第八章
8.1 VaR是指在一定的知心水平下损失不能超过的数量；预期亏损是在损失超过VaR的条件下损失的期望值,预期亏损永远满足次可加性（风险分散总会带来收益)条件。
8.2 一个风险度量可以被理解为损失分布的分位数的某种加权平均。VaR对于第x个分位数设定了100%的权重,而对于其它分位数设定了0权重,预期亏损对于高于x%的分位数的所有分位数设定了相同比重，而对于低于x%的分位数的分位数设定了0比重。我们可以对分布中的其它分位数设定不同的比重,并以此定义出所谓的光谱型风险度量。当光谱型风险度量对于第q个分位数的权重为q的非递减函数时,这一光谱型风险度量一定满足一致性条件。 8.3有5%的机会你会在今后一个月损失6000美元或更多.
8。4在一个不好的月份你的预期亏损为60000美元,不好的月份食指最坏的5%的月份
8.5 (1)由于99.1％的可能触发损失为100万美元,故在99%的置信水平下，任意一项损失的VaR为100万美元。
（2）选定99%的置信水平时，在1%的尾部分布中，有0。9%的概率损失1000万美元，0。1%的概率损失100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是
（3)将两项投资迭加在一起所产生的投资组合中有0.0090。009=0.000081的概率损失为2000万美元，有0。9910。991=0.982081的概率损失为200万美元，有20.0090。991=0.017838的概率损失为1100万美元，由于99%=98。2081％+0.7919%，因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99％的置信水平的VaR是1100万美元。
（4)选定99%的置信水平时，在1％的尾部分布中，有0.0081%的概率损失2000万美元，有0.9919%的概率损失1100万美元，因此两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%的置信水平的预期亏损是
（5）由于11001002=200,因此VaR不满足次可加性条件， 11079102=1820，
因此预期亏损满足次可加性条件。
8．6(1）1天展望期的97.5％ VaR为200（0。975)=200*1.96=392 （2）5天展望期的97.5％ VaR为*392=876。54
（3）1天展望期的99% VaR 为392*=392*=466 因此，5天展望期的99％ VaR 为*466=1042
8。7 由于假定组合的价值变化服从正态分布，其期望值为0，则当每天价值变化的一阶自相关系数等于0。16时对于8.16中5天展期望的97.5%变现为996万美元，C中5天展望期的99%的VAR变现为1182万美元。
8.8 边际VaR是VaR的增长随第i个资产增加的比率，增量VaR是指第i个资产对于VaR的影响(含有第i个资产VaR与不含有第i个资产VaR的差），成分VaR是指整体VaR对于第i个资产的分配（成分VaR的总和等于整体VaR)。 8.9总数为17或更多例外发生所对应的概率为1—BINOMDIST（ 16,1000,0，01，TRUE)，即2。％,在5％置信水平下我们应该拒绝这一模型。
8.10当金融资产交易组合的每天价值时，例外的情形以聚束的情形发生,而不是随机分布在整体时间区域内，这种情形被称为聚束效应。通常情况下，我们假设交易组合每天的价值变化，例外的情况发生应该比较均匀的分布在检测区间内，但是实际经济生活中，我们发现例外情形一般是呈现聚束分布特征的,这便是聚束效应。 8.11证明式(8-3)
证明：我们希望计算的标准差,其中Pi为第i天的回报，其数量为
式中，σi为Pi的标准差,ρij为Pi与Pj的相关系数.这是对于所有i，σi=σ，当i>j时ρij=ρi-j,进一步运算，我们可以得出式（8—3）。
8.12(1）对应于95%的置信水平，任意一项投资的VaR为100万美元。 （2）选定95%的置信水平时，在5%的尾部分布中，有4％的概率损失1000万美元，1％的概率损失100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是
(3)将两项投资迭加在一起所产生的投资组合中有0。040.04=0.0016的概率损失2000万美元，有0.020。02=0。0004的概率损失200万美元，有0.940。94=0.8836的概盈利200万美元,有20.040。02=0.0016的概率损失1100万美元，有20.040.94=0。0752的概率损失900万美元，有20。940.02=0。0376的概率不亏损也不盈利，由0.95=0。8836++0.0376+0.0004+0.0284，因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的VaR是900万美元。
（4）选定95%的置信水平时，在5%的尾部分布中,有0.16％的概率损失2000
万美元，有0.16％的概率损失1100万美元，有4。68％的概率损失900万美元，因此，两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于95%的置信水平的预期亏损是
（5）由于9001002=200,因此VaR不满足次可加性条件, 941.68202=10,
因此预期亏损满足次可加性条件.
8.13
（1)
（2)
由上式得： （3) 所以 (4)
（万美元)
第九章
9。1每周的.
