（绍兴市柯桥区平水镇中学，浙江绍兴 ３１２０５０） 在试卷讲评课上，教师对小题（填空题、选择 题）往往不作详细分析，或仅仅核对一下答案．笔者 认为，有些小题虽然难度不大，但它是复习所学基 础知识，训练学生思维的极好素材．因此在教学中， 要引导学生研究这些小题的解法，理解它的本质，探 要考查学生用变换的方法构造基本图形解决问题， 提高学生运用图形变换解决问题的意识． 二、变式探究 对于一些“典型”的“熟题”，教学中应该采用 “一题多变”的基本方法，力争让学生学透．因为是 究它的变式及拓展．本文以２０１４年６月我校九年级 数学作业中的一道选择题为例，做一些探索． 一“熟题”，解决此类题目可以起到“温故而知新”的效 果；因为是“典型”，题目必定包含有不同的解决方 法，方法越多，对显性知识技能的训练就越到位，解 、题目呈现 题目：如图１，已知在ＡＡＢＣ中，／ＡＢＣ＝９０ｏ， 决此类题目可以达到“知识与方法”同步提高的效 果．在一题多解教学中，首先要注重通性通法，其次 才是研究最优解法，最后要对研究的问题从知识技 ＡＢ＝ＢＣ，三角形的顶点在相互平行的三条直线ｚ ｆ ，ｆ１＿上，且ｆ ，２：之间的距离为２，ｆ ，ｆ］之间的距离为 ３，则ＡＣ的长是（ Ａ．２、／ｌ７ Ｃ．４、／２ ） Ｂ．２、／５ Ｄ．７ 能、解题规律、思想方法等角度进行归纳、总结、反 思，帮助学生积累解题经验，进而增加学生思维的 宽度，达到解题效果的最大化． 变式题：如图３，Ｚ ，Ｚ ， 如是同一平面内的三条平 行直线，Ｚ 与Ｚ 问的距离 是１，ｆ 与 间的距离是 图１ 图２ ２，正三角形ＡＢＣ的三顶 点分别在ｚ ，ｚ：， 上，求 ＡＡＢＣ的边长． Ｃ 解：如图２，过Ａ点作ＡＤ Ｊ＿ ，过Ｃ点作 上 ｆ３，垂足分别为Ｄ，Ｅ易证ＲｔＡＡＤＢ￣ＲｔＡＢＥＣ，得ＢＥ＝ Ａ Ｄ－－－３．￣ＲｔＡＢＣＥ中，根据勾股定理，得８Ｃ＝、 ＝ ，图３ 分析：此题看似只把“等腰直角三角形”变成 “正三角形”，但思维含量提升，难度增加．那么该 在ＲｔＡＡＢＣ中，得Ａｃ＝、／ ＢＣ＝２ ， 怎么解呢？笔者悉心探究给出以下几种解法，以飨 读者． 所以选Ａ． 点评：解答本题的关键是作好辅助线，作出平 行线间的距离，构造出“一线三等角”型基本图形 （我们把具备三点在同一条直线上，如图２中的点 Ｄ，Ｂ，Ｅ，且／＿ＡＤＢ＝／＿ＡＢＣ＝／ＢＥＣ的图形称为“一 （一）构造“一线三等角”通性又通法 ， ，－ ．Ｆ 解法１：如 图４，延长ＢＡ到 点Ｆ，使ＡＦ＝ ， 连结ＣＦ．由题意， 易知 ＡＦＣ＝３０。， 线三等角”型基本图形），运用全等三角形的判定和 性质以及勾股定理进行计算．此题有一定难度，主 ． 教学参考 ２０１５／ １ ２ ‘■一 。 备课泰考 ／＿ＢＣＦ＝９０。，则 ＿ｆａｎ／ＦＢＣ＝ｘ／３－．ｆ］￣ＦＥ￣ｌ 于 点Ｅ，作ＢＤ上 于点Ｄ．ＦＥ分别交ｌ。，１ 于点Ｇ，日， 这样就构造出了“一线三等角”的模型． 