2008江苏高考数学wsq

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2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数 学

一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．

1.

fxcosx6的最小正周期为

5，其中0，则= ▲ ．

2．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ． 3.

1i1i表示为abia,bR，则ab2= ▲ ．

4.A=

xx13x7，则

的夹角为120，

A

Z 的元素的个数 ▲ ．

5.a，b

a1，b3 则5ab ▲ ．

6.在平面直角坐标系

xoy中，设

D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的

区域，向D 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是 ▲ ．

7.某地区为了解70-80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随即选择了50为老人进行调查，下表是这50为老人日睡眠时间的频率分布表。

序号 （i） 1 2 3 4 5 分组 （睡眠时间） [4，5] [5，6] [6，7] [7，8] [8，9] 组中值 （Gi） 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 频数 （人数） 6 10 20 10 4 频率 （Fi） 0.12 0.20 0.40 0.20 0.08 在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值是 ▲ 。 8.设直线

y12xb是曲线

ylnxx0的一条切线，则实数b＝ ▲ ．

9在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上的一点（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别与边AC , AB 交于点E、F ，某同学已正确求得OE的方程：

1111xy0，请你完成直线bcpa10．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

OF的方程：（ ▲ ）

11xy0.

pa第 1 页 共 5 页

． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，数阵中第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．

11.已知

x,y,zR，满足

x2y3z0，则

y2的最小值是 ▲ ．

xz12.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆

xa22yb221( ab0)的焦距为2c，以点O为圆心，a为半径作圆M，若过点P

a2,0所作圆c

M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为e= ▲ ．

13．满足条件AB=2, AC=32BC 的三角形ABC的面积的最大值是 ▲ ．

14.设函数

，若对于任意x1,1，都有fx≥0 成立，则实数afxax3x1（x∈R）

= ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．设平面直角坐标系圆记为C．

（Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；

（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．

19.（Ⅰ）设a1,a2,来的顺序）是等比数列： ①当n =4时，求

xoy中，设二次函数fxx2xbxR的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的

2,an是各项均不为零的等差数列（n4），且公差d0，若将此数列删去某一项得到的数列（按原

a1d的数值；②求n的所有可能值；

（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列b1,b2,序）都不能组成等比数列．

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

,bn，其中任意三项（按原来顺

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数学参

一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．

11. 【答案】10 2．【答案】

 3. 【答案】1 4. 【答案】0 5. 【答案】7 6. 【答案】

7. 【答案】6.42

16111'8. 【答案】ln2－1【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．y ，令x2x11 cb12得

x2，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．9【答案】

1【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填

c1．事实上，由截距式可得直线AB：

xbbya1，直线

xCP：

cyp1 ，两式相减得

211nn611【答案】

xy0，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．10．bcpa2nn【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋„＋（n－1）个，即

个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第

2nn＋3个，

22nn6即为

．11. 【答案】3 【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由

2x3z2，代入

22x9z6xz4xz22x2y3z0得

yy2得

xz6xz6xz4xza23，当且仅当x＝3z2 时取“＝”．12. 【答案】

【解析】设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所

2以△OAP 是等腰直角三角形，故

c则AC＝2a，解得

eca22．13．【答案】

22【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝

x，

2x ，

面

积

公

式

得

根据

SABC21=

22ABBCsinBx1cosB22，根据余弦定理得

cosBABBCAC2ABBC2224x2x4x24x4x2，

代

入

上

式

得

4x2SABC=x14x128x1216 2xx222x222， 由三角形三边关系有解得2x22x第 3 页 共 5 页

故当

x22时取得

SABC最大值22

14. 【答案】4

【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论

a取何值，fx≥0显然成立；当x＞0 即x1,1时，fxax3x1≥0可

3化为，

a3x231x3

设

gx1x3，则

x2g'x312xx4， 所以

gx

在区间

10,2上单调递增，在区间

12,1上单调递减，因此

1gxmaxg4，从而a≥4；

2当x＜0 即

1,0时，fxax3x1≥0可化为a33x21x3，

g'x312xx40

gx 在区间1,0上单调递增，因此gxmang14二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

，从而

a≤4，综上a＝4

18．【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．

解：（Ⅰ）令

x＝0，得抛物线与y2轴交点是（0，b）；

令

fxx2xb0，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．

xyDxEyF0222

（Ⅱ）设所求圆的一般方程为

令

y＝0 得

xDxF0这与x2xb＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝b22．

令

x＝0 得yEy＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．

xy2x(b1)yb0.

22所以圆C 的方程为

（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．

证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0

2＋1

2＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，

所以圆C 必过定点（0，1）．

同理可证圆C 必过定点（－2，1）．

19.【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查运用分类讨论的思想方法进行探索分析及论证的能力，满分16分。 解：首先证明一个“基本事实”：

一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d0=0

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事实上，设这个数列中的连续三项a-d0,a,d+d0成等比数列，则 a2=(d-d0)(a+d0) 由此得d0=0

（1）(i) 当n=4时, 由于数列的公差d≠0,故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a2或a3

①若删去

a2，则由a,a,a 成等比数列，得(a+2d)=a(a+3d)

1

3

4

1

2

1

1

因d≠0，故由上式得a1=－4d，即

a1d=－4，此时数列为－4d, －3d, －2d, －d，满足题设。

②若删去a3，则由a1,a2,a4 成等比数列，得(a1+d)2=a1(a1+3d)

因d≠0，故由上式得a1=d，即

a1d=1，此时数列为d, 2d, 3d, 4d，满足题设。

综上可知，

a1d的值为－4或1。

(ii)若n≥6，则从满足题设的数列a1,a2,„„,an中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列a1,a2,„„,an

的公差必为0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数n≤5，又因题设n≥4，故n=4或5.

当n=4时，由（i）中的讨论知存在满足题设的数列。

当n=5时，若存在满足题设的数列a1,a2,a3,a4,a5，则由“基本事实”知，删去的项只能是a3，从而a1,a2,a4,a5成等比数列，故

(a1+d)2=a1(a1+3d)

及

(a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)

分别化简上述两个等式，得a1d=d2及a1d=－5d,故d=0，矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列。 综上可知，n只能为4.

（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d′的n项等差数列b1,b1+ d′,„„，b1+(n-1) d′(b1 d′≠0)，其中三项b1+m1 d′,b1+m2 d′,b1+m3 d′成等比数列，这里0≤m1(b1+m2 d′)=(b1+m1 d′)(b1+m3 d′)

化简得

(m1+m3-2m2)b1 d′=(

2

m22-m1m3) d′ (*)

2

由b1 d′≠0知，m1+m3-2m2与

m22-m1m3或同时为零，或均不为零。

若m1+m3-2m2=0且

m22-m1m3=0，则有

(m1m32)2-m1m3=0，

即(m1-m3)=0，得m1=m3，从而m1=m2=m3，矛盾。 因此，m1+m3-2m2与

2

m22-m1m3都不为零，故由（*）得

b1d因为m1，m2，m3均为非负整数，所以上式右边为有理数，从而

'm2m1m3m1m32m22

b1d'是一个有理数。

于是，对于任意的正整数n≥4,只要取

b1d'为无理数，则相应的数列b1,b2,„„,bn就是满足要求的数列，例如,取b1=1, d′=

2，那么，n项数列

1,1+

2,1+2

2,„„,

1(n1)2满足要求。

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