高三文科数学专题复习 三角函数、解三角形精编版

高考文科数学专题复习 三角函数、解三角形

专题一 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式

A组 三年高考真题（2016～2014年）

5

，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) 13

121255A. B.－ C. D.－ 5512122.(2014·大纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) 4334A. B. C.－ D.－ 55553.(2014·新课标全国Ⅰ，2)若tan α＞0，则( )

A.sin α＞0 B.cos α＞0 C.sin 2α＞0 D.cos 2α＞0

π3π

θ＋＝，则tanθ－＝________. 4.(2016·新课标全国Ⅰ，14)已知θ是第四象限角，且sin4541.(2015·福建，6)若sin α＝－

5.(2016·四川，11)sin 750°＝________.

6.(2015·四川，13)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．

B组 两年模拟精选(2016～2015年)

a1.(2016·济南一中高三期中)若点(4，a)在yx图象上，则tan π的值为( )

6A.0 B.3

C.1 D.3 3

12ππ3

＋α＝－，且α∈，π，则sin(π－2α)＝( ) 2.(2016·贵州4月适应性考试)若sin22524121224

A. B. C.－ D.－ 25252525

sin α－cos α3.(2016·南充市第一次适应性考试)已知角α的终边经过点P(2，－1)，则＝( )

sin α＋cos α11

A.3 B. C.－ D.－3

33

10π

4.(2015·乐山市调研)若点P在－角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于( )

3A.－

33

B. C.－3 D.3 33

π5.(2015·石家庄一模)已知cos α＝k，k∈R，α∈2，π，则sin(π＋α)＝( ) A.－1－k2 B.1－k2 C.－k D.±1－k2

6.(2015·洛阳市统考)已知△ABC为锐角三角形,且A为最小角,则点P(sin A-cos B,3cos A-1)位于( ) A.第一象限

B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

π47.(2016·山东日照第一次模拟)已知角α为第二象限角，cos2－α＝5，则cos α＝________.

8.(2015·湖南长沙一模)在平面直角坐标系xOy中，将点A(3，1)绕原点O逆时针旋转90°到点B，那么点B坐标

1

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为________，若直线OB的倾斜角为α，则tan 2α的值为________.

专题二 三角函数的图象与性质 A组 三年高考真题（2016～2014年）

π1

2x＋的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( ) 1.(2016·新课标全国Ⅰ，6)若将函数y＝2sin64ππππ

2x＋ B.y＝2sin2x＋ C.y＝2sin2x－ D.y＝2sin2x－ A.y＝2sin43432.(2016·新课标全国卷Ⅱ，3)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( ) ππ2x－ B.y＝2sin2x－ A.y＝2sin63ππx＋ D.y＝2sinx＋ C.y＝2sin63π

x＋的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点( ) 3.(2016·四川，4)为了得到函数y＝sin3π

A.向左平行移动个单位长度

3π

C.向上平行移动个单位长度

3

π

B.向右平行移动个单位长度

3π

D.向下平行移动个单位长度

3

4．(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( ) 13131313

kπ－，kπ＋，k∈Z B.2kπ－，2kπ＋，k∈Z C.k－，k＋，k∈Z D.2k－，2k＋，k∈Z A.44444444

π

4x－的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( ) 5.(2015·山东，4)要得到函数y＝sin3π

A．向左平移个单位

12π

C．向左平移个单位

3

π

B．向右平移个单位

12π

D．向右平移个单位

3

6.(2014·天津，8)已知函数f(x)＝3sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交π

点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为( )

3

π2π

A. B. C.π D.2π 23π

2x＋的最小正周期是( ) 7.(2014·陕西，2)函数f(x)＝cos4

π

A. B.π C.2π D.4π 2

2

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8.(2014·四川，3)为了得到函数y＝sin(x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点( ) A．向左平行移动1个单位长度 B．向右平行移动1个单位长度 C．向左平行移动π个单位长度 D．向右平行移动π个单位长度

9.(2014·浙江，4)为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝2cos 3x的图象( ) ππππ

A.向右平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向左平移个单位

124124

10.(2014·安徽，7)若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是( )

ππ3π3π

A. B. C. D. 8484π

2x＋， 11.(2014·新课标全国Ⅰ，7)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos6π

2x－中，最小正周期为π的所有函数为( ) ④y＝tan4

A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③

π

12.(2014·福建，7)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )

2A.y＝f(x)是奇函数 B.y＝f(x)的周期为π

ππ

－，0对称 C.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 D.y＝f(x)的图象关于点22

13.(2016·新课标全国Ⅲ，14)函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移________个单位长度得到.

14.(2015·天津，11)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．

15.(2015·陕西，14)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数

πy＝3sin6x＋φ＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．

16.(2015·湖南，15)已知ω>0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.

ππ

17.(2014·重庆，13)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－≤φ＜)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标

22ππ

不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x 的图象，则f6＝________. 6

3

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π

ω>0，|φ|<在某一个周期内的图象时，列表并18.(2015·湖北，18)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)2填入部分数据，如下表：

ωx＋φ x Asin(ωx＋φ) 0 0 π 2π 35 π 3π 25π 6－5 2π 0 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式； π

(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，

6求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．

19.(2014·湖北，18)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系： ππ

f(t)＝10－3cost－sin t，t∈[0,24)．

1212(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．

π

3x＋. 20.(2014·四川，17)已知函数f(x)＝sin4(1)求f(x)的单调递增区间；

α4π

α＋cos 2α，求cos α－sin α的值． (2)若α是第二象限角，f＝cos354

4

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21.(2014·福建，18)已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．

5π(1)求f4的值； (2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．

π

2x＋的部分图象如图所示． 22.(2014·北京，16)函数f(x)＝3sin6(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； ππ

－，－上的最大值和最小值． (2)求f(x)在区间122

B组 两年模拟精选(2016～2015年)

π1

x＋的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，1.(2016·四川成都第二次诊断)将函数f(x)＝cos纵坐标不变，得62到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为( )

ππxπxπ

2x＋ B.g(x)＝cos2x＋ C.g(x)＝cos＋ D.g(x)＝cos＋ A.g(x)＝cos362326ππ

ωx＋φ－ω>0，|φ|<的部分图象如图所示， 2.(2016·山西四校联考)已知函数f(x)＝cos22π

x＋取得最小值时x的集合为( ) 则y＝f6

ππππ

A.x|x＝kπ－6，k∈Z B.x|x＝kπ－3，k∈Z C.x|x＝2kπ－6，k∈Z D.x|x＝2kπ－3，k∈Z

















π

3.(2015·石家庄模拟)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的

8一个可能取值为( )

3πππA. B. C.0 D.－ 444

5

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3ππ

4.(2015·黄冈模拟)当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，则函数y＝f4－x是( ) 4πA.奇函数且图象关于点2，0对称 B.偶函数且图象关于点(π，0)对称 ππ

C.奇函数且图象关于直线x＝对称 D.偶函数且图象关于点2，0对称 2

ππ

ω＞0，|φ|＜的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后5.(2015·河南焦作市统考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)212得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象( )

π5π5ππ

，0对称 B.关于直线x＝对称 C.关于点，0对称 D.关于直线x＝对称 A.关于点2121212π

－2x的单调增区间为________. 6.(2015·怀化市监测)函数y＝2sin37.(2015·辽宁五校联考)已知函数f(x)＝(1)求f(x)的解析式；

2

(2)将f(x)的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g(x)的图象，P，Q分别为函数g(x)图象的最高点和最低点(如图)，

3求∠OQP的大小.

33

sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的周期为4. 22

专题三 三角恒等变换

A组 三年高考真题（2016～2014年）

1

1.(2016·新课标全国Ⅲ，6)若tan θ＝－，则cos 2θ＝( )

34114A.－ B.－ C. D. 5555

π2.(2016·新课标全国Ⅱ，11)函数f(x)＝cos 2x＋6cos2－x的最大值为( )

A.4 B.5 C.6 D.7

11

3.(2015·重庆，6)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝( )

32

1155A. B. C. D. 767.(2016·浙江，11)已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________.

6

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5.(2016·山东，17)设f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间；

π

(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到3π函数y＝g(x)的图象，求g6的值.

6.(2016·北京，16)已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)求f(x)的单调递增区间.

7.(2015·广东，16)已知tan α＝2.

πsin 2α

α＋的值； (2)求2(1)求tan的值． 4sinα＋sin αcos α－cos 2α－1

x

8.(2015·北京，15)已知函数f(x)＝sin x－23sin2. 2

2π

0，上的最小值． (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间3

7

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xxx

9.(2015·福建，21)已知函数f(x)＝103sin cos ＋10cos2.

222(1)求函数f(x)的最小正周期；

π

(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，

6且函数g(x)的最大值为2.

①求函数g(x)的解析式； ②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.

π5π32x＋，x∈R，且f＝10.(2014·广东，16)已知函数f(x)＝Asin3122. ππ

0，，求f－θ. (1)求A的值； (2)若f(θ)－f(－θ)＝3，θ∈26

A－B

11.(2014·浙江,18)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2＋4sin Asin＝2＋2.

2

(1)求角C的大小； (2)已知b＝4,△ABC的面积为6,求边长c的值．

B组 两年模拟精选(2016～2015年)

3π4

π，π，cos α＝－，则tan－α等于( ) 1.(2016·江西九校联考)已知α∈24511

A.7 B. C.－ D.－7

77

2.(2016·洛阳统考)若α∈[0，2π)，则满足1＋sin 2α＝sin α＋cos α的α的取值范围是( ) π3π3π7π

0， B.[0，π] C.0， D.0，∪，2π A.4442132tan 14°3.(2016·河南六市联考)设a＝cos 2°－sin 2°，b＝，c＝

221－tan214°A.a5

，则sin2α－cos2α的值为( ) 4

1－cos 50°

，则有( ) 2

1313A.－ B.－ C. D.

8888

8

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35

5.(2015·烟台模拟)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角，则cos β等于( )

51363333363

A.－ B.－ C. D.

656565656.(2015·河北唐山模拟)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( ) 4444A. B.－ C.或0 D.－或0 33337.(2015·巴蜀中学一模)已知

sin αcos α11

＝，tan(α－β)＝，则tan β＝________.

21－cos 2α2

413

. 13

8.(2015·河南洛阳统考)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝

ππ4

(1)求cos(α－β)的值； (2)若0＜α＜，－＜β＜0且sin β＝－，求sin α的值.

225

专题四 解三角形

A组 三年高考真题（2016～2014年）

2

1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cos A＝，

3则b＝( )

A.2 B.3 C.2 D.3 2.(2016·山东，8)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( ) 3ππππA. B. C. D. 4346

3.(2015·广东,5)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a＝2,c＝23,cos A＝3

,且bA.3 B.22 C.2 D.3 4.(2014·四川，8)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，

9

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则河流的宽度BC等于( )

A．240(3－1)m B．180(2－1)m C．120(3－1)m D．30(3＋1)m

5.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 45

若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.

