等高模型经典例题

1. 设等腰直角三角形ABC，其中AB=BC=5cm，AC为斜边。已知AC=√50 cm^2。求∠ABC的度数。

解法：由勾股定理得AC^2 = AB^2 + BC^2，即 (√50)^2 = 5^2 + 5^2，解得50 = 25 + 25，即方程成立。

由于ABC是等腰直角三角形，所以∠ABC = ∠BCA。设∠ABC = x，则∠BCA = x。又∠ABC + ∠ACB + ∠BCA = 180°，代入x的值，得 x + 90° + x = 180°，化简得 2x + 90° = 180°，即 2x = 90°，解得x = 45°。

2. 设等腰梯形ABCD，AB∥DC，AB=CD=10cm，AD=BC=6cm。连接AC。求∠ACD的度数。

解法：由题目可知，∠ABD = ∠BCA = ∠CDA，∠ABC = ∠BDC。由等腰梯形特性可知，∠BAC = ∠CDA，所以∠BAC = ∠ABD。设∠BAC = x，则∠ABD = x。

由∠ABC + ∠BCA + ∠ACB = 180°得 x + x + ∠ACB = 180°，化简得 2x + ∠ACB = 180°，再由∠ACB + ∠ACD = 180°得 ∠ACB + ∠ACD = 180°。

将2x + ∠ACB = 180°代入∠ACB + ∠ACD = 180°中，得 2x + (2x + ