§2.3 曲面的第二基本形式
2.3.1 第二基本形式
前面我们引进出了曲面的第一基本形式 I , 研究了曲面的一些内蕴性质, 即只依赖于曲 面本身, 而不依赖于曲面在空间中如何弯曲的几何性质. 在理论和实际应用中, 必须考虑曲 面在空间中的弯曲程度, 为此, 我们将引进曲面的另一个二次微分式.
对正则 Ck(k ≥ 2) 曲面 S : r = r(u, v) , 单位法向量 n = ru×rv |ru×rv| 作为参数 u, v 的函数,
其微分表示为 dn = nudu + nvdv . 由于 0 = d(n · n) = 2n · dn , 所以 dn 是切平面中的向 量. 令 II = −dr · dn , 称 II 为曲面 S 的 第二基本形式. 下面我们首先计算第二基本形式的 参数表示. 由于 dr = rudu + rvdv , 所以
II = −dr · dn
= −(rudu + rvdv) · (nudu + nvdv)
= Ldu2 + 2Mdu dv + Ndv2,
其中 L = −ru · nu, M = −(ru · nv + rv · nu)/2, N = −rv · nv, 它们作为参数 u, v 的函 数, 称为曲面 S 的第二基本形式系数.
由于 ru · n = 0, rv · n = 0, 两式分别关于 u, v 求偏导数, 我们有
ruu · n + ru · nu = 0, rvu · n + rv · nu = 0, 因此第二基本形式系数可以表示为
L = ruu · n = −ru · nu = √ (ruu, ru, rv) EG − F 2 ruv · n + ru · nv = 0, rvv · n + rv · nv = 0,
, (ruv, ru, rv) EG − F 2 ,
M = ruv · n = −ru · nv = −rv · nu = √ N = rvv · n = −rv · nv = √ (rvv, ru, rv) EG − F 2 .
另外, 因为 n · dr = 0 , 微分便得 d2r · n = −dr · dn , 于是我们得到曲面的第二基本形式的 以下三种等价的表示
II = Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2
= n · d2r = −dr · dn.
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【例 1】 对平面, 因法向量 n 为常向量, 所以 II = −dn · dr ≡ 0.
对中心径矢为 r0, 半径为 a的球面, 因其单位法矢量 n = a1 (r − r0) 或 n = a1 (r0 − r), 于 是 II = −dn · dr = ± a1 I.
【例 2】 求旋转曲面 r(u, v) = {f(v) cos u, f(v) sin u, g(v)} 的第二基本形式. 【解】 直接计算得到以下各量
ruu = {−f cos u, −f sin u, 0}, ruv = {−f sin u, −f cos u, 0}, rvv = {f cos u, f sin u, g },
n =
因此
1 f
2
{g cos u, g sin u, −f },
+ g 2
−fg f
2
L = ruu · n =
直接计算得到以下各量
ru = {1, 0, fu}, n = ru × rv |ru × rv| = M = ruv · n = 0, N = rvv · n = 【例 3】 求曲面 z = f(x, y) 的第二基本形式.
+ g 2
,
f g − f g f 2 + g 2
.
【解】 我们知道: 曲面 z = f(x, y) 可以写成向量形式
r(u, v) = {u, v, f(u, v)},
rv = {0, 1, fv}, 1 1 + fu2 + fv2 {−fu, −fv, 1},
ruu = {0, 0, fuu}, ruv = {0, 0, fuv}, rvv = {0, 0, fvv},
因此
L = n · ruu =
fuu 1 + fu2 + fv2 fuv 1 + fu2 + fv2 fvv 1 + fu2 + fv2 79
,
,
M = n · ruv =
N = n · rvv =
,
曲面 z = f(x, y) 的第二基本形式是
II =
1 1 + fu2 + fv2
[fuudu2 + 2fuvdudv + fvvdv2].
−−→
对曲面 S : r = r(u, v) 上的给定点 P (u, v) 及其邻近点 Q(u + du, v + dv) , 令 d = P Q · n ,
−−→
即位移向量 P Q 在点 P 处单位法向量 n 方向上的投影. |d| 即从 Q 点到 P 点切平面的垂直距 离, 而 d 的正负号依赖于 Q 点是位于 P 点切平面的一侧或另一侧, 换句话说, d 的正负号反 映曲面 S 在 P 点处的弯曲方向. 利用向量形式的 Tayloy 展开式及事实 n · ru = 0, n · rv = 0,
2.3.2 第二基本形式的几何意义
有
−−→ d = P Q · n = (r(u + du, v + dv) − r(u, v)) · n 1 = [dr + d2r + o(du2 + dv2)] · n 2 1 = dr · n + d2r · n + o(du2 + dv2) 2
1 = II + o(du2 + dv2) 2
−−→
由此可见, II 代表起点在 P 的位移向量 P Q 在法向量上投影的主要部分的二倍, 它描 述了 Q 点在法方向上相对于 P 的改变, 即描述了曲面在 P0 点附近弯曲的状况.
【例 4】
容易验证平面 r(u, v) = {u, v, 0} 与圆柱面 r(u, v) = {cos u, sin u, v} 具
有相同的第一基本形式 du2 + dv2, 但平面的第二基本形式 II ≡ 0 , 而圆柱面的第二基 本形式 II = −du2, 这表明它们在空间中的形状完全不同(事实正是如此).