513

2πb

6.(2016·北京，13)在△ABC中，∠A＝，a＝3c，则＝________.

3c

2π

7.(2015·北京，11)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝，则∠B＝________.

3

8.(2015·重庆，13)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

1

且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.

4

9.(2015·安徽，12)在△ABC中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________. 10.(2015·湖北，15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

11.(2014·新课标全国Ⅰ，16)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.

π

12.(2014·湖北，13)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，

6

b＝3，则B＝________. 13.(2014·福建，14)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB等于________．

1

14.(2014·北京，12)在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝________；sin A＝________.

4

15.(2016·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B. 2

(1)证明：A＝2B； (2)若cos B＝，求cos C的值.

3

cos Acos Bsin C

16.(2016·四川，18)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝. abc6

(1)证明：sin Asin B＝sin C； (2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.

5

10

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17.(2015·江苏，15)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°. (1)求BC的长； (2)求sin 2C的值．

18.(2015·新课标全国Ⅱ，17)在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.

sin∠B(1)求； (2)若∠BAC＝60°，求∠B.

sin∠C

19.(2015·天津，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

1

已知△ABC的面积为315，b－c＝2，cos A＝－.

4π

2A＋的值． (1)求a和sin C的值； (2)求cos6

3

20.(2015·山东，17)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B＝，

3

6

sin (A＋B)＝，ac＝23， 求sin A和c的值．

9

21.(2015·湖南，17)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A.

3

(1)证明：sin B＝cos A； (2)若sin C－sin Acos B＝，且B为钝角，求A，B，C.

4

π

＋A＝2. 22.(2015·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan4

sin 2Aπ

(1)求2的值； (2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积． 4sin 2A＋cos A

23.(2015·新课标全国Ⅰ,17)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B＝2sin Asin C. (1)若a＝b,求cos B； (2)设B＝90°,且a＝2,求△ABC的面积．

24.(2014·重庆，18)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.

5

(1)若a＝2，b＝，求cos C的值；

2

11

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BA9

(2)若sin Acos2＋sin Bcos2＝2sin C，且△ABC的面积S＝sin C，求a和b的值．

222

6π

25.(2014·山东，17)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a＝3，cos A＝，B＝A＋. 32

(1)求b的值； (2)求△ABC的面积．

26.(2014·陕西，16)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)； (2)若a，b，c成等比数列，且c＝2a，求cos B的值．

27.(2014·湖南，19)如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝7，EA＝2，

2ππ

∠ADC＝，∠BEC＝. (1)求sin∠CED的值； (2)求BE的长．

33

B组 两年模拟精选(2016～2015年)

1.(2016·湖南四校联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2＋b2－c2)tan C＝ab,则角C为( ) π5ππ2ππ2πA.或 B.或 C. D. 663363

π2.(2016·河南三市调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的

3面积为( ) A.3 B.

9333

C. D.33 22

3.(2016·济南一中检测)在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别为a，b，c，A为锐角， 1lg b＋lgc＝lg sin A＝－lg 2，则△ABC为( )

A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 4.(2015·山东省实验中学三诊)在△ABC中，若(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，则△ABC是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 5.(2015·江西赣州摸底)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，就可以计算出A，B两点的距离为( )

12

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252A.502 m B.503 m C.252 m D. m

26.(2015·湖南十二校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， a2－b2若tan A＝7tan B，＝3，则c＝( )

c

A.4 B.3 C.7 D.6

1

7.(2016·湖南株洲3月模拟)在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则sin A＝________.

48.(2015·太原模拟)在△ABC中，已知(sin A＋sin B＋sin C)·(sin B＋sin C－sin A)＝3sin Bsin C. (1)求角A的值； (2)求3sin B－cos C的最大值

13

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高考文科数学专题复习 三角函数、解三角形

专题一 三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式答案精析

A组 三年高考真题（2016～2014年）

512sin α5

1.解析 ∵sin α＝－，且α为第四象限角， ∴cos α＝，∴tan α＝＝－，故选D. 答案 D

1313cos α12x－44

2.解析 记P(－4，3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝（－4）2＋32＝5， 故cos α＝＝＝－，故选D.

r553.解析 由tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号， 故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C. 答案 C

π4π3πππ

θ＋＝，∴tanθ＋＝.∴tanθ－＝tanθ＋－＝－4.解析 由题意，得cos454444244

＝－. 答案 － π33θ＋tan41

11

5.解析 ∵sin θ＝sin(k·360°＋θ)，(k∈Z)， ∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝. 答案

226.解析 ∵sin α＋2cos α＝0， ∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，

2sin α·cos α－cos2α2tan α－12×（－2）－1

又∵2sin αcos α－cosα＝＝2， ∴原式＝＝－1. 答案 －1 22sinα＋cosαtanα＋1（－2）2＋1

2

B组 两年模拟精选(2016～2015年)

1a

1.解析 ∵a＝4＝2， ∴tan π＝3. 答案 D

26

ππ334＋α＝－得cos α＝－， 又α∈，π， 则sin α＝， 2.解析 由sin2255524

所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－. 答案 D

25

1－－121sin α－cos αtan α－1

3.解析 因为角α终边经过点P(2，－1)，所以tan α＝－，＝＝＝－3，故选D.

