如何进行柯西不等式的教学(含答案)

柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用，教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.

在介绍了二维形式的柯西不等式的基础上，教科书引导学生在平面直角坐标系中，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式，在一般形式的柯西不等式的基础上，教科书安排了—个探究栏目，让学生通过探究得出一般形式的三角不等式.

由上可见，教材编写者对这部分内容的要求以便让学生在大学学习打下坚实的基础，但这部分教与学的难度是显而易见的.

nnn柯西不等式aii12bi12i(aibi)2是柯西在1931年研究数学分析中的“留数”

i1问题时得到的.表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的.柯西不等式不失为至善至美的重要不等式,以它的对称和谐的结构,简洁明快的解题方法等特点,深受人们的喜爱.而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间等内在地联系在一起.柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用，向量形式不仅直观地反映了这一不等式的本质，一般形式

ab2ii1i1nn2i(aibi)2有一个推广形式：

i1n(a1a2an)(b1b2bn)a1b1a2b2anbn.

ppp1pqqq1q其中1.该不等式称为赫尔德（Holder）不等式，当pq2时，即为柯西不等式，是数学分析中最有用的不等式之一.

此外，平面三角不等式是柯西不等式的等价形式，它的推广形式

nnn1p1qxi12iyi12i(xi1iyi)2

（闵可夫斯基不等式）也是数学分析中的经典不等式.

这就是在新课程标准中作为选学内容出现的原因，也是多年数学奥赛的重点内容的原因.但由于中学生的认知水平，要达到标准要求“了解柯西不等式、会求一些特定函数的极值”对很多同学来说是一个难点.那么，如何达到学习目的呢

1．首先熟悉“∑”的含义

有很多同学十分“痛恨” ∑这个符号，总是看不懂，从而就避开这个符号，如93年高考题理科（24）使用了连加号“Σ”，许多考生不懂，其实这个符号在课本多次出现过，由于长期不用，他们忘记了.这个符号是绝对好用的，并且以后会常常遇到，在大学课本中更是家常便饭，多看几次自然也就习惯了.Ai下方写i1，上方写n，这里i是下标变量，1是i起始的值，n是i终止的值，这

时AiA1A2i1nAn.

2．柯西不等式有着丰富的几何背景，可以通过几何解释加深对其本质特征的认识与理解

对于一个代数结果作简单的解释，往往需要借助于几何背景，只有人们知道了问题发现的过程，才能理解它的深刻含意.柯西不等式有着丰富的几何背景，运用向量的数量积在不等式和几何之间架起一座桥梁，就可以用几何的背景解释不等式：

设a1,a2,,an，b1,b2,bn，由，可得

nnnab2ii1i12i(aibi)2 .

i13．认清柯西不等式的结构形式以便发生联想

20世纪最伟大的数学家冯·诺依曼（ Neumann）指出“大多数最好的数学灵感来源于经验”，从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模的积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平方形式，只需简记为“方和积大于积和方”.等号成立条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数.有了这一经验，就容易在解题时发生联想. 如：

a2b2c2例1 设a,b,c为正数，求证：abc.

bca分析：如果要运用cauchy不等式，就要联想到小的一边是“积和方”形式就自然分析出只要证在不等式两边同乘以abc，即

a2b2c2(abc)()(abc)2，

bca而另一边要看成“方和积”，只需变形

abcab22a2b2c2cabc，()2()2()2，

bcaabc2应用柯西不等式，得

caabbccaabbc[(a)2(b)2(c)2][()2()2()2](abc)2

a2b2c2即abc.

bca4．含有常数的不等式处理方法

在不等式中含有常数n，这个常数一般与cauchy不等式中向量的维数有关，通常把n写成12121212的形式或111的形式,又如：

例2 证明：a3b3c3d34a6b6c6d6.

2分析：常数4恰好就是每个括号中加数的个数，此时通常把4写成“12121212”，用柯西不等式：

a3b3c3d312121212a6b6c6d6即可.

2例3 设是实数，对任意实数x,y,z恒有

x2y2z2x4y4z4成立，试求λ的取值范围．

2分析：与柯西不等式的一般形式比较，“积和方”已经具备，而另一边只需再构造一个“方

和积”即可，由于x2y2z2121212x4y4z4，

2所以，3.

