中考专题复习讲座（三）——几何综合题
四中 董学艳
一、几何的基本计算和证明问题（中等题）
1、在梯形ABCD中，AB∥CD，ABC90°，AB5，BC10，tanADC2． （1）求DC的长；
（2）E为梯形内一点，F为梯形外一点，若BFDE，FBCCDE，试判断△ECF的形状，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若BEEC，BE:EC4:3，求DE的长．
2、如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB//CD，AD=BC． 翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．已知CE⊥AB． （1）求证：EF//BD；
（2）若AB=7，CD=3，求线段EF的长．
AFDC
EB
3、已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直直径AB，垂足为M，AB=4，CD=23，点E在AB的延长线上，
33C且tanE。
ABOME（1） 求证：DE是⊙O的切线
（2） 将ΔODE平移，平移后所得的三角形记为ΔO’D’E’，
求当点E’与点C重合时，ΔO’D’E’与⊙O重合部分的面积。
二、用数学思想方法解几何综合题
在解决数学问题的时候，不仅离不开具体的数学知识，更离不开解决问题的策略、思想和方法。
数学思想想法方法是数学知识的重要组成部分，是由知识转化能力的桥梁。我们经常使用的有转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等。解决数学问题的关键是探求条件和结论之间的联系，找到解题思路，在思维上经常用到分析法和综合法。
1、如图ABC中，BC=a,AC=b,AB=c.若C90，如图（1），根据勾股定理，则a
1
2D
b2c。若ABC
2不是直角三角形，如图（2）和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2b2与c2的关系，并证明你的结论。
（1） (2) (3)
2、如图，直角坐标系中，已知点A(2，4)，B(5，0)，动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动Q从A
点出发沿AB向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs． (1)Q点的坐标为(＿＿＿，＿＿＿)（用含x的代数式表示） (2)当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形? (3)记PQ的中点为G．请你探求点G随点P，Q运动所形成的图形， 并说明理由.
三、探究性问题
探究性问题具有开放性、操作性、综合性的特点。在解答时，往往需要经历观察、实验、猜想、推理、反思等活动。
1.如图，点D、E分别是正三角形ABC，正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD,DB交AE于P点。 （1）求图(1)中，APD的度数
（2）图(2)中，APD的度数为 ; 图(3)中，APD的度数为 。
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形的情况。若能，写出推广问题和结论；若不能，
请说明理由。
2
2.(1)如图,等边ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边EDC连接AE.
求证：AEBC；
(2)如图:将（1）中等边ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作EDC改成相似于ABC。请问：是否仍有AEBC？证明你的结论。
3、我们给出如下定义：三角形三条中线的交点称为三角形的重心。一个三角形有且只有一个重心。可以证明三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。可以根据上述三角形重心的定义及性质知识解答下列问题：如图，∠B的平分线BE与BC边上的中线AD互相垂直，并且BE=AD=4， 求：（1）猜想AG与GD的数量关系，并说明理由； （2）求△ABC的三边长。
GBD
AEC4、我们给出如下定义：如果三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三
角形”。在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a,b,c。 （1）若∠A=2∠B，且∠A=60°，求证：ab(bc)。
（2）如果对于任意的倍角三角形ABC（如图），其中∠A=2∠B，关系式ab(bc)是否仍然成立？请
证明你的结论。
BCA225、如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m 和n ，将菱形的“接近度”定义为mn ，于是，mn
越小，菱形越接近于正方形．
3
①若菱形的一个内角为 70，则该菱形的“接近度”等于 ； ； ②当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形．
（2）设矩形相邻两条边长分别是a 和 b（a≤b ），将矩形的“接近度”定义为ab ，于是ab
越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．
四、关于几何变换的一些认识：
运用几何变换的观点来进行分析几何问题，可以使我们在添辅助线时减少盲目性，增强目的性，进而掌握一些添辅助线的规律。
有些几何问题，由于涉及的元素分散或交错，因而难以发现题设和结论间的关系。但若能适当地运用几何变换法，将图形的某些部分变换到适当的新位置，则常可使分散的元素集中起来。
1、如图四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E 在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与CBM的平分线BF相交于点F。 (1)如图（1），当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量的关系是 ； ②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ; ③请证明你的上述两个猜想。
（2）如图（2），当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此
时DE与EF有怎样的数量关系。
图1 图2
4
m n a b
2、如图，MON90，在MON的内部有一个正方形AOCD,点A、C分别在射线OM、ON
上，点B1是ON上的任意一点，在MON的内部作正方形AB1C1D1,连接CC1,猜一猜，C1CN的度数是多少？并证明你的结论。
3、正六边形ABCDEF，点M在AB边上，∠FMH=120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H. （1） 当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM=∠BMH；
（2） 当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，
并对猜想的结果加以证明.
4、如图1，以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，A点的坐标为(3，0)，C点的坐标为(0，4)．将矩形OABC绕O点逆时针旋转，使B点落在y轴的正半轴上，旋转后的矩形为OA1B1C1，BC，A1B1相交于点M． （1）求点B1的坐标与线段B1C的长；
（2）将图1中的矩形OA1B1C1沿y轴向上平移，如图2，矩形PA2B2C2是平移过程中的某一位置，
BC，A2B2相交于点M1，点P运动到C点停止．设点P运动的距离为x，矩形PA2B2C2与原矩形OABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)如图3，当点P运动到点C时，平移后的矩形为PA3B3C3．请你思考如何通过图形变换使矩形
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PA3B3C3与原矩形OABC重合，请简述你的做法．
yB3C3
C1B1yB2yA3M1Ｂ A2PＣ
Ｍ A1Ｂ C2Ｃ Ｃ(Ｐ) Ｂ Ｏ 图1 Ａ xＯ 图2
Ａ xＯ Ａ 图3 x五、动手操作：图案设计，折叠展开，割补图形，作出符合题意的图形
1.如图现有两个边长比为1：2的正方形ABCD和A/B/C/D/， 已知点B、C、B/、C/在同一直线上，且点C与点B/重合，请你利用这两个正方形，剪一刀通过平移、旋转等方法，拼出两个相似比为1：3的三角形 . 要求： （1）借助原图拼图 .
（2） 在图中画出截割线 . （3）指明相似的两个三角形．
2.四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点． (1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．
(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．
(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形AB CD的准等距点．
(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．
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