2sin α＋cos αtan α＋11

－＋1210π2π10π2π2π

4.解析 －＝－4π＋，所以－与的终边相同，所以tan ＝－3＝－y，则y＝3. 答案 D

33333π

，π，所以sin α>0，则sin(π＋α)＝－sin α＝－1－cos2 α＝－1－k2，故选A. 答案 A 5.解析 因为α∈2ππππ

0，，－B＞0， 6.解析 由题意得，A＋B＞即A＞－B，且A∈3222

π11

－B＝cos B，即sin A－cos B＞0， 3cos A－1＞3×－1＝， 故点P在第一象限. 答案 A 故sin A＞sin222π433

－α＝， 又α为第二象限角， 所以cos α＝－1－sin2α＝－. 答案 － 7.解析 sin α＝cos25558.解析 设点A(3，1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA|＝2，

14

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13π

由三角函数的定义可知：sin θ＝，cos θ＝，则θ＝2kπ＋(k∈Z)， 则A(2cos θ，2sin θ)，

226π2ππ2

θ＋＝2cos2kπ＋＝－1，y＝2sinθ＋＝2sin2kπ＋π＝3， 设B(x，y)，由已知得x＝2cos33222tan α

所以B(－1，3)，且tan α＝－3，所以tan 2α＝＝3. 答案 (－1，3)

1－tan2α

3

专题二 三角函数的图象与性质

A组 三年高考真题（2016～2014年）答案精析

ππ1π

2x＋的周期为π，将函数y＝2sin2x＋的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为1.解析 函数y＝2sin6644πππ

x－＋＝2sin2x－，故选D. 答案 D y＝2sin2463

πππππ

－＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－， 2.解析 由题图可知，T＝23－6326π

2x－，故选A. 答案 A 所以函数的解析式为y＝2sin6

3.解析 由y＝sin x得到y＝sin(x±a)的图象，只需记住“左加右减”的规则即可. 答案 A T51

4.解析 由图象知＝－＝1， ∴T＝2.由选项知D正确． 答案 D

244ππ

4x－＝sin4x－， 5.解析 ∵y＝sin312

ππ

4x－的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位． 答案 B ∴要得到函数y＝sin312ππ

ωx＋(ω＞0)， 又曲线y＝f(x)与直线y＝1相邻交点距离的最小值是， 6.解析 由题意得函数f(x)＝2sin63πππ5ππ2ππ

由正弦函数的图象知，ωx＋＝和ωx＋＝对应的x的值相差， 即＝，解得ω＝2，

666633ω3所以f(x)的最小正周期是T＝

2π

＝π. 答案 C ω

2π

7.解析 由余弦函数的复合函数周期公式得T＝＝π. 答案 B

28.解析 由图象平移的规律“左加右减”，可知选A. 答案 A

ππ

3x－，所以将y＝2cos 3x的图象向右平移个单位后可得到 9.解析 因为y＝sin 3x＋cos 3x＝2cos412ππ

3x－的图象．答案 A 10.解析 方法一 f(x)＝2sin2x＋， y＝2cos44

π

2x＋－2φ，由该函数为偶函数将函数f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝2sin4ππkπ3π3π

可知2φ－＝kπ＋，k∈Z， 即φ＝＋，k∈Z， 所以φ的最小正值为.

42288

π

2x－，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为 方法二 f(x)＝2cos4

ππ3π

2x－－2φ，且该函数为偶函数， 故2φ＋＝kπ，k∈Z， 所以φ的最小正值为. 答案 C y＝2cos448

15

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π

2x＋，最小正周期为π； 11.解析 ①y＝cos|2x|，最小正周期为π；②y＝|cos x|，最小正周期为π；③y＝cos6ππ

2x－，最小正周期为，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A. 答案 A ④y＝tan42

ππ

x＋＝cos x的图象，12.解析 函数y＝sin x的图象向左平移个单位后，得到函数f(x)＝sinf(x)＝cos x为偶函数，22πππ

排除A；f(x)＝cos x的周期为2π，排除B；因为f＝cos＝0，所以f(x)＝cos x不关于直线x＝对称，排除C；222故选D. 答案 D

πππ

x－，由y＝2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到. 答案 13.解析 y＝sin x－3cos x＝2sin333

ππππ

ωx＋， 由－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z， 14.解析 f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin42423πππ得－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ， 由题意f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，可知k＝0，ω≥，

442

πππππ又函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称， 所以sin(ω2＋)＝1，ω2＋＝， 所以ω＝. 答案

4422215.解析 由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5， ∴ymax＝k＋3＝8. 答案 8

y＝2sin ωx，π

ωx－＝0， 16.解析 由知sin ωx＝cos ωx， 即sin ωx－cos ωx＝0， ∴2sin4y＝2cos ωx，

1ππ1π

＋kπ(k∈Z)， ∴两函数交点坐标为4＋kπ，2(k＝0，2，4，…)， ∴ωx＝＋kπ，x＝4ω4ω1π

＋kπ，－2(k＝…，－3，－1，1，3，…) ∴最短距离为或ω4π2ππ

∴2＝4， ∴ω＝. 答案 ω22

ππ

x＋的图象， 17.解析 把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin66π

x＋图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 再把函数y＝sin61ππ1πππ22x＋的图象， 所以f＝sin×＋＝sin＝. 答案 得到函数f(x)＝sin266266422π

18.解 (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：

6

ωx＋φ x Asin(ωx＋φ) π2x－. 且函数表达式为f(x)＝5sin6

ππππ2x－， 因此g(x)＝5sin2x＋6－＝5sin2x＋. (2)由(1)知f(x)＝5sin666

0 π 120 π 2π 35 π 7π 120 3π 25π 6－5 2π 13π 120 π2（22）＋2＝23，

ω

2

 16

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πkππ

因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. 令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z.