例4 求三个实数x,y,z，使得它们同时满足下列方程

2x3yz13. 2224x9yz2x15y3z82分析：将两方程左右两边分别相加，变形，得2x3y3z2108． 由第1个方程变形，得2x3y3z218． 于是由柯西不等式，得

18212x13y31z2

2221212122x3y3z2

2222182.

从而由等号成立的条件可得2x3y3z26， 故原方程的解为x3,y1,z4．

提示：由柯西不等式解方程时一定要注意运用cauchy不等式等号成立的条件.

5．在应用cauchy不等式求最值时，要善于构造

例5 （2001年全国初中联赛题） 求实数x、y的值，使得

222y1xy32xy6达到最小值．

分析：就需要把y1xy32xy6看成是不等式中向量模的平方，构造另一模的平方，构造的顺序为把最繁的式子2xy6对应的坐标为1，考虑xy3乘以2就可以把x抵消，因此2就是xy3对应坐标，最后看

12xy62xy3y,

222因此y1对应的坐标为1，从而就有cauchy不等式：

122212y12xy322xy62 1y12xy312xy6． y1xy32xy622221. 6例6 若5a6b7c4d1,求3a22b25c2d2的最小值,并指出等号成立的条件.

分析：由于a,b,c,d各项系数不同，而且既有1次项，又有2次项，显然要用柯西不等式，因为是求3a22b25c2d2的最小值，一定要把3a22b25c2d2看成“方和积”的一部分，而条件5a6b7c4d是常数，它一定是“积和方”的一部分.而且使用柯西不等式不受-7c这项的影响.使用时，注意写明等号成立条件，检验最小值能否取到.

6.知识小结

1．二维形式的柯西不等式：若a,b,c,d都是实数，则

a2b2c2d2acbd，

2当且仅当adbc时，等号成立.

2．柯西不等式的向量形式：设,是两个向量，则，当且仅当

是零向量或存在实数k，使k时，等号成立.

3．二维形式的三角不等式：设x1,y1,x2,y2R，则

x12y12x22y22xx2y1y2. 1224.三维形式的柯西不等式：设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数，则

aaabbbababab

当且仅当bi0(i1,2,3)或存在一个数k，使得aikbii1,2,3时等号成立.

5.一般形式的柯西不等式：

设a1,a2,a3,,an,b1,b2,b3,,bn是实数，则

a212222a2anb12b2bna1b1a2b2anbn.

2当且仅当bi0(i1,2,,n)或存在一个数k，使得aikbii1,2,,n时等号成立.

7.应用举例

例1 已知3x22y26，求证：2xy11.

证明：由柯西不等式得

3x2xy2222121112243x2y611 2y326322所以2xy11.

ab2bccd21. 2222abcd2例2 设a,b,c,d是4个不全为零的实数，求证：

证明：ab2bccd(abcd)(bcad)(bcad)

2abcdbcadb2a2c2d22a2c2b2d2a2b2c2d2

22a22c2b2d2a2b2c2d2212ab2c2d2 222所以

ab2bccd21. 2222abcd2例3 若3x4y2，试求x2y2的最小值及最小值点. 解：由柯西不等式得x2y232423x4y，

24得25xy4，所以xy.

252222xy当且仅当时等号成立，

3463x4y2x25 为求最小值点，需解方程组xy ∴8y3425即当x68468,y时，x2y2的最小值为，最小值点为,. 25252525252例4 已知a,bR且ab1,求证：axbyax2by2 证明：设m(ax,by),naxbymnmn2a,b，则

222axbyab

ax2by2abax2by2，

∴axbyax2by2.

2例5 若x0,，试求函数f(x)3cosx41sin2x的最大值，并求出

2相应的x的值.

解：设m(3,4),ncosx,1sin2x，则

f(x)3cosx41sin2xmnmn3242cos2x1sin2x52

当且仅当m//n时，上式取“=”，此时31sin2x4cosx，解得

sinx7327 ,cosx,xarcsin5557时，函数f(x)3cosx41sin2x取最大值52. 51yzzx1zxxy1xyyz1. 2221xy1yz1zx∴当xarcsin例6 设x,y,z是正数，证明：

证明：由柯西不等式得

xyzxy11xy1. 2z所以

1yzzxz. 21xyxyz1zxxyx1xyyzy，. 221yzxyz1xzxyz同理

将三个不等式相加，得

1yzzx1zxxy1xyyz1. 2221xy1yz1zx说明：对于许多分式不等式分母太多，也很复杂，我们可局部利用柯西不等式将分母化为统一的式子，使问题得以简化.

