几何综合问题选讲

一、关于向量的应用：

向量具备的数形结合的特征，一方面使得它在处理几何的形方面的:平行、共线、垂直、夹角、距离、判断多边形形状等方面,既可以从几何意义入手,又可以从坐标运算入手;另一方面,也可以发掘代数问题的几何背景,转化为向量问题来处理.

要掌握的必备知识点有:

1.在处理平面几何问题时,要善于利用平面向量基本定理,把平面内的所有向量都用两个不共线的向量

a,b来表示,从而转化为a,b的运算;若能建系,则将相关点坐标化,转化为向量的坐标运算，即化”形”为”数”;

2.在几何问题中,利用平行四边形法则和三角形法则及向量共线定理等熟练掌握向量的分解组合;

3.熟练掌握关于平行、共线、垂直、夹角、模等的向量关系的非坐标和坐标表述. 4.点、图像的按向量平移.

例1.（08北京理10）已知向量a与b的夹角为120，且ab4，那么b(2ab)的值为_．答案：0

DO△ABCBC例2.（08北京理4）已知是所在平面内一点，为边中点，且2OAOBOC0，那么

（ ）

Ａ．AOOD Ｂ．AO2OD Ｃ．AO3OD Ｄ．2AOOD 答案：A

例3.（06江苏6）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足|MN||MP|MNNP ＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为

（A）y28x （B）y28x （C）y24x （D）y24x 答案: B简析:可直接用坐标形式化简即得答案,或用数量积公式的非坐标形式导出抛物线定义. 例4.若向量a(3,1),b(sinm,cos)(R),且a//b,则m的最小值______. 答案：-2

二、解析几何综合问题： （一）必备的基础知识点：

离心率问题圆锥曲线的定义应用和标准方程的探求 几何性质：

焦点三角形问题 1

位置关系问题弦长问题：含焦点弦的转化直线与圆锥曲线

弦的中点问题对称问题：如圆锥曲线上存在关于某直线对称的两点（二）常见的解题方法和技巧：

二次方程的判别式和韦达定理 常用到“设而不求” 设点代入，构建方程组求解：如代点作差，解决弦的中点问题。（三）数学思想方法：数形结合的思想 方程和函数的思想 分类讨论的思想

1

例5.（分类讨论和转化：2004江苏卷21）已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是F（-m,0）(m

2是大于0的常数).

(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M. 若MQ2QF，求直线l的斜率.

x2y21答案：(Ⅰ) ；（2）分类讨论转化为定比分点：MQ2QF时,解出Q点坐标代入椭圆方224m3m程，得k26;同理当MQ2QF时,k0.故直线l的斜率是0，26.

（四）综合问题的几种常规类型：

1．圆锥曲线的定义和标准方程、几何性质：

对于圆锥曲线的方程探求，把握好待定系数法和轨迹法，对于定义要注意正、逆两方面的应用，准确理解基本量，会用a、b、c来表示，特别关注离心率的求法，关注平面几何性质和利用定义的简化解题功能。

例6.(2008重庆卷21)如图（21），M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：PMPN6.

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

PN＝（Ⅱ）若PM·2,求点P的坐标.

1cosMPNx2y21.(定义法) 答案: (Ⅰ)95(Ⅱ) (335335335335,)、（，-）、（-，）或（，-）.说明:关于焦点三角形,22222222常结合:圆锥曲线的第一定义和三角形的余弦定理求解.题中由此推导出:

2

(PMPN)212,满足双曲线定义,故点P也在双曲线上,联立椭圆方程可求解.

x2y25例7.（2008湖南卷12）已知椭圆221（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为l,离心率e=.过顶

ab51 2M总在椭圆内部，则椭例8.（2008江西卷7）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1MF20的点

点A(0,b)作AMl,垂足为M，则直线FM的斜率等于 . 答案:

圆离心率的取值范围是 （ ） A．(0,1) B．(0,] C．(0,1222) D．[,1) 答案：C 22例9.（2007海南宁夏卷13）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ． 答案:3 说明:作出图,数形结合利用相似一举可得. 2．关于轨迹问题、直线和圆锥曲线：

