2022年上海市高考数学试卷和答案解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．（4分）已知z＝1+i（其中i为虚数单位），则2＝ ．
2．（4分）双曲线﹣y2＝1的实轴长为 ．
3．（4分）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+1的周期为 ．
4．（4分）已知a∈R，行列式的值与行列式的值相等，则a＝ ．
5．（4分）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为 ．
6．（4分）x﹣y≤0，x+y﹣1≥0，求z＝x+2y的最小值 ．
n的展开式中，7．（5分）二项式（3+x）x2项的系数是常数项的5倍，则n＝ ．
8．（5分）若函数f（x）＝，为奇函数，求参数a的值为 ．
9．（5分）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ．
10．（5分）已知等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，若S5＝0，则Si（i＝0，1，2，⋯，100）中不同的数值有 个．
11．（5分）若平面向量||＝||＝||＝λ，且满足•＝0，•＝2，•＝1，则λ＝ ．
12．（5分）设函数f（x）满足f（x）＝f（），定义域为D＝[0，+∞），值域为A，
若集合{y|y＝f（x），x∈[0，a]}可取得A中所有值，则参数a的取值范围为 ．
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.
13．（5分）若集合A＝[﹣1，2），B＝Z，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1}
14．（5分）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a+b＞22
B．a+b＜2 C．+2b＞2 D．+2b＜
15．（5分）如图正方体ABCD﹣AB1C1D1中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB1、CD的中点，联结A1S，B1D．空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D1可视的为（ ）
A．点P
B．点B
C．点R
D．点Q
16．（5分）设集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}
①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧；
②存在直线l，使得集合Ω中存在无数点在l上；（ ）
A．①成立②成立 B．①成立②不成立
C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立
三、参题（本大题共有5题，满分76分）.
17．（14分）如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP＝AC＝2．
（1）求三棱锥体积VP﹣ABC；
（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小．
18．（14分）f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）．
（1）若将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值．
（2）若a＞﹣3且a≠0，求解不等式f（x）≤f（6﹣x）．
19．（14分）在如图所示的五边形中，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称；
（1）若点P与点C重合，求∠POB的大小；
（2）P在何位置，求五边形面积S的最大值．
20．（16分）设有椭圆方程Γ：+＝1（a＞b＞0），直线l：x+y﹣4
，0）、F2（
，0）．
＝0，Γ下
端点为A，M在l上，左、右焦点分别为F1（﹣
（1）a＝2，AM中点在x轴上，求点M的坐标；
（2）直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点F2，在△ABM中有一内角余弦值为，求b；
（3）在椭圆Γ上存在一点P到l距离为d，使|PF1|+|PF2|+d＝6，随a的变化，求d的最小值．
21．（18分）数列{an}对任意n∈N*且n≥2，均存在正整数i∈[1，n﹣1]，满足an+1
＝2an﹣ai，a1＝1，a2＝3．
（1）求a4可能值；
（2）命题p：若a1，a2，⋯，a8成等差数列，则a9＜30，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由；
（3）若a2m＝3m，（m∈N*）成立，求数列{an}的通项公式．
参与解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．【参】解：z＝1+i，则＝1﹣i，所以2＝2﹣2i．
故答案为：2﹣2i．
【解析】本题考查了共轭复数的概念，是基础题．
2．【参】解：由双曲线﹣y2＝1，可知：a＝3，
所以双曲线的实轴长2a＝6．
故答案为：6．
【解析】本题考查双曲线的性质，是基础题．
3．【参】解：f（x）＝cos2x﹣sin2x+1
＝cos2x﹣sin2x+cos2x+sin2x
＝2cos2x
＝cos2x+1，
T＝＝π．
故答案为：π．
【解析】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属于基础题．
4．【参】解：因为＝2a﹣3，＝a，
所以2a﹣3＝a，解得a＝3．
故答案为：3．
【解析】本题考查了行列式表示的值，属于基础题．
5．【参】解：因为圆柱的底面积为9π，即πR2＝9π，
所以R＝3，
所以S侧＝2πRh＝24π．
故答案为：24π．
【解析】本题考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题．
6．【参】解：如图所示：
由x﹣y≤0，x+y﹣1≥0，可知行域为直线x﹣y＝0的左上方和x+y﹣1＝0的右上方的公共部分，
联立，可得，即图中点A（，），
