图像重建模型中基函数的引入

2012年6月（239-246） CT理论与应用研究

CT Theory and Applications Vol.21, No.2 Jun., 2012

张莉, 刘畅. 图像重建模型中基函数的引入[J]. CT理论与应用研究, 2012, 21(2): 239-246.

Zhang L, Liu C. Basis function approach to computerized tomography[J]. CT Theory and Applications, 2012, 21(2): 239-246.

图像重建模型中基函数的引入

张莉，刘畅

（北京信息科技大学应用数学研究室，北京100101）

摘要：基于理想小区域的图像重建离散化模型以理想小区域代替原来传统意义上的像素格，用理想小区域到射线的距离的函数，来衡量射线穿过理想小区域时投影系数的大小。在此图像重建离散化模型中引入基函数。并将离散图像与基函数卷积得到连续的图像，图像中任一点的值可通过选取合适的基函数得到。本文探讨图像重建中基函数需要满足的条件，并分析讨论几种基函数的实例及其频域特性。

关键词：图像重建；重建模型；基函数；代数迭代

文章编号：1004-4140（2012）02-0239-08 中图分类号：TP301.6 文献标识码：A

在图像处理中，基函数可以作为系统的传递函数，用于图像增强和图像恢复

[1－2]

。在空

域中，原图像f(x,y)通过与传递函数h(x,y)卷积得到处理后的图像g(x,y)相应地，在频域中，f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)通过与传递函数h(x,y)的傅里叶变换H(u,v)卷积得到处理后的图像g(x,y)的傅里叶变换G(u,v)。

在图像增强中，为突出一幅图像的某些信息，或削弱某些不需要的信息，常用频域处理法，使处理后的图像g(x,y)对某种特定的应用来说比原始图像更适用，更适合视觉特性或机器识别系统。在图像恢复中，由处理后的图像g(x,y)和系统函数h(x,y)通过逆卷积得到f(x,y)。

[3]

图像重建的算法最常见的有两种：一种是以投影定理或称Fourier中心切片定理为理

[4]

论基础的滤波反投影重建算法，这种算法要求数据具有完备性；一种是利用迭代原理的代

[5]

数迭代算法。主要有代数迭代方法（Algebraic Reconstruction Technique，ART）及联

[6]

合代数迭代方法（Simultaneous Itetation Reconstruction Technique，SIRT）。与滤波反投影算法相比，迭代重建算法在处理不完全投影数据问题时占优势。且迭代重建算法具有抗噪能力强，适合于不同数据采集模式以及对欠采样扫描数据亦可重建较好质量的图[7－8][9]

。不同的迭代算法对应不同的校正格式，Jiang等给出了在一定条件下传统迭代算像

[10]

法的统一Landweber格式。

在引入基函数的图像重建方法中，变量x和y描述图像点，图像被看作是基函数的线性组合，系数代表离散图像。图像中任一点的值(x,y)都可通过合适的基函数得到。不同基函 收稿日期：2011-12-08。

基金项目：国家自然科学基金项目（60972115）；北京市重点建设学科—应用数学PXM2010_014224_

096185）。

240 CT理论与应用研究 21卷

数的选择可以对应不同的迭代校正格式。

本文探讨图像重建中基函数需要满足的条件，并分析讨论几种基函数的实例及其频域特性。

1 图像重建中基函数的引入

图像重建离散化模型是将重建问题从连续空间转化为离散空间来解决。数字化图像是离散图像，而Beer定理描述的是射线在连续区域上的线性衰减。在离散图像中引入基函数b(x,y)，将离散图像通过卷积变为连续图像，使得Beer定理描述的线积分转化为线性方程，多个投影数据组成一个线性方程组。

1.1 基于理想小区域图像重建离散化模型

基于理想小区域的图像重建离散化模型以理想小区域代替原来传统意义上的像素格。不同于传统的网格的剖分以及类似的方法，用关于理想小区域到射线的距离的函数，来衡量射线穿过理想小区域时衰减系数的大小。

