材料力学习题册答案-第9章压杆稳定
第 九 章 压 杆 稳 定
一、选择题
1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。
A 、弯曲变形消失，恢复直线形状；
B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状；
C 、微弯状态不变；
D 、弯曲变形继续增大。
2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ）
A 、完全消失
B 、有所缓和
C 、保持不变
D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。
A 、长度
B 、横截面尺寸
C 、临界应力
D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。
A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状；
B 、材料，长度和约束条件；
C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状；
D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ）
6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。其柔度为 ( C )
A.60；
B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。
8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。
A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小；
B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大；
C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大；
D 、弹性模量
E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ）
A 、λ≤ P
E
πσ B 、λ≤s
E
πσ
C 、λ≥ P E
π
σ D 、λ≥s
E
π
σ
10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（ C ）
A 、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是；
B 、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是；
C 、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的；
D 、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的； 11、两根材料和柔度都相同的压杆（ A ）
A. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等；
B. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等；
C. 临界应力和临界压力一定相等；
D. 临界应力和临界压力不一定相等；
12、在下列有关压杆临界应力σe 的结论中，（ D ）是正确的。
A 、细长杆的σe 值与杆的材料无关；
B 、中长杆的σe 值与杆的柔度无关；
C 、中长杆的σe 值与杆的材料无关；
D 、粗短杆的σe 值与杆的柔度无关； 13、细长杆承受轴向压力P 的作用，其临界压力与（ C ）无关。
A 、杆的材质
B 、杆的长度
C 、杆承受压力的大小
D 、杆的横截面形状和尺寸
二、计算题
1、 有一长l =300 mm ，截面宽b =6 mm 、高h =10 mm 的压杆。两端铰接，压杆材料为Q235钢，E =200 GPa ，试计算压杆的临界应力和临界力。 解：（1）求惯性半径i
对于矩形截面，如果失稳必在刚度较小的平面内产生，故应求最小惯性半径
mm 732.112
612
1
123min
min ==
=?==
b bh
hb A
I i
（2）求柔度λ
λ=μl /i ，μ=1，
故 λ=1×300/1.732=519>λp =100 （3）用欧拉公式计算临界应力
()
MPa 8.652.1731020ππ2
4
22
2cr =?=
=
λ
σE
（4）计算临界力
F cr =σcr ×A =65.8×6×10=3948 N=3.95 kN
2、一根两端铰支钢杆，所受最大压力KN P 8.47=。其直径mm d 45=，长度mm l 703=。
钢材的E =210GPa ，p σ=280MPa ，2.432=λ。计算临界压力的公式有：(a) 欧拉公式；(b) 直线公式cr σ=461-2.568λ(MPa)。 试 （1）判断此压杆的类型；
（2）求此杆的临界压力；
解：（1） 1=μ 86
21==
P E σπλ 5.624
===d l
i
l μμλ
由于12λλλ<<，是中柔度杆。 （2）cr σ =461-2.568λ
KN A P cr cr 478==σ
3、活塞杆（可看成是一端固定、一端自由），用硅钢制成，其直径d=40mm 伸部分的最大长度l =1m ，弹性模量E=210Gpa ，
1001=λ。
试（1）判断此压杆的类型；（2）确定活塞杆的临界载荷。
解：看成是一端固定、一端自由。此时2=μ
，而
，所以，
。
，外
故属于大柔度杆-
用大柔度杆临界应力公式计算。
4、托架如图所示，在横杆端点D 处受到P=30kN 的力作用。已知斜撑杆AB 两端柱形约束（柱形较销钉垂直于托架平面），为空心圆截面，外径D=50mm 、内径d=36mm ，材料为A3钢，
E=210GPa 、p σ=200MPa 、s σ=235MPa 、a=304MPa 、b=1.12MPa 。若稳定安全系数n w =2，试校杆AB 的稳定性。
1.5m
0.5m
P C A
B
D
第第第第
30o
解 应用平衡条件可有
∑=0A M ，107N 5.05.11040230
sin 5.123
===
P N BD kN 2
cm 837.32=A ，4cm 144=y I ，cm 04.2=y i ，4cm 1910=x I
cm .7=x i
A3钢的
4.99=P λ，1.57=S λ
压杆BA 的柔度
S x x i l
λμλ<=?
==7.2207
.030cos 5
.11
P
y
y i l
λμλ<=?=
=
9.820209
.030cos 5
.11
因x λ、y λ均小于P λ，所以应当用经验公式计算临界载荷
()[]
N 109.8212.130400329.0)(6??-?=-==y cr cr b a A A P λσ
695=kN
压杆的工作安全系数
55.6107
695
=>==
st n n BA 压杆的工作安全系数小于规定的稳定安全系数，故可以安全工作。 5、 如图所示的结构中，梁AB 为No.14普通热轧工字钢，CD 为圆截面直杆，其直径为d
=20mm ，二者材料均为Q235钢。结构受力如图所示，A 、C 、D 三处均为球铰约束。若已知p F =25kN ，1l =1.25m ，2l =0.55m ，s σ=235MPa 。强度安全因数s n =1.45，稳定安全因数st []n =1.8。试校核此结构是否安全。
解：在给定的结构有两个构件：梁AB ，承受拉伸与弯曲的组合作用，属于强度问题；杆CD ，承受压缩荷载，属稳定问题。现分别校核如下。
(1) 大梁AB 的强度校核。大梁AB 在截面C 处的弯矩最大，该处横截面为危险截面，其上的弯矩和轴力分别为
3max p 1(sin 30)(25100.5) 1.25M F l ==° 315.6310(N m)15.63(kN m)=??=?