例7 解方程 4x3212x15. 解：原方程变形为

31522x212x222223222x212x15.

232x212x.

其中等号成立的重要条件是

221解得x.

3说明：注意方程与不等式间的相互转化，当不等式中的等号成立时，不等式就成为方程了.

例8 m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m、n，问3m4n的最大值是多少试证明你的结论.

解：设a(i1,2,,m)为互不相同的正偶数，b(j1,2,,n)，则

ijaaa242m，

12mbbb132n1，

12na1aabbb1987，

2m12m11mn1987由上述三式可得mm1n1987，即. 2422211由柯西不等式得，3m4nmn34.

2222222即3m4n3119875. 2422∴3m4n51987222.∴3m4n221.

1432又当m27,n35时，3m4n221且满足mm1n1987.

2故所求最大值为221.

说明：本题反映了一种重要解题方式，那就是首先缩小所探究目标的范围，再运用柯西不等式作进一步收缩，步步逼近，最后又经过构造实例使目标得到确认.

例

9 设a,a,,a为实数，运用柯西不等式证明：

12naaaan. 11nnaa221n1n1n证明：由柯西不等式得aa11aa.

1122221n1nn个aaaa于是aanaaa即得.

nn22221n1n1n12n再由柯西不等式得

111a1a2anaaan21aan. 11naa1n1n1112a1aa2aanan.

12n2于是

综合知原不等式成立.

例10 已知实数a,b,c,d满足abcd3，且a2b3c6d5，试求a的

2222最大值与最小值.

111解：由柯西不等式得，2b3c6dbcd.

2222236即2b3c6dbcd.

2222综合得5a3a ，1a2

22当且仅当

2b123c136d16，即2b3c6d时等号成立.

由abcd3和2b3c6d知，

当b1,c,d时，a1

min2313当b,c,d时，a2

max121316例11 已知正数x,y,z满足xyzxyz，且不等式立，求的取值范围.

解

111111 xyyzzx2xy2yz2zx111恒成xyyzzx1zxy1112xyzxyzxyz

12221112zxyxyzxyzxyz123 23所以的取值范围是,. 2例12 求出所有实数a，使得存在非负实数x,x,x,x,x，适合下列关系式：

123451x2x3x4x5xa ①

123451x2x3x4x5xa ②

333332123451x2x3x4x5xa ③

55555312345解：设有非负实数x,x,x,x,x满足题设要求，那么由柯西不等式得

12345a413x123x253x5

5121515222221x11x12x22x25x55x522

1x12x25x515x125x255x5a4

152这样一来，上式中唯有等号成立，于是k2xkkx0k1,2,3,4,5

k如果x,x,x,x,x中有两个或两个以上不为零，上式不可能成立，所以只能

12345有上述两种情形：

⑴xxxxx0,此时a0.

12345⑵xi1,2,3,4,5中有且仅有一个不为零，不妨设x0，依题设

ikkxa,kxa,kxa

3253kkk解得xk,kak1,2,3,4,5

2k综上知，当a0,1,4,9,16,25时，存在非负实数x,x,x,x,x满足题设要求.

12345例13 P是ABC内一点，x,y,z是P到三边a,b,c的距离，R是ABC外接圆的半径，证明：

12Rxyzabc.

222证明：记S是ABC的面积，则 axbycz2Sabc 2Rxyzaxaxbycz111byczabc111abc111 abc2Rabc11abbccaabc2R2R222所以xyz12Rabc

222说明：本题中给出ABC三边的长，又给出了ABC内一点到三边的距离及外接圆的半径，可联想到ABC的面积可以把这些量联系起来：Saxbycz，又

12aa 2R,sinAsinA2RS11aabc bcsinAbc222R4R

练习1 一、选择题

xy1．若直线1通过点Mcos,sin，则（D）

abA．a2b21 B．a2b21 C．

1111 D．11 2222abab2．已知a0,b0，且ab2，则（C）

11A．ab B．ab C．a2b22 D．a2b23

223．若m,n,x,y满足m2n2a,x2y2b,其中a,b为常数，那么mxny的最大值为（B）

aba2b2a2b2A． B．ab C． D．

2222

4.若a,b,c,d都为实数,则不等式a2b2c2d2acbd取等号的条件是D） A. abdc0 B. adbc0 C. abdc0 D .adbc0

5.已知a,bR且ab1,则

11

与4的关系为（B） ab

11111111A. 4 B. 4 C. 4 D. 4

abababab126.设a,bR，则a2b的最小值为（D）

abA. 5 B. 6 C. 8 D.