1.2 基函数的引入

[11]

原始函数f(x,y)为目标函数或重建函数。投影gi可写为一个加权的二维积分：

gihi(x,y)f(x,y)dxdy （1）

这里hi(x,y)为加权函数，i1,2,,M，物理上称为响应函数。几何表示如图1。

图1 图像重建中投影的几何图示

Fig.1 Projection measurement geometry of the tomographic problem

每个投影是在宽度为ω的射线束上的积分。第i次测量值由夹角θi和源点到射线的垂直距离ri决定。R为待重建区域的半径。

权重hi(x,y)在射线束内取值较大，在射线束外取值小或为零。若hi(x,y)在射线束外取值为0，式（1）为一个面积分。当射线束宽度为零时，式（1）为一个线积分。这两种情况在物理中通常被认为是理想的响应函数，假定在X射线扫描中响应函数为理想响应函数，从而简化gi的计算。

2期 张莉等：图像重建模型中基函数的引入 241

我们定义线积分L和面积分S如下：

L（f;r,）f(rcosssin,rsincos)ds （2）

r2

S(f;r,,)

r

L(f,t,)dt （3）

2

当ω的值很小时，S可做如下估计：

S(f;r,,)L(f;r,) （4）

式（1）可重写为：

giS(f;ri,i,),i1,2,,M （5）

ˆ可写为基函数b(x,y),j1,N的线性组合： 目标函数fj



fajbj(x,y) （6）

j1

N

ˆ是连续函数，由N个系数a描述。由式（5）和式（6），得到： fj

aS(b,r,,)g,

j

j

i

i

i

j1

N

i1,2,,M （7）

定义M行N列的矩阵P的元素pij为：

pijS(bj,ri,i,) （8）

则式（8）可写成矩阵形式：

Pag （9）

a是N个未知系数aj组成的列向量，g是M个测量值gi组成的列向量。若式（9）中a可求出，图像f(x,y)在任何点(x,y)的值可通过式（6）得到。困难在求MN阶矩阵P的逆。当MN时P不为奇异阵，P的逆不存在。当MN时，为欠定问题，存在无穷解，需要极小化约束求得唯一解。

2 理想基函数的性质[12]

（1）线性无关。基函数集应能够保证一个给定的重建函数对应唯一的重建系数，所以

基函数集中的元素应满足线性无关性。

242 CT理论与应用研究 21卷

（2）投影和反投影计算的有效性。代数迭代算法需多次迭代去趋近最优解。在算法中投影和反投影占据了CPU的大部分空间。因此，选择基函数应能快速有效地投影和反投影进行计算。

（3）高保真的视觉显示。应避免在重建中因基函数带来易被察觉的波动，图像重建后图像质量好坏主要靠视觉来评定。

3 基函数实例

3.1 像素基函数和频域特性

3.1.1 像素基函数[3]

把图像区域分成J个像素。定义

1,j号像素内部,1jJ

（10） bj(r,)

0,其他各点

为基本图像集。这一基本图像集构成一个基本图像矢量b，即

bb1,b2,,bj,,bJ （11）

T

其中各分量由式（10）定义。

任何图像均由基本图像矢量中的各分量经线性组合而成。这样，对任一图像f(r,) 必有实数x1,x2,xJ存在，使

ˆ(r,)xb(r,) （12） f(r,)fjj

j1J

成立。x1,x2,,xJ就是描述图像的参数。下面将指出，这里的xj，也即所说的像素值。 为紧凑起见，引入线性算子Ri。当它施于某一函数f(r,)时计为Rif(r,)，代表f(r,)沿路径i的线积分或投影，即

