2014-2015学年高三数学月

高中2014----2015学年上学期第一次月考

高三数学试题（理）参

一、选择题：DCDCB BABDB DC

11二、填空题: 13 + 14 15 1a2 16 ①②③

43217：设切点Q(x0,

x3-3 x0 ) ，f'(x)=303x20 -3

切线PQ方程：y－(

x-3 x0)=（30x20 -3 ）(x–

x0 )

∵切线PQ过P（1，-2） ∴

x=1，或0x=－01 26 72∴所求切线方程是y=-2 或9 x+4y-1=0 18解:(1)0≤m≤<4 (2)m<

19 解：（1）因为0c1，所以cc；由f(c) c29， 8即c139， 81 …………………………………….4分 211x1，x22 （2）由（1）得f(x) „„6分

24x1，≤x1由f(x)

当

12211得，当0x时，解得x， „8分

2842115≤x1时，解得≤x， „„10分 228所以f(x)252x „„12分 1的解集为x88420解：(1)存在x1，x2∈[0,2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M. ∵g(x)＝x3－x2－3，

2

x－. ∴g′(x)＝3x2－2x＝3x3

- 1 -

g(x)，g′(x)随x变化的情况如下表：

x g′(x) g(x) 0 0 －3 0，2 3－ 2 30 85极小值－ 272，2 3＋ 2 1 285由上表可知，g(x)min＝g＝－，g(x)max＝g(2)＝1. 327[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝

112

，所以满足条件的最大整数M＝4. 27

1

(2)对于任意的s，t∈2，2，都有f(s)≥g(t)成立， 1等价于在区间2，2上，函数f(x)min≥g(x)max. 1由(1)可知，在区间2，2上，g(x)的最大值g(2)＝1. 1a

，2上，f(x)＝＋xln x≥1恒成立． 在区间2x等价于a≥x－x2ln x恒成立， 记h(x)＝x－x2ln x，

则h′(x)＝1－2xln x－x，h′(1)＝0.

1

当10，

2

12

即函数h(x)＝x－xln x在区间，1上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以

2

h(x)max＝h(1)＝1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)．

21：（1）解：(1)当0＜x≤100时，p＝60； 当100＜x≤600时，

p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.

- 2 -

60， 0＜x≤100，

所以p＝

62－0.02x， 100＜x≤600.

(2)设利润为y元，则 当0＜x≤100时，y＝60x－40x＝20x； 当100＜x≤600时，

y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.

20x， 0＜x≤100，

所以y＝2

22x－0.02x， 100＜x≤600.

当0＜x≤100时，y＝20x是单调增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2 000；

当100＜x≤600时，

y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050， 所以当x＝550时，y最大，此时y＝6 050. 显然6 050＞2 000.

所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元． 22．解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,)，且f'(x)xa， -------1分 x2①当a0时，f'(x)0，f(x)在(0,)上单调递增；-----------2分 ②当a0时，由f'(x)0，得xa；由f'(x)0，得xa； 故f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,)上单调递增. -----4分 （Ⅱ）g(x)axa5lnx，g(x)的定义域为(0,) xa5ax25xag'(x)a2 -----------5分 2xxx因为g(x)在其定义域内为增函数，所以x(0,)，g'(x)0

ax25xa0a(x21)5xa而

5x5x a2x21x1max55x55x1a，当且仅当时取等号， 所以 ----8分 212x1x2x- 3 -

22x25x2（Ⅲ）当a2时，g(x)2x5lnx，g'(x)

xx2由g'(x)0得x1或x2 212当x(0,)时，g'(x)0；当x(,1)时，g'(x)0.

所以在(0,1)上，g(x)maxg()35ln2 ----------------10分 而“x1(0,1)，x2[1,2]，总有g(x1)h(x2)成立”等价于 “g(x)在(0,1)上的最大值不小于h(x)在[1,2]上的最大值”

1212h(1),h(2)} 而h(x)在[1,2]上的最大值为max{1g()h(1)2所以有 ----11分

1g()h(2)2m85ln235ln25mm85ln2 135ln282mm(115ln2)2所以实数m的取值范围是[85ln2, )---------------------------12分

- 4 -