9.2．某资产的波动率为每年25％,对应于一天的资产价格百分比变化的标准为：25％/=1.57%
假定价格变化服从正态分布,均值为0估测在95%的置信度下价格百分比变化的置信区间为：—3.09%~3。09％
9.3开市时的波动率比闭市时的要大,交易员在计算波动率时往往采用交易天数而不是日历天数。
9。4隐含波动率是指使得由Black-Scholes所计算出的期权借个等于市价时所对应的波动率，隐含波动率的求解方法通常是采用试错法，因为不同期权对应于不同的隐含波动率，所以交易员利用Blac-Scholes公式时实际上采用了不同假设。
9.5 由9.3节的方法：先计算每段的回报，再计算回报的标准差,最后计算得到的波动率为0.547%,但由式9—4的计算得出的每天波动率为0。530％. 9。6由9—1可得：,当的概率为1％,则 ，K=2500，
当,即点击次数为10000次以及更多次的比例为0.25%； 当，即点击次数为2000次以及更多次的比例为0.0625％。
9.7在第n天估计的方差等于乘以在n-1天所估计的方差加上乘以第n天的回报的平方。
9.8 GARCH（1，1)对于长期平均方差设定了一定权重,这与EWMA的假设一致,GARCH（1,1）具有波动率回归均值的特性。 9.9在这种情形下,，，由式（9—8)我们可得出 因此在第n天波动率的估计值为，即1.5103%。
9。10由EWMA模型我们可以得到波动率的预测方程可以表示为：
所以，我们可以看出当我们把由0.95变为0.85意味着我们将赋予靠近今天的更大的权重，即认为近期的数据对现在的影响更大.同时，由模型我们也可以看出的变化将引起模型中权重的集体变化,进而引起模型波动率的较大变化。 9．11采用通常的符号，，因此
，对于最新波动率的估计为每天1。078％。
9.12.解：价格变化的比率为—0。005/1。5000=-0.003333，当前每天的方差估计为0.006^2=0.000036，对于每天的方差的新估计为 0.9＊0.000036+0.1*0。003333^2=0.000033511 波动率的新估计值为以上数值的平方根=0。597％
9。13长期平均方差所对应的权重为,长期平均方差为，增大会促使长期平均方差的增长，增大会增大对于近期数据所设定的权重，同时减小对于长期平均方差所设定的权重，以及增大长期平均方差;增大仍会增大对于前一个方差所设定的权重，减小对于长期平均方差所设定的权重，并且增大长期平均方差的水平。 9。14 长期平均方差为ω/（1—α-β）,即0.000004/0。03=0.0001333，长期平均波动率为=1.155%,描述方差回归长期平均的方程式为E［σ2 n+k]=VL+（α+β)k(σ2 n— VL）这时E［σ2 n+k]=0.0001330+0。97k（σ2 n-0。0001330)如果当前波动率为每年20％，σ n=0。2/=0。0126，在20天后预期方差为0。0001330+0.9720（0。01262—0。0001330）=0.0001471因此20天后预期波动率为=0。0121，即每天1.21%。
9。15 FTSE用美元表达为XY，X为其用英镑表达的价值，Y为汇率，定义xi为X在第i填的价格变化百分比，yi为Y在第i填的百分比变化，XY的比例变化为xi+yi,,xi的标准差为1。8%，yi的标准差为0。9％，X与Y的相关系数为
0.4,因此xi+yi的方差为：
0。018＊0.018+0。009*0。009+2＊0。009＊0。018＊0。4=0。0005346，因此xi+yi的标准差为0。0231，即2。31%，这就是FTSE100被转化成美元后的波动率。
9.16由式9-10可得:，则长期平均方差为:，再由式9—14可得： ,则波动率为：，即30天后的日波动率为1。11%.
9.17 把=0.0001,=0。0202,=20以及=0。000169带入公式 得到波动率为19。88％。 9.18 周数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 此时，，
周收益率标准差的估计值为 即周波动率为2.884%
每周波动率的标准差为或每周0。545％
股票价格 30。2 32 31.1 30.1 30。2 30。3 30。6 33 32。9 33 33.5 33。5 33。7 33.5 33.2
价格比 1.059603 0.971875 0。967846 1.003322 1.003311 1。009901 1。078431 0。99697 1。00304 1.015152 1 1.00597 0.994065 0.991045
每天回报 0.0574 —0.02853 —0。03268 0.003317 0。003306 0。009852 0。075508 —0.00303 0。003035 0。015038 0 0。005952 -0.00595 —0。009
9.19（a）在这种情形下,,，由式（9-8)我们可得出 因此在第n天波动率的估计值为，即1.2709％. （b）这里GARCH（1,1）模型为 由(a）知,，,因此
对于波动率的最新估计为，即每天1。2604%。 9.21（a)由题设可知GARCH(1，1)模型为：
因为,由于，可知模型隐含的每天长期平均方差为0.0001，对应的波动率为=0。01即每天1％。
（b)因为当前波动率为每天1.5%，所以 由于
故20天后=0。0001+（0.98）20(0。0152-0。0001)=0.00018 40天后=0.0001+（0。98）40（0。0152-0。0001）=0.00016 60天后=0.0001+（0.98）60（0.0152—0.0001)=0.00014
(c）短期预测只需较近较少的样本值,长期预测需要较多较久的样本值,即每天或者更小周期的期货价格 (d）由于 其中 且
期权期限（) 波动率（0.5%) 波动率（2%) 波动率变化 9.23
(1) =1000/1.48727 =607。94978
=607。94978*2.326
20 0。022 0.017 0.005 40 0.024 0.015 0。009 60 0.028 0.014 0.0014 =1414.0912（万美元)
(2）