ˆ(r,)xRb(r,)xr,i1,2,,I （13） piRif(r,)Rifjijjij

j1

j1

J

J

rijRibj(r,) （14）

是基本图像bj(r,)沿射线路径i的线积分。

（10）式做基本图像的优点是：①表达式直观、简单；②非零元素所占比例少，可简

化计算。缺点是，重建后的图像有不连续的边界，图像不光滑，为模型噪声。要减少模型

2期 张莉等：图像重建模型中基函数的引入 243

噪声可以增加像素数目，但这要增加运算工作量。 3.1.2 像素基函数的频域分析



x,y1,

b(x,y)2222 （15）

0,其他

根据以上分析可知，网格剖分其实是在新模型下选取像素基函数。频域分析





2

2

B（u,v）

2

2

b(x,y)e

i2(uxvy)

dxdy

e

22

i2(uxvy)

dxdy





2

ei2uxdxei2vydy

2

1iuiviuiv

(ee)(ee) （16） 42uv

sin(u)sin(v)

2sinc(u)sinc(v)2

uv

取1时，基函数在频域内图形如图2。

图2 像素基函数频域

Fig.2 Pixel basis function in frequency domain

3.2 双线性插值基函数和频域特性 3.2.1 双线性插值基函数[3]

xx0yy0

bx0,y0(x,y) （17） 

244 CT理论与应用研究 21卷

其中，

u10,

u1,1u0(u)

1,01uu1u0,

(x0,y0)代表双线性元（素）中心的坐标，Δ为像素宽度。

这一函数构成一底部为四个像素大小的“金字塔”。整个图像可看成是这些基本函数的

线性组合。

3.2.2 双线性插值基函数的频域分析

xy11,x,y

（18） b(x,y)



0,其他

它的频域分析如下：



B(u,v)





b(x,y)e

i2(uxvy)

dxdy

xy11expi2(uxvy)dxdy



xi2uxy222

1dx1eexpi2vydysinc(u)sinc(v)

-

（19）

取1时，该基函数在频域图形内如图3所示。

图3 双线性插值基函数频域

Fig.3 Bilinear interpolation basis function in frequency domain

2期 张莉等：图像重建模型中基函数的引入 245

通过选取在计算点模型下的两个基函数：像素基函数和双线性插值基函数，通过对该函数的频域分析可以得到变化缓慢的像素基函数图形，双线性插值基函数在频域内图形变化剧烈，数值主要集中在中心位置，高频少，从而得到的图像更加平滑。

4 结论

本文讨论了基于理想小区域的图像重建离散模型下引入的基函数。基于理想小区域的图像重建离散化模型，用理想小区域到射线的距离描述理想小区域对射线衰减的权重，以理想小区域代替原来传统意义上的像素格。

这种基函数方法对应着一般意义下的插值方法，不同基函数的选择可以对应着不同的迭代校正格式，在新的模型下可以统一表达为Landweber格式，所对应的范数表达意义清楚，它提供了对图像重建问题的一个新的观察角度，值得进一步的研究。

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Basis Function Approach to Compu-

terized Tomography

ZHANG Li, LIU Chang

Division of Applied Mathematics, Beijing Information Science

& Technology University, Beijing 100101, China

Abstract: We have a image reconstruction of the discrete model that based on the ideal small area and a ideal small area replaces the original pixel grid in the traditional sense. The function about the distance from the ideal small area to the ray, to measure the size of the attenuation coefficient when the radiation passes through the ideal small area. In this image reconstruction of the discrete model we introduce the basis function. The discrete image is mapped into continuous image by convolution with a basis function. We discuss the conditions the basis function need to meet and give two basis functions and their frequency properties. Key words: image reconstruction; reconstruction model; basis function; iterative method

作者简介：张莉（1986－），女，北京信息科技大学数学系在读硕士研究生，研究领域为图像重建，Tel：15210663634，E-mail：chiab@163. com；刘畅（1987－），男，北京信息科技大学数学系在读硕士研究生，研究领域为图像重建，Tel：13240739756，E-mail：liuchangnet @yahoo.com.cn。