关于动点轨迹方程的求法，把握好常见方法：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点法；（4）参数法。北京卷在轨迹方程方面：05年考察了直接法、06、07、08年均考察了定义法，考察对圆锥曲线定义的灵活准确的理解。

例10.已知两定点F直线ykx1与1(2,0),F2(2,0),满足条件PF2PF12点P的轨迹是曲线E，曲线E交于A、B两点，如果|AB|=63，且在曲线E上存在点C，使OAOBmOC的面积S。

答案：m=4，S=3简析：（1）注意到所求的曲线E是双曲线的左支，不是完整的双曲线，这在06、07北京卷的解析答题中均有体现，突出对定义理解的准确性；（2）直线与双曲线一支相交于两点，通法是将他们的方程联立消参后转化为一元二次方程的根的分布问题，利用判别式、韦达定理来求解，体现出的是方程的思想；（3）在曲线上存在一点，常利用点在线上带入曲线方程求解或转化。如题中：可设

,求m的值和ABCA(x1,y1),B(x2,y2),C(xc,yc),则由

OAOBmOC,得(x1,y1)(x2,y2)m(xc,yc),故xcC(458,)代入双曲线方程即可求得m=4。 mmx1x2yy2,yc1,结合韦达定理，将mm例11.（2008年北京市西城二模19）已知抛物线的方程为x22py，F是抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2，记l1和l2相交于点M。

（Ⅰ）证明： l1⊥ l2；

3

（Ⅱ）求点M的轨迹方程。 答案：（Ⅱ）y=-1/2

3．最值问题：多以函数的思想，通过构建目标函数，求出目标最值。常见类型有：二次函数在给定区间上的最值、均值不等式、导数法，注意不要忽视函数的自变量的取值范围的讨论。 例12.双曲线C以2x3y0为渐近线且过A（3，2） （1）求双曲线C的方程；

（2）已知动点P与曲线C的两个焦点所连的线段长的和为定长，且和这两条线段夹角的余弦最小值为-1/9,求动点P的轨迹方程；

（3）在x轴的正半轴上是否存在一点Q，使得Q与P的轨迹方程上的点的最短距离为1？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由。

x2y2x2y21（利用共渐近线的双曲线系方程做）1（利用余弦定理和均值不等答案：（1）；（2）

3294式求得P点位于短轴端点时，cosF；（3）设 Q（a,0）(a>0) 1PF2有最小值）

x2y21。 ,P(x,y)是轨迹上的任一点，则94x25222所以转化为PQ(xa)y(xa)4(1)x22axa24在x[3,3]99 的最值问题。由于对称轴x=9a与[3,3]的关系不确定，注意分类讨论。5同理：（2008年北京卷理19）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x23y24上，对角线BD所在直线的斜率为1．

1)时，求直线AC的方程； （Ⅰ）当直线BD过点(0，（Ⅱ）当ABC60时，求菱形ABCD面积的最大值．

答案：（Ⅰ）xy20；（2）43.第二问：在设出直线AC的方程为yxn后．关注菱形的的平

面几何特征，利用弦长公式将菱形ABCD面积转化为二次函数：Sf(n)最值（4343n，由3312n20解得．）（几何问题，要有几何意识）

例13.（2008年西城1月期末）设点F0,

33PFy，动圆经过点且和直线相切 .记动圆的圆心P224

的轨迹为曲线W. （Ⅰ）求曲线W的方程；

（Ⅱ）过点F作互相垂直的直线l1,l2，分别交曲线W于A,B和C,D. 求四边形ACBD面积的最小值 . （Ⅰ）解：定义法可求出,抛物线W的方程是x26y. y （Ⅱ）解：依题意，直线l1,l2的斜率存在且不为0，

DA3， 213由l1l2 得l2的方程为yx.

k23将ykx代入x26y， 化简得x26kx90.

