2020高考二轮复习立体几何

第1讲 空间几何体的三视图、表面积及体积

[全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 空间几何体的结构特征、直观图、几何运算、数学文化·T16 全国卷Ⅲ 空间两直线的位置关系的判定·T8 简单几何体的组合体、长方体和棱锥的体积·T16 三视图与数学文化·T3 与外接球有关的空间几何体体积的最值问题·T10 球的内接圆柱、圆柱的体积的计算·T8 2019 三棱锥的外接球、球的体积·T12 空间几何体的三视2018 图、直观图及最短路径问题·T7 空间几何体的三视图2017 与直观图、面积的计算·T7 圆锥的性质及侧面积的计算·T16 空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T4 (1)“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面位置关系(特别是平行与垂直)．

(2)考查一个小题时，本小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第12或16题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．

考点一 空间几何体的三视图、直观图与截面图

[例1] (1)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如

图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )

(2)(2019·江西八所重点中考)某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长的棱长与最短的棱长的比值是( )

A．

5

2

B．2 3D．

2

35C．

5

(3)(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )

33A．

432C．

4

1.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为( )

A．217 C．3

2．已知球O是正三棱锥A­BCD的外接球，BC＝3，AB＝23，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是________．

考点二 几何体的表面积与体积 题型一 求空间几何体的表面积

[例2] (1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形ABCD为矩形，棱EF∥AB.若此几何体中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积为( )

A．83 C．62＋23

B．8＋83 D．8＋62＋23 B．25 D．2 23

B．

3D．

3 2

(2)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有倚壁外角堆米，下周九十尺，高十二尺．”其意思为：在屋外墙角处堆放米(其三视图如图所示)，米堆底部的弧长为90尺，米堆的高为12尺．圆周率约为3.若将此堆米用草席盖上，则此草席的面积至少约为(计算结果保留整数，如544≈23，550≈23)( )

A．250平方尺 C．1 035平方尺

题型二 求空间几何体的体积

[例3] (1)(2019·天津高考)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，

侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．

(2)(2019·江西省五校协作体试题)某几何体的三视图如图所示，正视图是一个上底为2，下底为4的直角梯形，俯视图是一个边长为4的等边三角形，则该几何体的体积为______．

B．990平方尺 D．518平方尺

1．(2019·重庆市学业质量调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

32128

A. B． C. 333

2．已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱，侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )

A．3034 C．3034＋135

B．6034 D．135 160

D．

3

3．已知直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都是1，∠ABC＝60°，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，点H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M­C1O1H的体积的最小值为________．

考点三 与球有关的切、接问题 题型一 外接球

[例4] (2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P­ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )

A．86π B．46π C．26π D．6π

题型二 内切球

[例5] 已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该三棱

7

锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与

8该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( ) 7π4π2πA. B． C. 633

题型三 与球有关的最值问题

[例6] (2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为

等边三角形且其面积为93，则三棱锥D­ABC体积的最大值为( )

A．123 C．243

B．183 D．543

1．已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，

则这个球的体积等于( ) 8

A．π

3C．16π

32B．π

3D．32π πD．

2

2．(2019·福建五校第二次联考)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的直径为______．

3．已知四棱锥S­ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16＋163，则球O的体积为______．

4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )

2π4π

A．2π＋4 B．4π＋2 C.＋4 D．＋8

33

【课后专项练习】

A组

一、选择题

1．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为( )

2．(2019·福州市质量检测)棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1木块的直观图如图所示，平面α过点D且平行于平面ACD1，则该木块在平面α内的正投影面积是( )

A.3 C.2

3

B．3

2D．1

3．已知矩形ABCD，AB＝2BC，把这个矩形分别以AB，BC所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为S1，S2，则S1与S2的比值等于( )

1

A. B．1 C．2 2

D．4

4．设球O是正方体ABCD­A1B1C1D1的内切球，若平面ACD1截球O所得的截面面积为 6π，则球O的半径为( )

