2013年全国高中数赛试题

2一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共分.

1.设集合A{2,0,1,3}，集合B{xxA,2xA}.则集合B中所有元素的和为 __________.

2.在平面直角坐标系xOy中，点A,B在抛物线y4x上，满足OAOB4.F是抛物线

2 的焦点，则SOFASOFB______________.

3.在ABC中，已知sinA10sinBsinC,cosA10cosBcosC，则atnA的值为_______. 4.已知正三棱锥PABC的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为__________. 5.设a,b为实数，函数f(x)axb满足：对任意x[0,1]，有f(x)1.则ab的最大值 为_________.

6.从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为_________. 7.若实数x,y满足x4y2xy，则x的取值范围是____________________. 8.已知数列{an}共有9项，其中a1a91，且对每个i{1,2,,8}，均有

ai11{2,1,}， ai2 则这样的数列的个数为_________.

二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.（本题满分16分）给定正数数列{xn}满足Sn2Sn1,n2,3,.这里Snx1xn. 证明：存在常数C0，使得xnC2, n1,2,

nx2y210.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为221 (ab0)，

ab A1,A2分别为椭圆的左、右顶点，F1,F2分别为椭圆的左、右焦点.P为椭圆上不同于 A1,A2的任意一点.若平面中两个点Q,R满足QA1PA1,QA2PA2,RF1PF1，

RF2PF2,试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明.

211.（本题满分20分）设函数f(x)axb，求所有的正实数对(a,b)，使得对任意实数 x,y，有f(xy)f(xy)f(x)f(y)