2设直线l1的方程为ykxCOBx B(x2，y2)， 则x1x26k， x1x29. 设A(x1，y1)，  |AB|(x1x2)2(y1y2)2(1k2)[(x1x2)24x1x2]6(k21)，1同理可得|CD|621.

k 四边形ACBD的面积S当且仅当 k2111|AB||CD|18(k21)2118k22272， 2kk1 即k1时，Smin72. 故四边形ACBD面积的最小值是72. ，2k说明：与焦点三角形相似，焦点四边形（即圆锥曲线的内接四边形的对角线经过圆锥曲线的焦点）是近几年高考中频频出现，这类问题往往将考察圆锥曲线的性质与最值结合起来，考察学生的综合运用知识的能力。如05、07的全国高考试题中均有出现，其最值的求法依然转化为目标函数最值。 4．定值问题：

在几何问题中，有些问题与参数无关，这就构成了定值问题，这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少；或将该问题涉及到的几何式转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的。

例14.（2007重庆卷文21）如图，倾斜角为a的直线经过抛物线y28x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

题（21）图

5

（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

答案：（Ⅰ）（2，0），x2；（Ⅱ）解：设A(xA,yA)，B(xB,yB)，直线AB的斜率为ktana，则直线方程为yk(x2)。将此式代入y8x,得kx4(k2)x4k0，故xAxB直线m与AB的交点为E(xE,yE)，则

xAxB2(k22)xE， 22k4yEk(xE2)，

k22222k(k22)k2。记

412k24. x故直线m的方程为y2kkk令y=0,得P的横坐标xP|FP|xP24(k21)k22k24k4sin2a4sin2a24故

。

4·2sin2asin2a8为定值。

从而|FP||FP|cos2a(1cos2a)例15.（2007山东卷理21）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l:ykxm与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

x2y221;（Ⅱ）定点为(,0).答案：（Ⅰ） 简析：以AB为直径的圆过椭圆的右顶点

743D(2,0),kADkBD1，y1y21，y1y2x1x22(x1x2)40，由韦达定理，得出mx12x222k，在满足判别式大于0的前提下，代入直线方程，整理为点斜式或斜截7与k的关系m12k,m2式，可求出直线过的定点。

例16.（2007湖南理20）已知双曲线xy2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．

22O为坐标原点）（I）若动点M满足FM，求点M的轨迹方程； F1AF1BFO11（其中

6

（II）在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理

由．

解：由条件知F1(2，0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

解法一：（I）设M(x，y)，则则FM(x2，y)，F1A(x12，y1)， 1F1B(x22，y2)，FO(2，0)，由FMF1AF1BFO111得 x2x1x26，x1x2x4，即 y1y2yyy1y2于是AB的中点坐标为x4y，． 22yyy2yy2(x1x2)． 当AB不与x轴垂直时，1，即y1y2x4x8x1x22x82222又因为A，B两点在双曲线上，所以x1y122，x2y22，两式相减得

(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，即(x1x2)(x4)(y1y2)y．

将y1y2y(x1x2)代入上式，化简得(x6)2y24． x8当AB与x轴垂直时，x1x22，求得M(8，0)，也满足上述方程． 所以点M的轨迹方程是(x6)2y24．

（II）假设在x轴上存在定点C(m，0)，使CACB为常数．

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是yk(x2)(k1)． 代入x2y22有(1k2)x24k2x(4k22)0．

4k24k22则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1x22，x1x22，

k1k1于是CACBCACB(x1m)(x2m)k2(x12)(x22)

(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)4k2m2 (k21)(4k22)4k2(2k2m)4k2m2 22k1k1

7

2(12m)k2244m22． m2(12m)m22k1k1因为CACB是与k无关的常数，所以44m0，即m1，此时CACB=1．

当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2，2)，(2，2)， 此时CACB(1,2)(1,2)1.

故在x轴上存在定点C(1，0)，使CACB为常数．

x1x2x4，解法二：（I）同解法一的（I）有

yyy12当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是yk(x2)(k1)． 代入x2y22有(1k2)x24k2x(4k22)0．

