𝛥x+1)-f(1)
2𝛥x
解析根据题意,因为lim
Δ𝑥→0
=-2,即f'(1)=-2,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率
k=-2.故选D.
14.如图,函数y=f(x)的图象在点P(2,y)处的切线是l,则f(2)+f'(2)等于()
A.-4 B.3 C.-2 答案D 解析由图象可得函数y=f(x)的图象在点P处的切线l与x轴交于点(4,0),与y轴交于点(0,4),则可知l:x+y=4,∴f(2)=2,f'(2)=-1,∴f(2)+f'(2)=1,故选D.
15.若曲线y=f(x)=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值X围是()
𝑥1
D.1
A.(-∞,-1) C.(-∞,1) 答案C 1
B.(-1,1) D.(1,+∞)
解析y=x+𝑥上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率为k=f'(x0)
=lim
(x0+𝛥x)+
11
-(x0+)x0+𝛥xx0
Δ𝑥→0
1
𝛥x
1
=𝑙𝑖𝑚1-𝑥2+𝑥
𝛥x→0
0
0Δ𝑥
=1-𝑥2<1,
0
即k<1.
16.曲线y=f(x)=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则切线方程为() A.y=9x
- 3 - / 6
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B.y=9x-26 C.y=9x+26
D.y=9x+6或y=9x-26 答案D 32
解析设P(x0,𝑥0-3𝑥0+1),
𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)
Δ𝑥
==
3-3𝑥2+1)(𝑥0+Δ𝑥)3-3(𝑥0+Δ𝑥)2+1-(𝑥00
Δ𝑥
2Δ𝑥+3𝑥(Δ𝑥)2+(Δ𝑥)3-6𝑥Δ𝑥-3(Δ𝑥)23𝑥000
Δ𝑥
2
=3𝑥0+3x0Δx+(Δx)2-6x0-3Δx,
2
令Δx趋于0,则f'(x0)=3𝑥0-6x0=9,
2即𝑥0-2x0-3=0,解得x0=-1或3. ∴点P的坐标为(-1,-3)或(3,1).
∴切线方程为y+3=9(x+1)或y-1=9(x-3),即y=9x+6或y=9x-26.
17.(多选题)下列各点中,在曲线y=f(x)=x3-2x上,且在该点处的切线倾斜角为4的是() A.(0,0) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,1) 答案BC 解析设切点坐标为(x0,y0),
则==
𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)
Δ𝑥
π
,
π
3-2𝑥)(𝑥0+Δ𝑥)3-2(𝑥0+Δ𝑥)-(𝑥00
Δ𝑥
2Δ𝑥+3𝑥(Δ𝑥)2+(Δ𝑥)3-2Δ𝑥3𝑥00
Δ𝑥
2
令Δx趋于0,则f'(x0)=3𝑥0-2=tan4=1,
所以x0=±1, 当x0=1时,y0=-1,
当x0=-1时,y0=1.故选BC.
18.曲线f(x)=x3在点(1,1)处的切线与x轴,直线x=2所围成的三角形的面积为. 答案 38解析∵f'(1)=lim
(1+𝛥x)3-1
𝛥x
Δ𝑥→0
=3,∴曲线f(x)=x3在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2,则切
1
2
8
线与x轴,直线x=2所围成的三角形面积为2×2-3×4=3.
19.若抛物线y=f(x)=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,抛物线在点P的切线恰好过坐标原点,则c的值为. 答案4 解析𝑓(-2+Δ𝑥)-𝑓(-2)Δ𝑥 - 4 - / 6
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=
(-2+Δ𝑥)2-(-2+Δ𝑥)+𝑐-(6+𝑐)
Δ𝑥
=-5+Δx.
令Δx趋于0,则函数y=x2-x+c在x=-2处的切线斜率为-5. ∴切线方程为y=-5x.∴点P的纵坐标为y=-5×(-2)=10, 将P(-2,10)代入y=x2-x+c,得c=4.
20.设P为曲线C:y=f(x)=x2+2x+3上一点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值X围为0,
π4
,则点P的横坐标的取值X围为.
1
答案-1,-2
解析设点P的横坐标为x0,
则==
𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)
Δ𝑥
2-2𝑥-3(𝑥0+Δ𝑥)2+2(𝑥0+Δ𝑥)+3-𝑥00
Δ𝑥
2𝑥0Δ𝑥+2Δ𝑥+(Δ𝑥)2
Δ𝑥
=2x0+2+Δx,
令Δx趋于0,则函数y=x2+2x+3在x=x0处的切线斜率为2x0+2,由题意,得0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤-,
21
∴点P的横坐标的取值X围为-1,-2.
21.在抛物线y=x2上哪一点处的切线平行于直线4x-y+1=0?哪一点处的切线垂直于这条直线? 解y'=lim
(x+𝛥x)2-x2
𝛥x
Δ𝑥→0
1
=𝑙𝑖𝑚(2x+Δx)=2x.
𝛥x→0
设抛物线上点P(x0,y0)处的切线平行于直线4x-y+1=0,
2
则2x0=4,解得x0=2,所以y0=𝑥0=4,即P(2,4),经检验,符合题意. 设抛物线上点Q(x1,y1)处的切线垂直于直线4x-y+1=0,
2
则2x1=-4,解得x1=-8,所以y1=𝑥1=,即Q-8,,经检验,符合题意.
1
1
1
1
1
故抛物线y=x2在点(2,4)处的切线平行于直线4x-y+1=0,在点-8,处的切线垂直于直线4x-y+1=0.
学科素养创新练
22.设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0),若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值. 解∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)3+a(x+Δx)2-9(x+Δx)-1-(x3+ax2-9x-1)=(3x2+2ax-9)Δx+(3x+a)(Δx)2+(Δx)3,
11
∴Δ𝑥=3x2+2ax-9+(3x+a)Δx+(Δx)2, ∴f'(x)=lim
𝛥y
Δ𝑥→0𝛥x
Δ𝑦
=3x2+2ax-9=3
a2a2a2x+3-9-3≥-9-3.
- 5 - / 6
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由题意知f'(x)最小值是-12,∴-9-3=-12,a2=9,∵a<0,∴a=-3.
a2
- 6 - / 6