6212

kπππ

－，0，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为－，0. 即y＝g(x)图象的对称中心为21212ππ2π2π－1－3＝10. ×8－sin×8＝10－3cos －sin ＝10－3×19.解 (1)f(8)＝10－3cos12122233故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f(t)＝10－2πππππ7π3π1π

t＋，又0≤t＜24， 所以≤t＋＜， cos t＋sin t＝10－2sin12331233122122

ππππππ

t＋≤1. 当t＝2时，sint＋＝1；当t＝14时，sint＋＝－1. －1≤sin123123123于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. ππππ2kππ2kπ

20.解 (1)由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋≤x≤＋，k∈Z.

24243123π2kππ2kπ

－＋，＋，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递增区间为43123π4π

α＋＝cosα＋(cos2α－sin2α)， (2)由已知，有sin454ππππ4

cos αcos －sin αsin (cos2 α－sin2 α)， 所以sin αcos ＋cos αsin ＝444454

即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．

5

3π

当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z，此时cos α－sin α＝－2.

45

当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝. 4

由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－综上所述，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－

5. 2

5. 2

π

2x＋＋1. 21.解 f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin45π11ππ

(1)f＝2sin＋1＝2sin＋1＝2. 444

2ππππ3ππ

(2)T＝＝π. 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

2242883ππ

kπ－，kπ＋，k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间为887π

22.解 (1)f(x)的最小正周期为π，x0＝，y0＝3.

6

ππ5ππππ

－，－，所以2x＋∈－，0. 于是当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0； (2)因为x∈12266612

17

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πππ

当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3.

623

B组 两年模拟精选(2016～2015年)

π1

2x＋. 答案 B 1.解析 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，则有g(x)＝cos627ππππ2π

－＝π，ω＝2，f＝cosφ＋＝1， 2.解析 依题意得T＝＝412336ω2πππ

2x－. 又|φ|<，因此φ＝－，所以f(x)＝cos326

ππππ

x＋＝cos2x－取得最小值时，2x－＝2kπ－π，k∈Z，即x＝kπ－，k∈Z， 答案 B 当f3633

πx＋π＋φ＝sin2x＋π＋φ的图象， 3.解析 函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位， 得g(x)＝sin2488πππ

又g(x)的函数图象关于y轴对称，所以g(x)为偶函数， 所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)，

424π

当k＝0时，φ＝，故选B. 答案 B

4

πππ3π

4.解析 当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，即＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z，

44243π3π3π3π

x－(A＞0)， 所以y＝f(－x)＝Asin－x＋＝－Acos x， 所以f(x)＝Asin4444π

所以函数为偶函数且图象关于点2，0对称，选D. 答案 D

πππ

－2x＝2cos2x＋， π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z， 5.解析 f(x)＝2sin636即

5π11π5π11π

＋kπ，＋kπ(k∈Z) ＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 答案 12121212

π2π

ω＞0，|φ|＜的最小正周期为π， 故＝π，ω＝2. 6.解析 由于函数f(x)＝sin(ωx＋φ)2ω

πx－π＋φ＝sin2x－π＋φ，为奇函数， 把其图象向右平移个单位后得到函数的解析式为y＝sin261212ππππ

2x＋. ∴－＋φ＝kπ，∴φ＝kπ＋，k∈Z， ∴φ＝，∴函数f(x)＝sin6666

kπππkππ

－，0(k∈Z). 令2x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝－，k∈Z， 故函数的对称中心为21262125π

故点12，0是函数的一个对称中心. 答案 C 7.解 (1)f(x)＝

πππ3313

sin ωxcos ＋cos ωxsin ＝3sinωx＋. sin ωx＋cos ωx＝3sin ωx＋cos ωx＝33332222

ππ2ππ

∵T＝4，ω＞0，∴ω＝＝. ∴f(x)＝3sin2x＋3. 42

2π(2)将f(x)的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g(x)＝3sinx.

32∵P，Q分别为该图象的最高点和最低点， ∴P(1，3)，Q(3，－3).

18

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OQ2＋PQ2－OP23

∴OP＝2，PQ＝4，OQ＝12， ∴cos∠OQP＝＝.

2OQ·QP2π

∵∠OQP是△OPQ的一个内角， ∴∠OQP＝. 6

专题三 三角恒等变换答案精析

A组 三年高考真题（2016～2014年）

cos2θ－sin2θ1－tan2θ4122

1.解析 tan θ＝－，则cos 2θ＝cosθ－sinθ＝2＝＝. 答案 D

3cosθ＋sin2θ1＋tan2θ5π311

－x＝1－2sin2x＋6sin x＝－2sin x－＋， 2.解析 因为f(x)＝cos 2x＋6cos222所以当sin x＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案 B

11

－23tan（α＋β）－tan α1

3.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝. 答案 A

1171＋tan（α＋β）tan α

1＋×234.解析 ∵2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋1＋sin 2x＝222cos 2x＋sin 2x＋1

22

2

π

2x＋＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)， ＝2sin4

∴A＝2，b＝1. 答案 2 1

5.解 (1)由f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2＝23sin2x－(1－2sin xcos x)

π

2x－＋3－1. ＝3(1－cos 2x)＋sin 2x－1＝sin 2x－3cos 2x＋3－1＝2sin3

ππππ5π

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).