33A. B．3 C. 22

5．(2019·武汉市调研测试)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M为CD的中点，则三棱锥A­BC1M 的体积VA­BC1M＝( )

1A. 21C. 6

6．(2019·武汉市调研测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

1B．

41D．

12D．3

2A.π 3C．2π

7．在三棱锥A­BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为

236

，，，则该三棱锥的体积为( ) 222

B．

6

B．π

3D．25π

A.6 C．6

D．26

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )

A．π πC. 2

9．若一个球与四面体的六条棱都相切，则称此球为四面体的棱切球．已知正四面体的棱长

3πB．

4πD．

4

为2，则它的棱切球的体积为( )

A．

3π 54

πB．

6D．

3π 2

πC．

3

10．已知点A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝3，AC＝3.若三棱锥D­ABC体积的最大33值为，则球O的表面积为( )

4

A．36π C．12π

B．16π 16D．π

3

11．已知一个半径为7的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则正三棱柱的体积是( )

A．18 C．12

B．16 D．8

12.(2019·福州市质量检测)如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( )

3πA. 43πC. 2

二、填空题

13．(2019·长春市质量监测(一))已知一所有棱长都是2的三棱锥，则该三棱锥的体积为______．

14.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M­EFGH的体积为______．

15．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为______．

B．2π 9πD．

4

16．已知三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝8.若平面ABC截球O所得截面的面积为9π，则球O的表面积为______．

B组

1.(2019·合肥市第二次质量检测)如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有( )

A．2对 C．4对

B．3对 D．5对

BP1

2．在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且＝，M为线段B1C1

PD12上的动点，则三棱锥M­PBC的体积为( )

A．1 9C. 2

3B．

2

D．与M点的位置有关

3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，点N为线段CC1的中点，若平面AMN截正方体ABCD­A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM的取值范围为( )

10， A.31C.2，1

1

0， B．212D．2，3

4．已知直三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( )

A．22 C．23

B．3 D．4

5．(2019·郑州市第二次质量预测)在△ABC中，已知AB＝23，BC＝26，∠ABC＝45°，D是边AC上的一点，将△ABD沿BD折叠，得到三棱锥A­BCD，若该三棱锥的顶点A在底面BCD上的射影M在线段BC上，设BM＝x，则x的取值范围是( )

A．(0，23) C．(6，23)

B．(3，6) D．(23，26)

6.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D为棱AA1的中点．若AA1＝4，AB＝2，则四棱锥B­ACC1D的体积为________．

7．已知在正四棱锥S­ABCD中，SA＝63，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________．

8．(2019·河南八市重点高中联盟测评改编)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为________．

第2讲 空间位置关系的判断与证明

[全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 面面平行的判定·T7 2019 线面平行的证明·T18(1) 线面垂直的证明·T17(1) 求异面直线所成的角·T9 线面垂直的证明·T20(1) 求异面直线所成的2017 面面垂直的证明·T18(1) 角·T10 线面平行的证明·T19(1) 圆锥、空间线线角的求解·T16 面面垂直的证明·T19(1) 面面垂直的证明·T19(1) 全国卷Ⅲ 直线与直线位置关系的判定·T8 面面垂直的证明·T19(1) 直线与平面所成的角、正方2018 体的截面·T12 面面垂直的证明·T18(1) (1)高考对此部分的命题较为稳定，一般为“一小一大”或“一大”，即一道选择题(或填空题)和一道解答题或只考一道解答题．

(2)选择题一般在第9～11题的位置，填空题一般在第14题的位置，多考查线面位置关系的判断，难度较小．

(3)解答题多出现在第18或19题的第一问的位置，考查空间中平行或垂直关系的证明，难度中等．

考点一 空间点、线、面的位置关系

1.[命题真假的判定]已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题： ①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l； ③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β. 其中正确的命题是( ) A．①④ C．①②

2.[判断直线与直线的位置关系](2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )

A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

B．③④ D．①③

3.[线面垂直、面面垂直的判定]如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( )

A．AG⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF

4.[求异面直线所成的角](2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )

A．C．

1.[与充要条件交汇](2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( ) A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面

2.[与命题的交汇](2019·北京高考)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____________．

3.[线面角与其他问题的交汇](2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角7

的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为

8

2 25 2

B．D．

3 27 2

B．AH⊥平面EFH D．HG⊥平面AEF

________．

考点二 空间平行、垂直关系的证明

[例1] 如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

(1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD.