3N p cos302510cos30F F ==??°°
321.6510(N)21.65(kN)=?=
由型钢表查得14号普通热轧工字钢的
3332
2
2
102cm 10210mm 21.5cm 21.510mm
z W A ==?==?
由此得到
33
max N max
3924
15.631021.6510102101021.51010z M F W A σ--??=+=+
6163.210(Pa)163.2(MPa)=?= Q235钢的许用应力为 s
s
235
[]162(MPa)1.45
n σσ=
=
= max σ略大于[]σ，但max ([])100%[]0.7%5%σσσ-?=<，工程上仍认为是安全的。 (2) 校核压杆CD 的稳定性。由平衡方程求得压杆CD 的轴向压力为
N p p 2sin 3025(kN)CD F F F ===° 因为是圆截面杆，故惯性半径为 5(mm)4
I d
i A =
== 又因为两端为球铰约束 1.0μ=，所以
p 3
1.00.55
110101510l
i μλλ-?=
=
=>=?
这表明，压杆CD 为细长杆，故需采用式(9-7)计算其临界应力，有 222932
Pcr
cr 2220610(2010)41104
E
d F A σλ-πππ??π??==?=?
352.810(N)52.8(kN)=?=
于是，压杆的工作安全因数为
cr Pcr w st w N 52.8
2.11[] 1.825CD F n n F σσ====>=
这一结果说明，压杆的稳定性是安全的。
上述两项计算结果表明，整个结构的强度和稳定性都是安全的。
6、一强度等级为TC13的圆松木，长6m ，中径为300mm ，其强度许用应力为10MPa 。现将圆木用来当作起重机用的扒杆，试计算圆木所能承受的许可压力值。
解：在图示平面内，若扒杆在轴向压力的作用下失稳，则杆的轴线将弯成半个正弦波，长度系数可取为1μ=。于是，其柔度为
16
801
0.34
l
i
μλ?=
=
=? 根据80λ=，求得木压杆的稳定因数为
22
11
0.39880116565?λ===++ ? ?
从而可得圆木所能承受的许可压力为
62[][]0.398(1010)(0.3)281.34
F A ?σπ
===(kN)
如果扒杆的上端在垂直于纸面的方向并无任何约束，则杆在垂直于纸面的平面内失稳时，只能视为下端固定而上端自由，即2μ=。于是有
26
1601
0.34
l
i
μλ?=
=
=? 求得
2
2
2800
2800
0.109160
λ=
=
= 62[][]0.109(1010)(0.3)774F A ?σπ
===(kN)
显然，圆木作为扒杆使用时，所能承受的许可压力应为77 kN ，而不是281.3 kN 。
7、 如图所示，一端固定另一端自由的细长压杆，其杆长l = 2m ，截面形状为矩形，b = 20 mm 、h = 45 mm ，材料的弹性模量E = 200GPa 。试计算该压杆的临界力。若把截面改为b = h =30 mm ，而保持长度不变，则该压杆的临界力又为多大？ 解：（一）、当b=20mm 、h=45mm 时 （1）计算压杆的柔度
22000
692.820
12
l
i
μλ?=
=
=＞123c λ=(所以是大柔度杆，可应用
欧拉公式)
(2)计算截面的惯性矩
由前述可知，该压杆必在xy 平面内失稳，故计算惯性矩
443
3100.312
204512mm hb I y ?=?== （3）计算临界力
μ = 2，因此临界力为 ()()
kN N l EI Fcr 70.3370122103102002
8
9222====-πμπ
（二）、当截面改为b = h = 30mm 时 （1）计算压杆的柔度
22000
461.930
12
l
i
μλ?=
=
=＞123c λ=(所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)
(2)计算截面的惯性矩
444
31075.612
3012mm bh I I z y ?====
代入欧拉公式，可得
()()
N l EI F cr 8330221075.6102002
8
9222===-πμπ 从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后
者大于前者。可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。
8、 图所示为两端铰支的圆形截面受压杆，用Q235钢制成，材料的
弹性模量E=200Gpa ，屈服点应力σs =240MPa ，123c λ=，直径d=40mm ，
试分别计算下面二种情况下压杆的临界力： （1）杆长l =1.5m ；（2）杆长l =0.5m 。 解：（1）计算杆长l =1.2m 时的临界力 两端铰支因此 μ=1
惯性半径 4
24010444
d I
d i mm d A
ππ=
==== 柔度：11500
15010
l
i
μλ?=
=
=＞123c λ= (所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)
225
22
3.1421087.150cr a
E MP πσλ??===2
2
33.144087.110.081011044
cr cr cr d F A N KN πσσ?==?=?=?≈
（2）计算杆长l =0.5m 时的临界力
μ=1，i =10mm 柔度：1500
5010
l
i
μλ?=
=
=＜123c λ=
压杆为中粗杆，其临界力为
22
2400.006822400.0068250222.95cr a MP σλ=-=-?=
2
2
33.1440222.95280.021028044
cr cr cr d F A N kN πσσ?==?=?=?≈
感谢土木0906班王、刘元章同学！