2321212

π5ππ5π

kπ－，kπ＋(k∈Z)或kπ－，kπ＋（k∈Z）. 所以f(x)的单调递增区间是12121212π

2x－＋3－1， (2)由(1)知f(x)＝2sin3

把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， π

x－＋3－1的图象. 得到y＝2sin3

π

再把得到的图象向左平移个单位，得到y＝2sin x＋3－1的图象，

3ππ

即g(x)＝2sin x＋3－1. 所以g＝2sin ＋3－1＝3. 666.解 (1)f(x)＝2sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx

＝2

π222ωx＋ sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin422

2π

由ω＞0，f(x)最小正周期为π得＝π， 解得ω＝1.

2ω

19

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ππππ3ππ

2x＋，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， (2)由(1)得f(x)＝2sin4242883ππ

－＋kπ，＋kπ(k∈Z). 即f(x)的单调递增区间为88π

4tan α＋12＋1π

α＋＝7.解 (1)tan＝＝＝－3. 4π1－tan α1－2

1－tan αtan

4

tan α＋tan

sin 2α2sin αcos α

(2)2＝2 sinα＋sin αcos α－cos 2α－1sinα＋sin αcos α－（2cos2α－1）－1＝

2sin αcos α2tan α2×2

＝2＝1. 2＝2sinα＋sin αcos α－2cosαtanα＋tan α－22＋2－2

2π

x＋－3. 所以f(x)的最小正周期为2π. 8.解 (1)因为f(x)＝sin x＋3cos x－3.＝2sin32ππππ2π

(2)因为0≤x≤时，所以≤x＋≤π. 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．

333332π2π

0，上的最小值为f＝－3. 所以f(x)在区间33

πxxx

x＋＋5， 9.(1)解 因为f(x)＝103sin cos ＋10cos2＝53sin x＋5cos x＋5＝10sin6222所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.

π

(2)证明 ①将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝10sin x＋5的图象，再向下平移a

6(a＞0)个单位长度后得到g(x)＝10sin x＋5－a的图象．

又已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13. 所以g(x)＝10sin x－8.

②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使443π4

得10sin x0－8＞0，即sin x0＞. 由＜知，存在0＜α0＜，使得sin α0＝. 55235

4

由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π－α0)时，均有sin x＞. 因为y＝sin x的周期为2π，

54

所以当x∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有sin x＞. 5π

因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0＞＞1，

3

4

所以对任意的正整数k，都存在正整数x0∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)，使得sin xk＞. 5亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.

π5π325π＋π＝32⇒Asin 3π＝32⇒A＝3. x＋，且f＝10.解 (1)∵f(x)＝Asin， ∴Asin3122123242πππ

x＋， ∵f(θ)－f(－θ)＝3， ∴3sin(θ＋)－3sin－θ＋＝3， (2)由(1)知f(x)＝3sin33331331

展开得3sin θ＋cos θ－3cos θ－sin θ＝3， 化简得sin θ＝.

32222

20

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πππππ6

0，，∴cos θ＝. ∴f－θ＝3sin6－θ＋＝3sin－θ＝3cos θ＝6. ∵θ∈3262311.解 (1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sin Asin B＝2＋2， 化简得－2cos Acos B＋2sin Asin B＝2， 故cos(A＋B)＝－

23ππ

. 所以A＋B＝，从而C＝. 24(2)因为S△ABC＝12absin C， 由S△π

ABC＝6，b＝4，C＝4，得a＝32，

由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得c＝10. B组 两年模拟精选(2016～2015年)

1.解析 ∵α∈π，3π2，cos α＝－45， ∴sin α＝－35， ∴tan α＝sin αcos α＝3

4

， ∴tanπ4－α＝1－tan α11＋tan α＝7. 答案 B 2.解析 由1＋sin 2α＝sin α＋cos α得sin α＋cos α＝2sinα＋π

4

≥0， 又因为α∈[0，2π)，所以α的取值范围为0，3π4∪7π

4，2π，故选D. 答案 D 3.解析 利用三角公式化简得a＝12cos 2°－32sin 2°＝cos(60°＋2°)＝cos 62°＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝sin2 25°＝sin 25°.

因为sin 25°8

. 答案 B

5.解析 ∵α，β是锐角，∴0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－513＜0，cos α＝3

5，

∴π2＜α＋β＜π， ∴sin(α＋β)＝124

13，sin α＝5

. 又cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－5312433

13×5＋13×5＝65. 答案 6.解析 因为2sin 2α＝1＋cos 2α，所以2sin 2α＝2cos2 α， 所以2cos α·(2sin α－cos α)＝0，解得cos α＝0或tan α＝1

2

. 若cos α＝0，则α＝kπ＋π

2，k∈Z， 2α＝2kπ＋π，k∈Z，所以tan 2α＝0；

若tan α＝12，则tan 2α＝2tan α4

1－tan2 α＝3. 综上所述，故选C. 答案 C 7.解析 ∵sin αcos αsin αcos α1－cos 2α＝2sin2α＝cos α2sin α＝12， ∴tan α＝1.

∵tan(α－β)＝tan α－tan β111

1＋tan αtan β＝2，∴tan β＝3. 答案 3

8.解 (1)∵a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，

∴|a－b|2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，

21

4

C

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∴

165＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝. 1313

ππ43

(2)∵0＜α＜，－＜β＜0且sin β＝－，∴cos β＝且0＜α－β＜π.

2255512

又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.