因为ｚ ∥ｚ ，且Ａ是ＢＦ的中点，所以Ｇ是朋 的中点，进而得ＦＧ＝ＧＨ＝Ｉ，ＦＥ＝４．易证Ｒｔ△ＣＥＦ ＲｔＡＢＤＣ，得 ＝百ＣＦ ＝ｘ／３－解得Ｄｃ＝尘 ，．所 以ＢＣ：Ｘ／—ＢＤ２＋—ＣＤ２：＿２ｘ／Ｙ（． （二）构造“等距”平行线经典又给力 解法２：如图５， ． 作ｚ ∥ｆ３，且ｚ 到 ，ｚ 的距离为“１”，延长 ＡＢ交Ｚ 于点Ｄ，由 Ｃ Ｆ ｚ。∥ｚ ∥ｚ ，且平行线 图５ 间的距离相等，所以 ＡＢ＝ＢＤ。『ｆｌ１ ＡＢ＝ Ｃ，压笫ＤＣ，日Ｊ知／Ａ ＣＤ＝９０。，十 是 ＝ ．由于ＤＥ＝ｌ，ＡＦ＝３，义易证ＲｔＡＣＦＡ∽ ＲｔＡＤＥＣ，所以 Ｃ Ｆ＝ＡＣ ＝ｔｃＪａｎ３０。，解得ｃ 争． 所以『、ｆ Ａ Ｃ 一 ＝ ＿＿ 一２、／２１・ （三）构造“等积”变换独特又精彩 解法３：如图６，延长ＡＢ交ｌ 于点Ｇ，作ＢＥ上 ｌ，于点Ｅ，作ＡＤ上１ 于点Ｄ，作ＣＦ＿ＬＡＢ于点 易 证ＲｔＡＧＢＥ—ＲｔＡＧＡＤ，则 ＧＢ＝ ＢＥ＝丁２段ＧＢ＝ ，则ＧＡ＝３ ，ＡＢ＝ ，８Ｆ＝￣－ ，ｃ ＿由ｓ△删： ＣＧ。ＢＥ＝ＧＢ・ＣＦ，解得ｃＧ＝ 在Ｒｔ￣ＣＦＧ 中，ｃ ＋ＦＧ ＝ＣＧ。，即（ ＋（ ＋ １ ＝ （孚 ，解得 ＝学，所以 竽． Ａ ， ——————一 Ｅ Ｃ Ｄ 图６ 皿 ． （四）构造“二元二次”方程组新颖又别致 解法４：如图７，作—————＿歹争—一 ＢＥ上ｌ３于点Ｅ，作ＡＤ上 旦 二二二 』：￡ ， 于点Ｄ，ＡＤ交ｌ 于点 Ｉ．＼ Ｉ设ＣＥ＝ｘ，ＣＤ＝ｙ，则ＢＦ＝ｘ＋ ： ：Ｙ．因为ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ，所以 图７ 根据勾股定理得 ＋２ ＝ｙ２＋３ ＝（ ＋ｙ） ＋１ ，经组合，整 理得 ： 解 一 （舍去）．把 代人，得ｙ ： １所以ＡＣ：Ｘ／—ＣＤ％—ＡＤ￣：—２ｘ／ Ｙｆ－．． （五）构造相似三角形常规又实在 解法５：如图８，分别 过Ａ，Ｃ作ｚ：的垂线ＡＥ， ＣＦ，垂足为Ｅ， 过Ｂ作 ＡＡＢＣ的高ＢＧ．设ＡＤ＝ｘ， 则ＣＤ＝２ｘ，于是，ＤＧ＝ＣＤ－ＣＧ＝ Ｃ ｝，口 ｃ．ｓｉ ６ 由ＲｔＡＢＤＧ￣．ＲｔＡＣＤＦ， 得 ＝ ．得。 ・又Ｒｔ△ＡＤＥ ＲｔＡＣＤＦ， 得 ＝ ＝ ，所以Ｄ ，因此４Ｄ 务， ￣ｆ（１）．２ ＡＣ＝３ ＝３ＡＤ＝丁２Ｖ￣ｆ－． ｆ六、柏诰“稚结峦搀” 活叉青仔 解法６：如图９，过 Ａ，Ｃ作ＡＥ，ＣＦ垂直于 ｚ２，Ｅ，Ｆ是垂足将ＲｔＡＢＣＦ 绕点Ｂ逆时针旋转６０。 至Ｒｔ△ＢＡＤ处，延长ＤＡ 交Ｚ 于点Ｇ．由作图可知： ｎＲＧ：ＺＤＢＡ＋／ＡＲＧ＝ 图９ ＣＢＦ＋／ＡＢＧ＝／＿ＡＢＣ＝６０。，ＡＤ＝ＣＦ＝２．因此在 Ｒｔ△ＢＤＧ中，／ＢＧＤ＝３０。，ＡＧ＝２，ＤＧ＝４，所以ＢＤ＝ ．