塾 Ｎｏ．５ ＴＩＭＥ ＥＤＵＣＡＴ１０Ｎ 体现在圆中的主要数学思想 王选军 摘要：圆这一章体现了好多数学思想，如分类讨论思想，转化思想，方程思想，数形结合思想，对称思想等，掌握这些思想，对解决圆 中的有关问题，培养学生的逻辑思维有着积极的意义。 关键词：圆分类 数形结合转化 方程 对称 中图分类号：Ｇ６３３．６ 文献标识码：Ａ ＤＯＩ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１６７２—８１８１．２０１０．０５．１１３ 圆这一章的内容很多，很杂。好多同学在学这一章时都感觉 到很吃力。因此，我们有必要来整理这一章所体现的数学思想。 因为学生只有掌握了数学思想方法，才算是掌握了数学的精髓。 数学的知识点会随着时间慢慢地遗忘，但是数学的思想方法会终 ＡＢ ‘．‘．ＣＥ＝ＯＦ ．ＳＡ＾Ｂｏ＝ＡＢ ＯＦ，Ｓａ＾￣ｃ＝ＡＢ ＣＥ．‘．ＳＡ，．ｏ＝Ｓ△ＡＢｃ Ｓ ＝Ｓ自 Ｂ０Ａ ・．．‘．．’．‘ ＡＣＢ＝３０。．‘． Ａ０Ｂ＝６０。． 生难忘。下面就是这一章所体现出的主要数学思想。 １分类讨论思想 ｓ 。 ： 霄ｒ２＝｛ ｒ２．・．ｓ阴影＝｛盯 。 分析：该图的阴影部分是不规则图形，计算它的面积很不容 有些数学问题涉及的对象比较复杂，很难用一种情况来概括 它的性质，需要分几种情况讨论。这种思想方法就是数学中的分 类讨论思想。圆这一章很多地方都用到了分类讨论思想，例如： 点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆周角定理的研究等 都应用了分类讨论思想；解题时遇到动点、动弦的问题也常常要 考虑用分类的思想来解决；在解决两圆相切的问题时，要分清楚 易。在这道题中，由于两个等底等高的三角形的面积相等，所以 它们的面积加上同一弓形的面积也相等。这样就把不规则图形 的面积转化为扇形的面积来进行计算。 ３方程思想 所谓方程的思想方法，也就是代数的思想方法。这种方法， 就是先设未知数，再用未知数表示相关的未知量，然后找等式，列 方程，从而解决相关问题。圆中涉及到数量关系的式子很多，并 是外切还是内切；在求弓形所对的圆心角时，要分清楚是优弧还 是劣弧所对应的圆心角。这些问题都涉及到了分类讨论的思 想。这种思想对初中学生来说不容易掌握，他们经常会顾此失 彼，讨论问题不全面。只要我们加强这方面的训练，同学们一定 会掌握这种方法的。 且可以转化关系的知识也很多，方程思想在圆这部分内容应用最 为广泛。 ４对称思想 对称在我们的生活中随处可见，这些对称现象可以给人以平 例１．已知点Ｐ到００的最近距离为６ｅｍ，最远距离为８ｅｍ，求 ０Ｏ的半径。 衡与和谐的美感。由于圆具有旋转不变性，所以圆是特殊的中心 对称图形，并且也是轴对称图形。对称的数学思想在圆这一章中 有充分体现。例如教材中在推导垂径定理时，就利用圆的轴对 称，巧妙的推导出了垂径定理；在推导弧、弦、圆心角之间的关系 时，就利用了圆的旋转不变性，一下子就推导出了弧、弦、圆心角 之间的关系。 解：分三种情况：①当点Ｐ在０Ｏ内部时，如图（１），Ｐ到ｏＯ 的最近距离ＰＢ＝６ｅｍ，Ｐ到０Ｏ的最远距离ＰＡ＝８ｃｍ，所以００的直 径ＡＢ＝６＋８＝１４ｃｍ，所以０ Ｏ的半径ｒ＝７ ｃｍ．图（１）②当点Ｐ在０Ｏ外部时，如图 （２），Ｐ到０Ｏ的最近距离ＰＢ＝６ｃｍ，Ｐ到 例５．（９０的直径为１Ｏ，弦ＡＢ＝８，Ｐ是弦ＡＢ上的一个动点，那 么ＯＰ长的取值范围是多少？ 分析：由于Ｐ是弦ＡＢ上的一个动 点，由圆的对称性知ＯＰ的长从Ａ到Ｂ 是由长变短，然后又变长，且以过圆心 垂直于ＡＢ的对称轴对称。 ００的最远距离ＰＡ＝８ｃｍ，所以ｏＯ的直 径ＡＢ＝８—６＝２ｃｍ，所以０Ｏ的半径ｒ＝ｌｃｍ． 图（２）③当点Ｐ在０Ｏ上时，最近距 离为０，不合题意。 综上所述，０Ｏ的半径为ｒ＝７ｃｍ或１ｅｍ。 ２转化思想 解：过Ｏ作ＯＣ上ＡＢ于Ｃ，则ＯＣ＝ √ＯＡ２－ＯＣ ，ＡＣ＝ＢＣ．又‘．‘ＯＡ＝５，ＡＢ＝８ ． ．转化思想就是把复杂的问题转化为简单的问题，把不能解决 的问题转化为能解决的问题的一种方法。转化思想是初中阶段 接触的最为广泛的数学思想。如未知转化为已知，不确定关系转 ｏｃ＝ｄ ＯＡ２－ＯＣ ＝ｄ５２－４ ＝３．。．ＯＰ 的取值范围是ＯＣ ＯＰ－５＿ＯＡ，即３ ＯＰ 耋５ 化为确定关系，把一般情况转化为特殊情况等。在圆中，通常把 未知的问题转化为已知的问题来解决。 例２．四边形ＡＢＣＤ为ｏＯ的内接 梯形，ＡＢ Ｉ ＩＣＤ，ＣＤ为直径，如果０Ｏ的半径为ｒ，／ＡＣＢ＝３０。。求图中阴影部 分的面积。解：连接ＡＯ，ＢＯ，过Ｃ作 深入挖掘教材圆中的数学思想，用数学思想指导课堂教学， 学生将学得更活，对圆这一章知识的结构关系、问题的本质特征 就有更清晰的认识，对提高数学研究和解决问题的能力有很大帮 助。 … ＣＥ上ＡＢ于Ｅ，过Ｏ作ＯＦ上ＡＢ于Ｆ。 。作者简介：王选军（１９７４一），男，大学本科学历，中学一级教师，甘 肃省天水市秦州区齐寿中学，甘肃天水７４１００６ —． ＡＢ ｌ ｌＣＤ 又 ．’ＣＥ上ＡＢ，ＯＦ上 １４３—