1313

1235416

－＝. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)·cos β＋cos(α－β)·sin β＝×＋×

13513565

专题四 解三角形答案精析 A组 三年高考真题（2016～2014年）

12

b＝－舍去，故选D.答案 D 1.解析 由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×，解得b＝333

2.解析 在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cos A)，又∵a2＝2b2(1－sin A)，

π

∴cos A＝sin A，∴tan A＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝，故选C.答案 C

4

3

3.解析 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－2×b×23×，即b2－6b＋8＝0，

2

∴b＝4或b＝2，又btan 60°－tan 45°

4.解析 ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－3，

1＋tan 60°tan 45°∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)，故选C. 答案 C 45312

5.解析 在△ABC中由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，

513513

63asin B2121

sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝.答案 65sin A1313

accsin A131πππ

6.解析 由＝得sin C＝＝×＝， 又0＜C＜，所以C＝，B＝π－(A＋C)＝. sin Asin Ca366322π

sin6bsin B

所以＝＝＝1. 答案 1

csin Cπ

sin6

2π3bsin ∠A2ππ

7.解析 由正弦定理得sin ∠B＝＝＝，因为∠A为钝角，所以∠B＝. 答案

a3244

33

8.解析 由3sin A＝2sin B，得3a＝2b，∴b＝a＝×2＝3，

22

－1＝16， 解得c＝4. 答案 4 在△ABC中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋32－2×2×3×426×2ACAB6sin 45°

9.解析 已知∠C＝60°，由正弦定理得＝，∴AC＝＝＝2. 答案 2

sin 60°sin∠Bsin∠C3

2

10.解析 依题意，在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，

600BC

由正弦定理得＝，得BC＝3002， 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝1006(m)．答案 1006

sin 45°sin 30°

MAAC

11.解析 在三角形ABC中，AC＝1002，在三角形MAC中，＝，解得MA＝1003，

sin 60°sin 45°

MN3

在三角形MNA中，＝sin 60°＝，故MN＝150，即山高MN为150 m．答案 150

210036sin

22

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π5πabbsin A3π2ππ2π，，所以B＝或.答案 或 12.解析 由正弦定理＝得sin B＝＝，又B∈66sin Asin Ba23333

ACBC23

13.解析 在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝1，

sin Bsin Asin Bsin 60°

π

因为B∈(0，π)，所以B＝，所以AB＝22－（3）2＝1. 答案 1

2

1

14.解析 根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，故c＝2，

4

151×241115asin C15

因为cos C＝，于是sin C＝1－＝， 于是，由正弦定理，sin A＝＝＝ 444c28

22＋22－127721515(或：由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝，于是，sin A＝1－8＝). 答案 2 2×2×2888

15.(1)证明 由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，

故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B).

又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B， 所以A＝2B. 251145

(2)解 由cos B＝得sin B＝，cos 2B＝2cos2B－1＝－，故cos A＝－，sin A＝，

3399922

cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝.

2716.(1)证明 根据正弦定理，可设

abc＝＝＝k(k>0). 则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C. sin Asin Bsin C

cos Acos Bsin Ccos Acos Bsin C代入＋＝中，有＋＝，变形可得：sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).

abcksin Aksin Bksin C在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 所以sin Asin B＝sin C.

b2＋c2－a23(2)解 由已知，b＋c－a＝bc， 根据余弦定理，有cos A＝＝. 所以sin A＝1－cos2A＝. 52bc55

2

2

2

443sin B

由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin B＝cos B＋sin B，故tan B＝＝4.

555cos B

1

17.解 (1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7， 所以BC＝7.

2

ABBCAB2sin 60°21(2)由正弦定理知，＝， 所以sin C＝·sin A＝＝. sin Csin ABC77327

因为AB＜BC，所以C为锐角，则cos C＝1－sin2C＝1－＝. 77

212743所以sin 2C＝2sin C·cos C＝2××＝. 777

ADBDADDC

18.解 (1)由正弦定理得＝，＝.

sin∠Bsin∠BADsin∠Csin∠CAD

sin∠BDC1

因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以＝＝. sin∠CBD2

(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，

31

所以sin∠C＝sin(∠BAC＋∠B)＝cos∠B＋sin∠B.

22

3

由(1)知2sin∠B＝sin∠C， 所以tan∠B＝，即∠B＝30°.

3

1151

19.解 (1)在△ABC中，由cos A＝－，可得sin A＝. 由S△ABC＝bcsin A＝315，得bc＝24，

442

ac15

又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4. 由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a＝8. 由＝，得sin C＝.

sin Asin C8

23

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π15－73ππ312

2A＋＝cos 2A·(2)coscos －sin 2A·sin＝(2cosA－1)－×2sin A·cos A＝. 6662216

366

20.解 在△ABC中，由cos B＝，得sin B＝. 因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin(A＋B)＝.

339

53

因为sin C＜sin B，所以C＜B，可知C为锐角， 所以cos C＝.

9

6533622

所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝.

39393

22

c3accsin A

由＝，可得a＝＝＝23c， 又ac＝23，所以c＝1. sin Asin Csin C69

abc

21.解 (1)由正弦定理知＝＝＝2R， ∴a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，

sin Asin Bsin C

sin Asin B

代入a＝btan A，得sin A＝sin B·， 又∵A∈(0，π)，∴sin A＞0， ∴1＝，即sin B＝cos A.

cos Acos A

443

(2)由sin C－sin Acos B＝知，sin(A＋B)－sin Acos B＝， ∴cos Asin B＝.

334

π3

0，， 由(1)知sin B＝cos A，∴cos2A＝， 由于B是钝角，故A∈24

3π32ππ

∴cos A＝，A＝，sin B＝，B＝， ∴C＝π－(A＋B)＝. 26236

π1sin 2A2tan A2＋A＝2，得tan A＝， 所以22.解 (1)由tan＝. 2＝43sin 2A＋cosA2tan A＋15110310

(2)因为tan A＝，A∈(0，π)， 所以sin A＝，cos A＝.