那么在Ｒｔ ＡＡＢＤ中，得ＡＢ：－ｖ／—ＢＤＺ＋—ＡＤ２： ２ ‘ （七）构造“辅助圆”直观又简捷 解法７：如图１０，设点Ｂ关于 的对称点是 ， 连结ＡＥ，ＣＥ，延长ＥＢ交Ｚ 于 Ｇ，则ＣＥ－－ＣＢ，而 ＝ 臻 冬 一 ≯ 、、 ～图 ， ／加 ，瓤解 黄赤交角的存在，引起太阳直射点在南北回归 线之间来回移动，这种移动会导致全球昼夜长短变 化。昼夜长短的状况与太阳直射点所在的位置密切 度角的变化，太阳直射点的位置和极夜的范围互 求，南北极圈极昼极夜的变化趋势，南北半球昼夜 长短的变化趋势，南北半球等温线的凹凸状况。…Ｊ 相关，昼夜长短的变化与太阳直射点的移动方向有 一对太阳直射点的移动导致南北半球昼夜长短变化 的讨论也仅仅停留在文字分析方面。［２ 关于太阳直 射点的纬度问题有用数学分析和推导的，也有利用黄 经推导出太阳直身寸｜ 的纬度５：＝ａｒｃｓｉｎ（０３９．７７７５ｓｉｎｋ）， 是黄经度。并有分时问段利用日期推导太阳直射 点纬度，如在春分日（３月２１日前后）到秋分日（９ 定的关联性。那么，这种关联性是否可以通过我 们熟知的太阳直射点周年变化图表示出来？通过查 阅文献，笔者发现，目前研究太阳直射点周年变化 图的文章虽然不少，但是大多都集中于太阳直射点 位置移动所造成的影响。其中包括各地正午太阳高 ＣＢ，所以点Ａ，Ｂ， 在以Ｃ 深刻，会构造圆心角、圆周角的，就会选取解法７．亲 爱的读者，你看了以上的几种解法，是不是产生了 一为圆心，ＣＡ为半径的圆上，易 ￣／ＡＥＢ： １／Ａ ＣＢ：３０。设 ．种跃跃欲试的冲动，那你就动起笔来，思考、挑战 下拓展题吧． 二 一“ＡＧ＝ｘ，则在ＲｔＡＡＥＧ中，得 拓展题：如图１１，Ｚ ， Ｚ ， 是同一平面内的三条 平行直线，Ｚ 与Ｚ：间的距 ＡＥ＝２ｘ，而ＧＥ＝５，由勾股定 理得４ｘ２￣＿Ｘ２ｏｒ－２５，得 ｚ： ． 离是１，Ｚ 与厶间的距离是 在Ｒｔ△ＡＢＧ中，得 Ｂ ＝１ ＋ＡＧ ，所以 Ｂ＝ ２ — ２，以ＡＢ为底的等腰三角 形ＡＢＣ的三顶点分别在 Ｃ 图１１ ‘ ｚ ， ，ｆ１上，且 ４ＣＢ＝ａ，求Ａ 的长． 行文至此，前面梳理了７种解法，实际上此题 的解法还不止这些．当学生对某些知识点、某些基 本图形理解得较为深人时，就会首先考虑到较简洁 综上可以看出，每个优秀的数学题目中都包含 着大量基础知识、基本方法与技巧策略，都蕴含着 数学的方法、思想等本质．在解题教学中，我们一定 要积极引导学生观察题目的表象、探求解题方法、 整理解题思路、总结解题规律、归纳解题思想，着眼 于学生思维的发展．解题教学不是让学生为了解题 的解法．例如，对“一线三等角”理解较为深入时，就 会选取解法１、解法２；对会善用“面积”作桥梁的， 就会选取解法３；若想到用勾股定理、方程思想解 决问题的，就会选取解法４；若能运用两次相似的 知识来解决问题，可以选取解法５；若能用通过图 形变换的方法，就会选择解法６；若对圆知识理解 而解题，而是通过解题把数学方法和数学思想浓 缩，只有这样，才能真正有效地促进学生思维的灵 活性、广阔性和深刻性． ． 教学参考 ‘■一 血 。 ２０１５／１ ２