1.如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥1

BC，PA⊥AB，CD⊥AD，BC＝CD＝AD.

2

求证：(1)PA⊥CD； (2)平面PBD⊥平面PAB.

2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．

求证：(1)BE∥平面DMF； (2)平面BDE∥平面MNG.

考点三 平面图形中的折叠问题

1

[例2] 如图①，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝2，

2E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，如图②.在图②所示的几何体D­ABC中．

(1)求证：BC⊥平面ACD；

(2)点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F­BCE的体积．

1.如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分别在线段BC，AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF，如图②.

(1)求证：NC∥平面MFD； (2)若EC＝3，求证：ND⊥FC； (3)求四面体NEFD体积的最大值．

2.如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC.

【课后专项练习】

A组

一、选择题

1．设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( ) A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥α C．若a⊥α，a⊥b，则b∥α D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α

2．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

3.如图，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )

A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BCD

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE

4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；

②若m⊥α，m⊥β，则α∥β； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β. 其中正确的命题是( ) A．①② C．①④

5．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )

1A．

5C．

6.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于( )

A．2 C．4

二、填空题

7．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ的长为________．

8.如图，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于点E，AF⊥DC交DC于点F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D­AEF体积的最大值为________．

9．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2.过点A1作平面α与AB，AD分别交于M，N两点，若AA1与平面α所成的角为45°，则截面A1MN面积的最小值是________．

B．3 D．5

5

5

B．D．

5 62 2B．②③ D．②④

三、解答题

10．(2019·全国卷Ⅲ)图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②.

(1)证明：图②中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； (2)求图②中的四边形ACGD的面积．

11.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．

求证：(1)AF∥平面BCE； (2)平面BCE⊥平面CDE.

12．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．

(1)求证：AB⊥平面ADC；

(2)若AD＝1，AC与其在平面ABD内的正投影所成角的正切值为6，求点B到平面ADE的距离．

B组

1．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，AB＝A1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的点，且AA1⊥CM.

(1)证明：MN∥平面ABC；

(2)若AB⊥A1B，求二面角A­CM­N的余弦值．

2.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． (1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；

(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．

3．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝

π1

，AB＝BC＝AD＝a，E是AD22

的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1­BCDE.

(1)证明：CD⊥平面A1OC；

(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1­BCDE的体积为362，求a的值．

4．(2019·天津高考)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3.

(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD； (2)求证：PA⊥平面PCD；

(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．

第3讲 立体几何中的向量方法*

[全国卷3年考情分析] 年份 2019 全国卷Ⅰ 二面角的正弦值的求解·T18 线面角的正弦值的求解·T18(2) 二面角的余弦值的求解·T18(2) 全国卷Ⅱ 二面角的正弦值的求解·T17 二面角、线面角的正弦值的求解·T20(2) 二面角的余弦值的求解·T19(2) 全国卷Ⅲ 二面角的大小的求解·T19 二面角的正弦值的求解·T19(2) 二面角的余弦值的求解·T19(2) 2018 2017 高考对此部分的命题较为稳定，一般为解答题，多出现在第18或19题的第二问的位置，考查利用空间向量求异面直线所成的角、线面角或二面角，难度中等偏上．

考点一 利用空间向量证明空间位置关系

[例1] 如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：

(1)BE⊥DC； (2)BE∥平面PAD； (3)平面PCD⊥平面PAD.

在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：

(1)B1D⊥平面ABD； (2)平面EGF∥平面ABD.

