均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题20道-带答案
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均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3
学校:___________姓名：___________班级：___________考号:___________
一、填空题 1．若2．若3．已知4．已知正数
，且，且满足
则 则
的最小值是__________． 的最大值为______________.
的最小值为______． 的最小值是_______。
2
2
，则，则
5．若直线2ax—by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x+y+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______． 6．设正实数7．已知
满足,且
，则，则
的最小值为________
的最小值是________ ，则
的最小值是______ 的值域为
，则，则,则，则
,则
的最小值为________．
8．已知正实数x，y满足9．已知10．已知
，
，函数，且
的最小值为__________． 的最小值是______．
的最小值为______． 的最小值为______．
11．若正数x,y满足12．已知正实数x，y满足13．若14．若
，
,，则
的最小值为________。
,则
的最小值为______．
15．已知a，b都是正数，满足16．已知17．已知点18．若函数
19．已知正实数，满足20．已知
，
，则
，则
，
且在圆
，则
的最小值为______．
的最小值为___________．
,则
的最小值为____．
上运动，则
的单调递增区间为
的最大值为______。
的最小值为____．
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参
1． 【解析】 【分析】
根据对数相等得到【详解】
，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.
则，即
由题意知则当且仅当
，则，
，即时取等号
本题正确结果： 【点睛】
本题考查基本不等式求解和的最小值问题,关键是能够利用对数相等得到而构造出符合基本不等式的形式。 2． 【解析】 【分析】
先平方,再消元,最后利用基本不等式求最值. 【详解】 当当所以综上
时,
，
,所以
最大值为1，
,当且仅当
，即
的最大值为
的关系，从
时，因为
最大值为,
时取等号，
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【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题。 3．4. 【解析】 【分析】
直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果． 【详解】 ∵∴∴当且仅当
，,
，
时取等号，
，
故答案为：4。 【点睛】
本题考查的知识要点：代数式的恒等变换,均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 4． 【解析】 【分析】 由题得出答案． 【详解】 正数，满足则
，则
，
，所以,再根据基本不等式即可求
，
当且仅当故答案为：． 【点睛】
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时,即,时取等号，
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本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题． 5．4 【解析】 【分析】 由题意可得得它的最小值． 【详解】 圆
,即
再根据弦长为4，可得故有求得当且仅当故则
，则
时，取等号， ，
， ，表示以
为圆心、半径等于2的圆．
经过圆心，可得
，再
+
利用基本不等式求
经过圆心，
的最小值为4，
故答案为：4 【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题． 6．8 【解析】 【分析】
根据基本不等式求最小值. 【详解】 令则
，
当且仅当【点睛】
时取等号.即的最小值为8。
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在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数)、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等\"(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误。 7．
【解析】 【分析】
根据基本不等式求最小值. 【详解】 因为最小值是【点睛】
在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值）、“等\"(等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 8． 【解析】 【分析】 由已知分离【详解】 正实数x，y满足
，则
，当且仅当时取等号，所以 的
，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．
当且仅当故答案为： 【点睛】
且即,时取得最小值是
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值）、“等”(等号取得的条
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件)的条件才能应用，否则会出现错误.
9． 【解析】 【分析】 由函数
等式可得结果。 【详解】
的值域为
,
的值域为，可得，化为,利用基本不
，
，
，
,
当所以
,即的最小值为,
是等号成立，
故答案为。 【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题。 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑\"等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等\"(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误。 10．【解析】 【分析】 由已知将【详解】
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化为一次式，运用 “1”的变换，再利用基本不等式可得。
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因为=所以故答案为【点睛】
，所以,
（当且仅当
,即,
,
时取等号)，
的最小值为.
本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值，将所求式运用“1\"的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题。 11． 【解析】 【分析】
利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出． 【详解】 正数x，y满足
，则
,
，
当且仅当故
时取等号，
的最小值是12,
故答案为：12 【点睛】
本题考查了基本不等式及其应用属基础题． 12．2 【解析】 【分析】
利用“1”的代换，求求解即可 【详解】
正实数x，y满足
，
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得最值，再对直接利用基本不等式求得最值,再结合题意
，
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，
当且仅当，即,时，取等号，
的最小值为2．
故答案为：2． 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到,是中档题 13．9 【解析】 【分析】 由条件可得【详解】 若则
，
当且仅当故答案为:9． 【点睛】
本题考查基本不等式的运用,注意运用“1\"的代换，考查化简运算能力，属于基础题． 14． 【解析】 【分析】
由基本不等式，可得到
，然后利用
，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
【详解】
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，即有，由基本不等式可得所求最小值．
，,，即
,
取得最小值9，
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由题意，所以所以当【点睛】
利用基本不等式求最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件。 15．3 【解析】 【分析】 由已知可知,【详解】 解：则当且仅当
且
，即
时,
，b都是正数,满足
，
时,
,当且仅当，当且仅当
取得最小值．
时等号成立, 时取等号,
，整理结合基本不等式可求。
,
取得最小值3，
故答案为:3． 【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解答本题的关键是进行1的代换配凑基本不等式的应用条件，属于基础题。 16．15 【解析】 【分析】 对
变形可得原式
，由
,利用
，利用基本不等式求最值即可。
【详解】 解:
，
且
,
，
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故
．
（当且仅当故答案为：15． 【点睛】
本题考查了求代数式的最值问题,利用基本不等式是解决本题的一个常见方法，考查了转化思想的应用，是一道中档题。 17．1 【解析】 【分析】 由题意可知，点
在椭圆
上运动，得
，则
，构造基本
时取“=”）。
不等式，即可求出结果. 【详解】 ∵点则
在椭圆
上运动，即，
,当且仅当
即所求的最小值为。 【点睛】
时，取等号，
本题主要考查了利用椭圆的方程，利用基本不等式求解最小值，解题的关键是利用了
的代换,从而把所求的式子变形为积为定值的形式，根据基本不等式即可求出
结果. 18．4 【解析】 【分析】
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利用二次函数的单调增区间求得式可求最小值． 【详解】
的对称轴为又
值为，填． 【点睛】
,故
，
，再利用，利用基本不等
，当且仅当时等号成立，从而的最小
应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等\"，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构。求最值时要关注取等条件的验证。 19．3; 【解析】 【分析】
将原式子变形得到【详解】
已知正实数,满足条件为:x=2y+2。 故答案为：3。 【点睛】
这个题目考查了均值不等式的应用，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 20．2 【解析】 【分析】
，根据均值不等式得到
等号成立的
再由均值不等式可得到最值.
将分子分母同时除以得到，换元令然后＝t,t＞0，根据基本不等式求解即可得到最
小值．
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【详解】
∵x，y＞0,则＝,
设＝t，t＞0， 则
当且仅当t+1＝故
＝(t+1）+
﹣2≥2
﹣2＝4﹣2＝2,
，即t＝1时取等号，此时x＝y，
的最小值为2，
故答案为：2 【点睛】
本题考查利用换元的方法转为利用基本不等式求最值问题，属于中档题
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