9

7.若a,b是非零实数且ab1,x1,x2R，Max1bx2bx1ax2，Nx1x2，则M与N 的大小关系为（A）

A.MN B. MN C. MN D. MN 8.若实数x,y满足x5y12142，则x2y2的最小值为（D）

22A. 2 B. 1 C. 3 D. 2 9.函数yx22x3x26x14的最小值为（C）

A．10 B．10 C．101 D．101 10不等式a9b2b9a29等号成立的条件为（D）

A．ab3 B．ab9 C．a2b23 D．a2b29 二、填空题

11．设m,n,x,y0，且

mn1，则uxy的最小值为 .答案：xymn

291112．设a,b为正数，则a2b的最小值为 .答案：

2b2a13.函数U3x549x的最大值为 .答案：10

14.设x,y0,1，则x1yy1x的最大值为 .答案：1

bd， mn15.设a,b,c,d,m,n都是正实数，Pabcd，Qamnc则P与Q的大小关系为 .答案：PQ

16.若2x3y1，则x2y2的最小值为 ，最小值点为 .答案：123,, 131313三、解答题

17.求证：25a4a35. 证明：由柯西不等式得

45415a4a25a4a∴25a4a35

2当且仅当

5a4a11即x时等号成立. 215118.设ab1，求证：a4b4.

8证明：由柯西不等式得 11a2b2ab121

21∴ab.

222再由柯西不等式得11a4b4a2b2211 2421∴a4b4.

819已知p,qR且p3q32，求证：pq2.

22证明：设m(p,q),np,q，则 323211pqppqqmnmn2232123212

p3q3pq2pq2又pq2p2q2

pq∴

22p2q22pq

∴pq8pq pq8

43∴pq2

20求函数y4x713x2的最大值. 解：定义域为13,13，由柯西不等式得

1649131649x4x713x213x222

∴4x713x26513135

x13x245当且仅当即x时等号成立.

475∴当x45时，函数y4x713x2的最大值为135. 521.试用柯西不等式求点P3,4到直线:2x3y50的距离. 解：∵直线上的任意一点Q(x,y)到定点P3,4的距离为∴由柯西不等式得

x32y42

x3y42x33y4即x3y413 492x3y185181322222222∴

x32y413

2当且仅当

x3y4且2x3y5即xy1时等号成立. 23∴当xy1时，

x32y4取最小值13即为所求的距离.

2练习2 一、选择题

1.设a,b,c为正数，且abc1，则（D）

A.

1111111113 B. 3 C. 9 D. abcabcabc1a1b1c9 2.设x,y,z为正数，且xyz1，则 (A )

A. x2y2z213 B. x2y2z213 C. x2y2z219 x2y2z219 3.求使y12xy322xy62达到最小值的实数x,y的值（A）

A．x5,y5 B．x5,y5 C．x3,y5 D．x1,y5263426 4.设a,b,c为正数，且abcA，则（D） A.111311131119abcA B. abcA C. abcA D. 1a1b1c9A

5.设xyz1，则2x23y2z2的最小值为（B）

A．

310 B．63711 C．11 D．10 D. 1116.式子abc的最小值为（A）

222a2b2c2A．9 B．10 C．12 D．18

222y1z11，则函数W2xyz16的取值范围为（D ） x7.设4916A．1040W1040 B．1041W1041 C．1840W1040 D．1841W1841 8.设a,b,c为正数且不全相等，判断M9222与N的大小（D） abcabbccaA．MN B．MN C．MN D．MN