当目标函数z＝x+2y沿着与正方向向量＝（1，2）的相反向量平移时，离开区间时取最小值，
即目标函数z＝x+2y过点A（，）时，取最小值：+2×＝．
故答案为：．
【解析】本题考查了线性规划知识，难点在于找到目标函数取最小值的位置，属于中档题．
7．【参】解：∵二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，
即×3n﹣2＝5×3n，即 ＝5×9，
∴n＝10，
故答案为：10．
【解析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
8．【参】解：∵函数f（x）＝，为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（﹣1）＝﹣f（1），∴﹣a2﹣1＝﹣（a+1），即 a（a﹣1）＝0，求得a＝0或a＝1．
当a＝0时，f（x）＝，不是奇函数，故a≠0；
当a＝1时，f（x）＝，是奇函数，故满足条件，
综上，a＝1，
故答案为：1．
【解析】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题．
9．【参】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共项目中随机抽取4项进行检测，
则每一类都被抽到的方法共有+ 种，
而所有的抽取方法共有种，
故每一类都被抽到的概率为＝＝，
故答案为：．
【解析】本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属于基础题．
10．【参】解：∵等差数列{an}的公差不为零，Sn为其前n项和，S5＝0，
∴＝0，解得a1＝﹣2d，
∴Sn＝na1+＝﹣2nd+＝（n2﹣5n），
∵d≠0，∴Si（i＝0，1，2⋯，100）中S0＝S5＝0，
S2＝S3＝﹣3d，S1＝S4＝﹣2d，
其余各项均不相等，
∴Si（i＝0，1，2⋯，100）中不同的数值有：101﹣3＝98．
故答案为：98．
【解析】本题考查等差数列的前n项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11．【参】解：由题意，有•＝0，则，设＜＞＝θ，
⇒
则得，tanθ＝，
由同角三角函数的基本关系得：cosθ＝，
则＝||||cosθ＝＝2，
λ2＝，
则．
故答案为：．
【解析】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
12．【参】解：令x＝得，
x＝或x＝（舍去）；
当x≥时，
≤＝，
故对任意x≥，
都存在x0∈[0，]，＝x0，
故f（x）＝f（x0），
而当0≤x＜时，
＞＝，
故A＝{y|y＝f（x），x∈[0，]}，
故当A＝{y|y＝f（x），x∈[0，a]}时，
[0，]⊆[0，a]，
故参数a的最小值为，
故参数a的取值范围为[，+∞），
故答案为：[，+∞）．
【解析】本题考查了抽象函数的性质的应用，同时考查了集合的应用，属于中档题．
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.
13．【参】解：∵A＝[﹣1，2），B＝Z，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}，
故选：B．
【解析】本题考查了集合的交集的运算，是基础题．
14．【参】解：因为a＞b＞0，所以a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号，
又a＞b＞0，所以a+b，故A正确，B错误，
＝2，当且仅当，即a＝4b时取等号，故CD错误，
故选：A．
【解析】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．
15．【参】解：线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，即直线MN与线段A1S、B1D不相交，
因此所求与D1可视的点，即求哪条线段不与线段A1S、B1D相交，
对A选项，如图，连接A1P、PS、D1S，因为P、S分别为AB、CD的中点，
∴易证A1D1∥PS，故A1、D1、P、S四点共面，∴D1P与A1S相交，∴A错误；
对B、C选项，如图，连接D1B、DB，易证D1、B1、B、D四点共面，
故D1B、D1R都与B1D相交，∴B、C错误；
对D选项，连接D1Q，由A选项分析知A1、D1、P、S四点共面记为平面A1D1PS，
∵D1∈平面A1D1PS，Q∉平面A1D1PS，且A1S⊂平面A1D1PS，点D1∉A1S，
∴D1Q与A1S为异面直线，
同理由B，C选项的分析知D1、B1、B、D四点共面记为平面D1B1BD，
∵D1∈平面D1B1BD，Q∉平面D1B1BD，且B1D⊂平面D1B1BD，点D1∉B1D，
∴D1Q与B1D为异面直线，
故D1Q与A1S，B1D都没有公共点，∴D选项正确．
故选：D．
【解析】本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题．
16．【参】解：当k＝0时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}＝{（0，0）}，
当k＞0时，集合Ω＝{（x，y）|（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|，k∈Z}，
表示圆心为（k，k2），半径为r＝2的圆，
圆的圆心在直线y＝x2上，半径r＝f（k）＝2单调递增，
相邻两个圆的圆心距d＝之和为l＝2
+2
，
＝，相邻两个圆的半径
因为d＞l有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，
当k＜0时，同k＞0的情况，故存在直线l，使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在l两侧，故①正确，
若直线l斜率不存在，显然不成立，
设直线l：y＝mx+n，若考虑直线l与圆（x﹣k）2+（y﹣k2）2＝4|k|的焦点个数，
d＝，r＝，
给定m，n，当k足够大时，均有d＞r，
故直线l只与有限个圆相交，②错误．
故选：B．
【解析】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题．
三、参题（本大题共有5题，满分76分）.
