2020-2021学年浙江省湖州市安吉县高一（下）期末数学试卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．如果复数是纯虚数，那么实数m等于（ ） A．﹣1
B．0
C．0或1
D．0或﹣1
2．某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如表所示：
编号 1 2 3 4 5
身高 173 179 175 173 170
编号 6 7 8 9 10
身高 169 177 175 174 182
编号 11 12 13 14 15
身高 168 175 172 169 176
那么这组数据的第80百分位数是（ ） A．175
B．176
C．176.5
D．170
3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，AB的中点，则异面直线EF和C1D所成角的大小是（ ） A．
B．
C．
D．
4．在△ABC中，∠A＝90°，，，则k的值是（ ） A．5
B．﹣5
C．
D．
5．从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：
①至少有1个白球与至少有1个黄球； ②至少有1个黄球与都是黄球； ③恰有1个白球与恰有1个黄球； ④至少有1个黄球与都是白球． 其中互斥而不对立的事件共有（ ） A．0组
B．1组
C．2组
D．3组
6．已知向量不共线，，，若，则m＝（ ） A．﹣12
B．﹣9
C．﹣6
D．﹣3
7．设a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对应边的边长，若的（ ）
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A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝1，AC＝5，，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（ ） A．24π
B．36π
C．72π
D．144π
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．给出如下数据：
第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9． 第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18． 则这两组数据的（ ） A．平均数相等
B．中位数相等
C．极差相等
D．方差相等
10．下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）
A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B．三人地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此的，则此密码被破译的概率为
C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为
D．设两个事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是
11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（ ）
A．直线D1D与直线AF垂直 B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点A1和点D到平面AEF的距离相等
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12．在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，且BC＝6，AD＝2，则（ ） A．△ABC面积最大值是12 C．不可能是5
B． D．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．将一个边长为2的正三角形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为 ．
14．若直线m与不重合的平面α、β所成的角相等为θ，则α与β ．
15．如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC＝ m．
16．已知单位向量，，满足，记，则对任意λ∈R，的最小值是 ． 四．解答题（共6小题）
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是AD边的中点，PO⊥底面ABCD，PO＝1．在底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD＝1，AD＝2． （Ⅰ）求证：AB∥平面POC； （Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣D的余弦值．
18．在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲乙
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两队进行排球比赛：
（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局．接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛．在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权．设两队打了x（x≤4）个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率P（x）．
19．统计局就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图[每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）元]． （1）求月收入在[3000，3500）的频率；
（2）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；
（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000）的应抽取多少？
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（b﹣csinA）sinC＝c（1﹣cosAcosC）． （Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）在①S△ABC，②A，③a＝2c这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若b＝3，_______，求△ABC的周长． 21．已知向量（1，2），（﹣2，1），（t+1），．
（1）写出平面向量基本原理的内容，并由此说明能否成为一组基底； （2）若对于任意非0实数t，与均不共线，求实数k的取值范围． 22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1所有的棱长为2，，M是棱BC的中点． （Ⅰ）求证：A1M⊥平面ABC；
（Ⅱ）在线段B1C是否存在一点P，使直线BP与平面A1BC所成角的正弦值为？若存在，求出CP的值；若不存在，请说明理由．
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