31010

ππab25A＋得sin C＝又由a＝3，B＝及正弦定理＝得b＝35. 由sin C＝sin(A＋B)＝sin， 44sin Asin B5

1

设△ABC的面积为S，则S＝absin C＝9.

2

a2＋c2－b212

23.解 (1)由题设及正弦定理可得b＝2ac. 又a＝b，可得b＝2c，a＝2c. 由余弦定理可得cos B＝＝. 2ac4

(2)由(1)知b2＝2ac. 因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2. 故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝2. 所以△ABC的面积为1.

7

24.解 (1)由题意可知：c＝8－(a＋b)＝.

2

527222＋2－2a2＋b2－c21

由余弦定理得：cos C＝＝＝－.

2ab55

2×2×2

1＋cos B1＋cos ABA

(2)由sin Acos2＋sin Bcos2＝2sin C可得：sin A·＋sin B·＝2sin C，

2222化简得sin A＋sin Acos B＋sin B＋sin Bcos A＝4sin C. 因为sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)＝sin C，

所以sin A＋sin B＝3sin C. 由正弦定理可知：a＋b＝3c. 又因a＋b＋c＝8，故a＋b＝6. 19

由于S＝absin C＝sin C，所以ab＝9， 从而a2－6a＋9＝0，解得a＝3，b＝3.

22

π3π6A＋＝cos A＝. 25.解 (1)在△ABC中，由题意知sin A＝1－cos2 A＝，又因为B＝A＋，所以sin B＝sin2323

63×3asin B

由正弦定理可得b＝＝＝32. sin A3

3

24

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ππ3

A＋＝－sin A＝－. 由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)． (2)由B＝A＋得cos B＝cos223

36613

所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝. －33333

11132

因此△ABC的面积S＝absin C＝×3×32×＝.

2232

26.(1)证明 ∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B. ∵sin B＝sin[π－(A＋C) ]＝sin(A＋C)， ∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．

a2＋c2－b2a2＋4a2－2a232

(2)解 由题设有b＝ac，c＝2a， ∴b＝2a， 由余弦定理得cos B＝＝＝. 2ac4a24

27.解 设∠CED＝α. (1)在△CDE中，由余弦定理得，EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC.

22

由题设知，7＝CD＋1＋CD，即CD＋CD－6＝0. 解得CD＝2(CD＝－3舍去)．

2π3CD·sin2·32ECCD2121

在△CDE中，由正弦定理得，＝，于是sin α＝＝＝，即sin∠CED＝.

EC77sin ∠EDCsin α7π21272π

(2)由题设知，0＜α＜，于是由(1)知，cos α＝1－sin2α＝1－＝.而∠AEB＝－α，

349732π2π2π131273217－α＝coscos α＋sinsin α＝－cos α＋sin α＝－·＋·＝. 所以cos ∠AEB＝cos33322272714EA222

在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝， 故BE＝＝＝47.

BEBEcos∠AEB714

B组 两年模拟精选(2016～2015年)

a2＋b2－c21cos C1π5π

1.解析 由题意得＝，则cos C＝，所以sin C＝，所以C＝或.答案 A

2ab2sin C2662＋tan Cπ

2.解析 由c2＝(a－b)2＋6，可得a2＋b2－c2＝2ab－6，C＝.由余弦定理得2abcos C＝2ab－6，则ab＝6，

311333

所以△ABC的面积为absin C＝×6×＝，故选C.答案 C

2222

1b2b22

3.解析 由lg b＋lg＝lg ＝－lg 2＝lg ，得＝，即c＝2b.由lg sin A＝－lg 2，得sin A＝， cc2c22由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A得a＝b，故B＝A＝45°，因此C＝90°.答案 D 4.解析 ∵a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，

sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B， ∴(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C可整理为sin2Bsin Acos B＝sin2Acos Asin B， ∵A，B为△ABC内角，∴sin A≠0，sin B≠0，故sin 2A＝sin 2B， 即2A＝2B或2A＝180°－2B，即A＝B或A＋B＝90°.答案 D BCAB5.解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，AB＝502(m). 答案 A

sin 30°sin 45°sin A7sin B

6.解析 由tan A＝7tan B可得＝，即sin Acos B＝7sin Bcos A，

cos Acos B所以sin Acos B＋sin Bcos A＝8sin Bcos A，即sin(A＋B)＝sin C＝8sin Bcos A， b2＋c2－a2

由正、余弦定理可得c＝8b·，即c2＝4b2＋4c2－4a2，

2bca2－b2又＝3，所以c2＝4c，即c＝4.故选A. 答案 A

c

1

7.解析 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×2×1×＝4，即c＝2，

4

25

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b2＋c2－a24＋4－171515

cos A＝＝＝，∴sin A＝. 答案

2bc2×2×28888.解 (1)∵(sin A＋sin B＋sin C)(sin B＋sin C－sin A)＝3sin Bsin C，

∴由正弦定理得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，

b2＋c2－a21π

∴b＋c－a＝bc，∴cos A＝＝.∵A∈(0，π)，∴A＝. 2bc23

2

2

2

π2π

(2)由A＝得B＋C＝，

33

2ππ13

－B＝3sin B－－cos B＋sin B、＝sinB＋. ∴3sin B－cos C＝3sin B－cos36222πππ5π

∵0＜B＜，∴＜B＋＜，

3666

πππ

∴当B＋＝，即B＝时，3sin B－cos C的最大值为1.

623

26