与第一基本形式 I 不同, 曲面的第二基本形式II 作为 (du, dv) 的二次型, 当 LN − M 2 > 0 时是正定或负定; 当 LN − M 2 < 0 时是不定的; 而当 LN − M 2 = 0 时是退化 的.
下面定理表明, 第二基本形式在一点的值与这点邻近曲面形状的关系. 定理 3.1
曲面上, 使第二基本形式正定或负定的点邻近, 曲面的形状是凸的(或
凹的, 由法向选取决定); 在第二基本形式不定的点邻近, 曲面是马鞍型的.
证明 设 P0(u0, v0) 是曲面 S : r = r(u, v) 上的任一取定点, 我们考察到 P0 点切
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平面的高度函数
f(u, v) = (r(u, v) − r(u0, v0)) · n(u0, v0),
由于
fu = ru · n(u0, v0), fv = rv · n(u0, v0),
所以 fu(u0, v0) = fv(u0, v0) , 即 (u0, v0) 是 f 的临界点. 在这一点, 高度函数 f 的二阶 导数方阵(Hessian矩阵)为
fuu fuv fvu fvv
(u0, v0) =
L M
N
M
(u0, v0).
因此, 当第二基本形式 II 在点 (u0, v0) 正定或负定时, f(u0, v0) = 0 是最大值或最小 值, 这说明曲面 S 的形状是凸或凹的(如图2(1)). 而当第二基本形式 II 在点 (u0, v0) 既 非正定也非负定时, f(u0, v0) = 0 既不是最大值也不是最小值, 因而曲面 S 在这点附
近是马鞍型(如图2(2)).
根据上述定理, 我们对曲面上的点进行如下分类:
(1) 椭圆点 — 使 LN − M 2 > 0 的点. 在椭圆点处, 第二基本形式沿任何方向都 不变号, 而且曲面在椭圆点邻近总位于切平面的一侧(如图2(1)).
(2) 双曲点 — 使 LN − M 2 < 0 的点. 在双曲点的切平面上, 有通过该点的两条 直线将切平面分成四部分, 第二基本形式在这四部分或为正, 或为负, 而沿这两条直 线, 第二基本形式为零. 曲面在双曲点邻近位于切平面的两侧(如图2(2)).
(3) 抛物点 — 使 LN − M 2 = 0 , 且 L2 + M 2 + N 2 = 0 的点. 在抛物点的切平面
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上, 有通过该点的惟一一条直线, 沿这条直线, 第二基本形式为零; 而沿其它任何方向 第二基本形式都不变号(如图2(3)).
(4) 平点 — 使 L = M = N = 0 的点.
【例 5】
对环面 r(θ, φ) = {(b + a sin φ) cos θ, (b + a sin φ) sin θ, a cos φ} , 其中
a < b 是正常数, 参数 0 ≤ θ, φ ≤ 2π . 直接计算知
L = ruu · n = (b + a sin φ) sin φ, M = ruv · n = 0, N = rvv · n = a,
而且
LN − M 2 = a(b + a sin φ) sin φ,
注意到第二基本形式系数只依赖于参数 φ , 即沿参数曲线 φ = φ0 , 第二基本形式系数 为常数. 又因为 0 < a < b, a(b + a sin φ) > 0 , 所以 LN − M 2 与 sin φ 同号. 最后我们 得到环面上点的如下分类(如图3):
(1) 参数 φ 满足 0 < φ < π 的点是椭圆点(对应环面的外侧点); (2) 参数 φ 满足 π < φ < 2π 的点是双曲点(对应环面的内侧点); (3) 参数 φ = 0 及 φ = π 的点是抛物点(对应环面的内外侧交界点).
2.3.3 第二基本形式的性质 定理 3.2
在容许相差一个正负号的意义下, 第二基本形式 II 与曲面 S 上正则参
数 (u, v) 的选取无关.
证明 设 r = r(u, v) 和 r = r(¯u, v¯) 是曲面 S 的两个不同参数表示, 相应的单位法 向量分别为 n 和 ¯n . 利用下面两组等式
du¯ = ∂u¯∂ du ∂u¯ dv, u + ∂v
= v¯ v¯ ∂v dv, dv¯ ∂ u du +
及
ru = ru ∂u¯ + ¯ ¯ rv v ∂¯u , rv = ru ∂v +¯ r v¯¯ ∂ u v , v ¯
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容易验证, dr = dr (或者直接利用一阶微分形式的不变性¯ ¯ ), 同理有 dn = ±dn (正负 号依赖于参数变换 (u, v) → (¯u, v¯) 是同向或反向参数变换). 因此
dr · dn = ±dr · dn, ¯ ¯
即在同向参数变换下, 第二基本形式不变, 而在反向参数变换下, 第二基本形式改变 符号.
定理 3.3 下改变符号.
证明 设 f : f(P ) = P · T + P0 是 R3 的任一刚性或反刚性变换, 曲面 S : r =
曲面的第二基本形式在 R3 的刚性运动下不变; 而在 R3 的反刚性运动
r(u, v) 在 f 下的像为 S∗ : r∗(u, v) = f ◦ r(u, v). 则
r∗u × r∗v = (ru × rv) · T , 当 detT = 1, −(ru × rv) · T , 当 detT = −1,
因此我们有 n∗ = sgn(det T ). 又因为 dr∗ = dr · T , 所以
II∗ = −dr∗ · dn∗ = −sgn(det T ) (dn · T ) · (dr · T ) = sgn(det T )II.
注意到 detT = 1 或 −1 分别表示 f 是刚性运动或反刚性运动, 所以定理得证.
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