圆的性质

圆的性质

知识梳理

重要的概念：弦 弧 圆心角 圆周角

重要的性质及推论：1（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 （2）垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径平分弦，并且平分弦 所对的两条弧

（3） 弦（不是直径）的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

（4） 平分弦（不是直径）所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 的另一条弧

2（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 （2）推论:在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心 角相等，所对的弦相等

（3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等 ，所对的弧相等

3（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直 径

（3）圆内接四边形的对角互补

考点分析

圆是中考的一个重点难点，常以选择题和填空题以及最后答题的形式出现，其中考点主要有圆的性质，圆的位置关系，圆的计算，这三个考点，如果是答题的话会与其他的知识结合的比较多，比较综合。 重点：圆的性质

B E 难点：圆的性质的运用

考点一 ： 有关概念

例 1 如图，圆中弦的条数为（ ） A O D

A．2条 B．3条 C．4条 C

例 2 下列说法中：①直径相等的两个圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；

③圆中最长的弦是通过圆心的弦；④一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧。正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式练习 1 判断题

（1）直径是弦（ ） （2）弦是直径（ ） （3）半圆是弧（ ） （4）弧是半圆（ ）

（5）长度相等的两段弧是等弧（ ） （6）等弧的长度相等（ ）

2已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ACBD一定是（ ）

（A）等腰梯形 （B）菱形 （C）矩形 （D）正方形 小结：

考点二：垂径定理

例3 下面四个命题中正确的一个是（）

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心

例4 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.

B

D

C A O

例5 如图，在⊙O中，OA是半径，弦AB＝103cm，D是弧AB的中点，OD交AB于点C，若∠OAB＝300，则⊙O的半径____cm。

变式练习

1 （2011山东泰安，10 ，3分）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=6，则⊙O的半径为（）

A.2 B.22 C.

26 D. 22

2 已知圆的半径为5cm，一弦长为8cm，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为_____

3 .在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.

小结：

考点三：圆心角定理

例6 下列语句中，正确的有（ ） （1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；

（3）长度相等的两条弧是等弧； （4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴． （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

例7 已知弦AB把圆周分成1:5的两部分，这弦AB所对应的圆心角的度数为

例8 如图，若AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°， 则∠BCD=（ ）

(A)116° (B)32° (C)58°（D)°

DAOCB

变式练习

1 在⊙O中，圆心角AOB90，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（ ）

A．42

B．82

C．24

D．16

2已知：⊙O的半径为4cm，弦AB所对的劣弧为圆的3如图，已知⊙O的直径AC为20cm，

小结：

考点四：圆心角和圆周角的关系

1，则弦AB的长为 cm，AB的弦心距为 cm． 3的度数为60，求弦AB的弦心距的长。

例9 （2011广东湛江16,4分）如图，A,B,C是O上的三点，BAC30，则BOC度．



例10 （2011四川重庆，6，4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°则∠A的度数等于( )

A． 60° B． 50° C． 40° D． 30° 例11（2011四川乐山6，3分）如图（3），CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC=40°，则∠ABD=

AOCB

A．40° B．60° C．70° D．80°

D第9题图

变式练习

1如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 700 ，那么∠A的度数为（ ）

A .70 B . 35 C . 30 D . 20

2 如图,已知AB为⊙O的直径，∠CAB＝30°,则∠D＝.

y C D A O B x （第18题）

3如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的

一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = _____________．

小结：

考点五: 圆的内接四边形对角互补

例 12 如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD ＝105°， 则∠DCE的大小是

D EADA B A． 115°

BCC E

C． 100°

D．95°

B．105°

例13 如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD与三角形ABC的外接圆相交于D．求证：DB=DC． 变式练习

1如图，ABCD是⊙O的内接四边形，AHCD，如果HAD30，那么B（ ） A．90° B．120° C．135° D．150°

2如图，四边形ABCD内接于⊙O，BOD110，那么BCD的度数为（）

A D C B 第16题图

A．125 B．110 C．55 D．70

3 已知如图,在圆内接四边形ABCD中,∠B=30º,则∠D=____________. 小结： 作业

1．下列命题中错误的有（）

（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦 （3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2过⊙O内一点M的最长的弦长为4cm，最短的弦长为2cm， 则OM的长为（ ）

A．3cm B．2cm C．1 D．3cm

3已知：如图，⊙O中直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若AB10,CD6，则BE的长是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 4如图，在⊙O中，AB∥CD，则∠COD的度数为

5如图，⊙O内两条相等的弦AB与CD相交于P，求证：PBPD

的度数为45°，

A C O B D （6题图）

6如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB,CB，已知⊙O的半径为2，AB=23,则∠BCD=________度．

COAEDB（第8题）