111，则下式成立的是（B） xxx12nWxxx，U9.设x,x,,x为正数，

12n12n A．WUn B．WUn C．WUn D．WUn2222

10.设a,b,cR，则

abc的最小值为（C） bccaabA． B．2 C． D．3

cossin1，则（A） 11.已知,为锐角，且

sincos44223432A． B．

235 C． D． 4124222212.若5x6x7x4x1，则函数M3x2x5xx的最小值为（B）

12341234A．

7821525 B． C．3 D． 157823二、填空题

n1的大小关系为 . 213.设n2,3,,则123n与n答案：123nnn1 214.若a,b,c为实数，且abc1，则函数Uabbcca的取值范围

222为 . 答案：U1

1x2y3z1215.设x,y,zR且1，则x的最小值为 .答案：9

y2z316.若0a,b,c1且abc2，则函数Uabc的取值范围为 .222,2答案： 4317.实数x,y,z满足2x3y5z29，则函数U2x13y45z6的最大值为 . 答案：230

18.已知数据x,x,,x的平均数为6，标准差为2，则数据x,x,,x的平均数的

1210125取值范围为 .答案：62,62 三、解答题

19.已知正数x,y,z满足xyz1，求证：

⑴36

xyz⑵xyz

32223331x4y9z证明：⑴由柯西不等式得(xyz)xyz12336，

2149所以36

1x4y9z⑵由柯西不等式得

xyzxxyxyzxyz2222223333132yzz221312 ①

222xyz由均值不等式得3xyz

32即xyz3xyz ②

2222将①②两式相乘得到：

x2yz22xyz3x3yz

33又xyz1

xyz所以xyz

3222333aaaaaa20.设a,a,,a为实数，b,b,,b为正数，求证：

bbbbbb222212n12n12n12n12n12n证明：由柯西不等式得

aaabbb221212112nnbbb12n2n2naaabbb bbbaaa212n212n因为b,b,,b为正数，所以bbb0

12n12naaaaaa故

bbbbbb222212n12n12n12nabcd21.设a,b,c,d为正实数，且abcd4，证明：4ab

bcda22222证明：因为abcd4，要证原不等式成立，等价于证明

abcd4ababcd①

bcdaabcd22222事实上，

abcd(abcd)bcdaabb2ac2bbc222222cdd2ca2dda1111abbccddabcda22222 ②

2由柯西不等式得③

abbccddaabcdbcda abbccdda22222又由bccddaba知

abbccdda24ab ④

2由②③④可知①式成立，从而原不等式成立.

22.设a,b,c是周长为1的三角形的三条边长，求证：abbcca2221 81 2证明：设ayz,bxz,cxy，其中x,y,zR，则xyzabc12abbcca222yzxzxzxyxyyz222111111xyyzzx因为x,y,zR 222222331xyzxyzxyyzzx8421xyyzzx82222222222所以xyyzzx0，故abbcca2222221 822223.设a,b,c为ABC的三边长，求证：ababbcbccaca0

证明：因为a,b,c为ABC的三边，故存在正数x,y,z使得ayz,bxz,cxy 于是所证不等式等价于

yzzxyxzxxyzy

xyyzxz0整理后知只需证下式成立：

xyyzzxxyzxyz ①

333由柯西不等式得

xyzxyzxxyzyxyzzxyz2xyzyzxzxyxyyzzxzxy22222222333311311311222故①式成立，从而原不等式成立

第三讲 柯西不等式与排序不等式

一 二维形式的柯西不等式

我们共同探究了柯西不等式的几何背景，表示形式，得出其不同证明方法，同时也发现了很多值得我们进一步研究的有价值的问题.更重要的是我们通过自主探究，发现问题，解决问题，更多的体验到数学发展过程.数学是一门通过数学思想方法逐渐将问题化繁为简的科学，它有深刻的文化底蕴和内涵，我们更应该在今后的学习中不断的挖掘和发现，真正体验到数学学习带来的美感和快感.

正如教材编写者所说：重视引导学习方式和教学方式的改进，在目前的中学数学教学实践仍存在一些问题，就学生的学习而言，比较突出的就是被动的接受式的学习，教师偏重于灌输式的教学，启发式的教学原则做得不够，学生的问题意识不强，不能发现新情况新情景中的新问题，从而不能很好地解决问题，针对这种情况，教科书重视引导学生提出问题，教科书设置了许多探究栏目，鼓励学生主动探究，引导学生对于问题作左右类比，对于数学结论进行特殊化、作推广.例如，在证明了二维和三维的柯西不等式以后，就设置了一个探

究性问题“对比二维形式三维形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式吗”；再如“一般形式的三角不等式应该是怎样的如何应用一般形式的柯西不等式证明它请同学自己探究.”等等，这样的探究性问题在教科书中处处可见.