4k2则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1x22．

k14k24k． y1y2k(x1x24)k42k1k14k2由①②③得x42．„„„„„„„„④

k1y4k．„„„„„„„„⑤ k21当k0时，y0，由④⑤得，

x4k，将其代入⑤有 yx44y(x4)y22y．整理得(x6)y4． 222(x4)(x4)y1y24当k0时，点M的坐标为(4，0)，满足上述方程．

当AB与x轴垂直时，x1x22，求得M(8，0)，也满足上述方程． 故点M的轨迹方程是(x6)y4．

（II）假设在x轴上存在定点点C(m，0)，使CACB为常数，

22 8

4k24k22当AB不与x轴垂直时，由（I）有x1x221，x1x22．

kk1以上同解法一的（II）． 5．参数变量的范围问题：

解题的基本方法是依据题设条件，建立含有参变量的函数关系式或不等式，然后确定参变量的取值范围。其主要类型有以下几类：

（1）由圆锥曲线的定义，标准方程所涉及的参变量范围。这类问题比较简单，其主要依据圆锥曲线的第一、第二定义及标准方程对曲线中各元素的范围来建立不等式，以确定参变量范围。

（2）由直线和圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系所涉及到的参变量范围。一般来说，对于直线和“完整”的圆锥曲线之间的位置关系，某些“完整”的圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系中涉及到的公共点个数的判定，可借助于一元二次方程的判别式Δ及根的分布来构造含参变量的不等式，从而求出参变量范围；而对于“非完整”的圆锥曲线（即给出的仅是圆锥曲线的一部分），则多采用数形结合的方法来求解。

（3）可转化为判别式Δ定范围问题,这类问题往往有直线与圆锥曲线交于两个点的背景。如:已知曲线上存在对称点,求参变量范围问题.

例17.如果抛物线:y=-4(x-1)上恒存在关于直线:y=x+m对称的两点,求m的取值范围.

答案：m2

例18.（2005全国卷III理 21)设Ax1，y1，Bx2，y2两点在抛物线y2x上，l是AB的垂直平分线。

22

（Ⅰ）当且仅当x1x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论； （Ⅱ）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围。

答案：（Ⅰ）x1x20；（Ⅱ）9， 32（4）利用题中其他变量的范围求参变量范围.

这类解法的特点是利用题中给出的某个已知变量的范围、或利用圆锥曲线的范围(即圆锥曲线上的点的横纵坐标的有界性) 、或由已知条件构造出某个变量的范围,然后找出这个变量与欲求的参变量之间的关系,从而得到含参变量的不等式,求出参变量范围. （5）.构造函数法.

这类解法的特点是:通过题中的已知条件,建立欲求参变量的目标函数,利用函数的性质、值域及最值的求法等,来求得参变量范围;或是有目的性的将欲求的参变量与其他变量分离开来,再利用1、2中的方法求解,常见的如:求离心率、长轴、短轴的范围等.

9

x2例19.（2007四川理20）设F1、F2分别是椭圆y21的左、右焦点.

4（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF2的最大值和最小值; 1·PF（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.

x21222x133x28 答案：（Ⅰ）设Px,y，则PFPFxy312442 因为x2,2，故当x0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1PF2有最小值

1当x2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1PF2有最大值

（Ⅱ）2k33或简析：构建关于k的不等式，关注两点：一是直线l与椭圆交于不k222

同的两点，故有0;二是∠AOB为锐角，可得cos∠AOB0，通过向量的夹角公式转化为坐标形式，再结合韦达定理可得k的取值范围。

注意提法：如∠AOB为锐角可改为“OAOBAB”，做法一样。（见2008福建卷21） 6．探索性问题：

解析几何中，这类问题最常见的一类是对结论的存在性进行探索，解答这类问题，往往都从承认结论，便结论为条件出发，然后通过特例归纳，或有演绎推理证明其合理性。即为：假设——推理——肯定（或否定）假设——证明——得出结论。

例20.（2008陕西卷20）已知抛物线C：y2x2，直线ykx2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．

（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；

222（Ⅱ）是否存在实数k使NANB0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

x1x2k，则由导数的几何意义，24ky2x2，y4x，抛物线在点N处的切线l的斜率为4k，

4l∥AB．k2k（2）。简析：假设存在实数，通过NANB0坐标化，构

答案：（Ⅰ）可由韦达定理求出xNxM建含k的方程，解出k值满足0即可，思路清晰，一气呵成。

y M 2 B 1 O N 1 x A 10

x2例21.（2007宁夏理19）在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆y212有两个不同的交点P和Q． （I）求k的取值范围；

（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OPOQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由． 答案：（Ⅰ）∞，22； ，∞22（Ⅱ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OPOQ(x1x2，y1y2)，

由方程①，x1x242k．② 又y1y2k(x1x2)22． ③ 212k而A(2，，0)B(01，)，AB(21，)． 所以OPOQ与AB共线等价于x1x22(y1y2)， 将②③代入上式，解得k222． 由（Ⅰ）知k或k，故没有符合题意的常数k．

222例22.（05福建卷理19）已知方向向量为v(1,3)的直线l过点（0,23）和椭圆

x2y2C:221(ab0)的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.

ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足OMON ∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.

46cot 3x2y21. 答案：（Ⅰ）62

11

（II）所求直线方程为y323x, 33或y323x,或x2.通法简析： 3344cosMON6cotMON,即 |OM||ON|cosMON60, 33sinMON4246,SOMN6.|MN|d6, 333OMON

|OM||ON|sinMON转化为结合弦长公式和点到直线距离，构建含k的方程解出k。

7．与其它知识点的交汇：

关于平面向量与解析几何的综合:注意平面向量的工具性作用,特别是用向量来处理位置关系中的平行、三点共线、垂直、夹角等问题的独特作用,如我们熟悉的:

（1）CACB，以AB为直径的圆经过C点，转化为CACB0，坐标化后可结合韦达定理； （2）证明：AOB为锐角，转化为证明OAOB0且OAOB1；AOB为钝角，转化为证明

OAOB0且OAOB1；

（3）证明：FAFB，转化为证明FA与FB共线，坐标化为可证明x1y2x2y10即可。

等等，因此，在解析几何中位置关系等相关问题可在向量的背景下设计问题，要读懂理解向量的几何意义及其代数转化和解析的关系。一般说来,需要将向量用点的坐标表示,利用向量的有关法则、性智力出方程,从而使问题解决.

例23.（2008年北京市朝阳一模19）已知曲线W上的动点M到点F(1,0)的距离等于它到直线x1的距离．过点P(1,0)任作一条直线l与曲线W交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C. （Ⅰ）求曲线W的方程；

（Ⅱ）求证FCFB(R)；

（Ⅲ）求PBC面积S的取值范围．

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例24.已知等差数列an的前n项和为Sn,若OBa1OAa200OC,且A、B、C三点共线(该直线不过点O),则S200等于( )

A.100 B.101 C.200 D.201

答案:A 简析: 由A、B、C三点共线,可知a1a2001,所以S200=200(a1a200)/2100

x2y21的左、右焦点. 例25.（2007四川理20）（处理夹角问题）设F1、F2分别是椭圆4（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF2的最大值和最小值; 1·PF（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.

解：（Ⅰ）可求出PF1PF23x,y,x213x,yxy3x133x28

442222 因为x2,2，故当x0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1PF2有最小值

1当x2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1PF2有最大值

（Ⅱ）转化为:0A0B90cosA0B0OAOB0 ∴OAOBx1x2y1y20

00联立0,得2k33或k2 22（同2008海淀区高三查漏补缺试题11（2）：证明角0

2）

y21的左、右焦点．若点P在双曲线上，且PF1PF20,，则例26．设F1，F2分别是双曲线x9PF1PF2（ ） 答案: 数形结合,B

2A．10

B．210 C．5

D．25 13

三.关于立体几何中的轨迹问题和最值问题:

例27．(04北京)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若PA1 到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 ( )

A． A直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 答案：D

变式：若将“P到直线BC与直线C1D1的距离相等”改为“P到直线BC与直线C1D1的距离之比为1：2(或2：1)”， 则动点P的轨迹所在的曲线是______.

答案：椭圆 (双曲线).

例28．(06北京)平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是 ( )

A.一条直线 B．一个圆 C．一个椭圆 D．双曲线的一支 答案：A

例29．(04重庆)若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是：( )

A P B A

C B

A A P C

B

C

C

B

D A P C

α B

C

l

A

A D B

D1 B1 P C C1

P B

答案：D

P作垂直于平面例30．(08北京8)如图，动点P在正方体ABCDA1BC11D1的对角线BD1上，过点

BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BPx，MNy，则函数yf(x)的图象大致是

（ ）

D1 A1 D M C1

B1 P N C B y y y y O A． x O B． x O C． x O D． x 答案：B

A

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