17．【参】解：（1）在三棱锥P﹣ABC中，因为PO⊥底面ABC，所以PO⊥AC，
又O为AC边中点，所以△PAC为等腰三角形，
又AP＝AC＝2．所以△PAC是边长为2的为等边三角形，
∴PO＝，三棱锥体积VP﹣ABC＝＝＝1，
（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，），B（，0，0），C（0，1，0），M（，，0），
＝（，，﹣），
平面PAC的法向量＝（，0，0），
设直线PM与平面PAC所成角为θ，
则直线PM与平面PAC所成角的正弦值为sinθ＝||＝＝，
所以PM与面PAC所成角大小为arcsin．
【解析】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．【参】解：（1）因为函数f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x），
将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，得y＝f（x）﹣m＝log3（a+x）+log3（6﹣x）﹣m的图像，
由函数图像经过点（3，0）和（5，0），
所以，
解得a＝﹣2，m＝1．
（2）a＞﹣3且a≠0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）可化为log3（a+x）+log3（6﹣x）≤log3（a+6﹣x）+log3x，
等价于，
解得，
当﹣3＜a＜0时，0＜﹣a＜3，3＜a+6＜6，解不等式得﹣a＜x≤3，
当a＞0时，﹣a＜0，a+6＞6，解不等式得3≤x＜6；
综上知，﹣3＜a＜0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是（﹣a，3]，
a＞0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是[3，6）．
【解析】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题．
19．【参】解：（1）点P与点C重合，由题意可得OB＝10，BC＝6，∠ABC＝120°，
由余弦定理可得OP2＝OB2+BC2﹣2OB•BCcos∠ABC＝36+100﹣2×6×10×（﹣）＝196，
所以OP＝14，在△OBP中，由正弦定理得＝，
所以＝，解得sin∠POB＝，
所以∠POB的大小为arcsin；
（2）如图，设CD与MO相交于点N，由题意知五边形CDQMP关于MN对称，
所以S五边形CDQMP＝2S四边形CPMN＝2（S四边形OCPM﹣S△ONC），
设∠COM＝θ，结合（1）可知cosθ＝，所以sinθ＝，且θ为锐角，
因为OC＝OP＝OM＝14，所以CM2＝OC2+OM2﹣2OC•OM•cosθ＝
，
故，
显然，△CMP的底边CM为定值，则P在劣弧CM中点位置时，CM边上的高最大，
此时OP⊥CM，故S四边形OCPM＝＝＝，
而S△ONC＝＝＝，
故S的最大值为＝，
同理，当P在劣弧DM中点时，S也取得相同的最大值，
故P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置时，五边形CDQMP的面积最大，且为
．
【解析】本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力、运算能力等，属于中档题．
20．【参】解：（1）由题意可得，
，
∵AM的中点在x轴上，
∴M的纵坐标为，
代入得．
（2）由直线方程可知，
①若，则，即，
∴，
∴．
②若，则，
∵，∴，
∴，∴tan∠BAM＝7．
即tan∠OAF2＝7，∴，∴，
综上或．
（3）设P（acosθ，bsinθ），
由点到直线距离公式可得，
很明显椭圆在直线的左下方，则，
即，
∵a2＝b2+2，∴，
据此可得，，
整理可得（a﹣1）（3a﹣5）≤0，即，
从而．
即d的最小值为．
【解析】本题主要考查椭圆方程的求解，点到直线距离公式及其应用，椭圆中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
21．【参】解：（1）a3＝2a2﹣a1＝5，a4＝2a3﹣a2＝7或a4＝2a3﹣a1＝9．
（2）∵a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8为等差数列，∴，
a9＝2a8﹣ai＝30﹣ai＜30．
逆命题q：若a9＜30，则a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8为等差数列是假命题，举例：
a1＝1，a2＝3，a3＝5，a4＝7，a5＝9，a6＝11，a7＝13，a8＝2a7﹣a5＝17，a9＝2a8﹣a7＝21．
（3）因为，
∴，a2m+1＝2a2m﹣aj（j≤2m﹣1），
∴a2m+2＝4a2m﹣2aj﹣ai，
∴，
以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明an+1＞an恒成立：
当n＝1，a2＞a1明显成立，
假设n＝k时命题成立，即ak＞ak﹣1＞ak﹣1⋯＞＞a2＞a1＞0，
则ak+1﹣ak＝2ak﹣ai﹣ak＝ak﹣ai＞0，则ak+1＞ak，命题得证．
回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：
1．若 j＝2 m﹣1，则a2m＝2aj+ai＝2a2m﹣1+ai＞a2m﹣1﹣ai矛盾，
2．若 j＝2 m﹣2，则，∴，∴i＝2m﹣2，
此时，
∴，
3．若 j＜2 m﹣2，则，
∴，∴j＝2m﹣1，
∴a2m+2＝2a2m+1﹣a2m﹣1（由（2）知对任意m成立），
a6＝2a5﹣a3，
事实上：a6＝2a5﹣a2矛盾．
综上可得．
【解析】本题主要考查数列中的递推关系式，数列中的推理问题，数列通项公式的求解等知识，属于难题．