考点二 利用空间向量求空间角

题型一 求直线与直线所成的角

[例2] (1)已知△ABC与△BCD均为正三角形，且AB＝4.若平面ABC⊥平面BCD，且异面直线AB和CD所成的角为θ，则cos θ＝( )

A．－

15

4

B．

15 4

1C．－

41D．

4

(2)(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最大值为60°.

其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)

题型二 求直线与平面所成的角

[例3] (2019·浙江高考)如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．

(1)证明：EF⊥BC；

(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．

题型三 求二面角

[例4] (2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

(1)证明：MN∥平面C1DE； (2)求二面角A­MA1­N的正弦值．

1.(2019·江西省五校协作体试题)如图，圆锥的底面直径AB＝4，高2π

OC＝22，D为底面圆周上的一点，且∠AOD＝，则直线AD与BC

3所成的角为( )

ππ5ππA. B. C. D. 63122

2．(2019·天津高考)如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.

(1)求证：BF∥平面ADE；

(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； 1

(3)若二面角E­BD­F的余弦值为，求线段CF的长．

3

考点三 利用空间向量解决探索性问题

[例5] 如图，四棱锥P­ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E是棱PD的中点，点F是PC的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)若四边形ABCD为正方形，探究在什么条件下，二面角C­AF­D大小为60°？

1．(2019·湖南省湘东六校联考)如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．

(1)证明：直线BC∥平面OEF；

313

(2)在线段DF上是否存在一点M，使得二面角M­OE­D的余弦值是若不存在，

13请说明理由； 若存在，请求出M点所在的位置．

2.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.

(1)求证：MN∥平面BDE； (2)求二面角C­EM­N的正弦值；

(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为求线段AH的长．

7，21

【课后专项练习】

1．(2019·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

(1)证明：BE⊥平面EB1C1；

(2)若AE＝A1E，求二面角B­EC­C1的正弦值．

2.如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k＞0)，侧棱AA1⊥底面ABCD.

(1)证明：CD⊥平面ADD1A1；

6

(2)若直线AA1与平面AB1C所成的角的正弦值为，求k的值．

7

3.已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是梯形，BC∥AD，AB⊥AD，且AB＝BC＝1，AD＝2，顶点P在平面ABCD内的射影H在AD上，PA⊥PD.

(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若直线AC与PD所成角为60°，求二面角A­PC­D的余弦值．

4.(2019·安徽五校联盟第二次质检)如图，在五面体ABCDFE中，底面ABCD为矩形，EF∥AB，BC⊥FD，过BC的平面交棱FD于P，交棱FA于Q.

(1)证明：PQ∥平面ABCD；

(2)若CD⊥BE，EF＝EC，CD＝2EF，BC＝tEF，求平面ADF与平面BCE所成锐二面角的大小．

5．(2019·东北四市联合体模拟(一))如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．

(1)证明：AE⊥PB；

(2)当四棱锥P­ABCE的体积最大时，求二面角A­PE­C的余弦值．

6.(2019·广州市综合检测(一))如图，在三棱锥A­BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P是AC的中点，连接BP，DP.

(1)证明：平面ACD⊥平面BDP；

(2)若BD＝6，且二面角A­BD­C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．

7.(2019·长沙市统一模拟考试)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝90°，AD＝3，BE＝3，CF＝4，EF＝2.

(1)求证：AE∥平面DCF；

(2)当AB的长为何值时，二面角A­EF­C的大小为60°？

8．在平行四边形PABC中，PA＝4，PC＝22，∠P＝45°，D是PA的中点(如图1)．将△PCD沿CD折起到图2中△P1CD的位置，得到四棱锥P1­ABCD.

(1)将△PCD沿CD折起的过程中，CD⊥平面P1DA是否成立？请证明你的结论． (2)若P1D与平面ABCD所成的角为60°，且△P1DA为锐角三角形，求平面P1AD和平面P1BC所成角的余弦值．

9. (2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且二面角M­PA­C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．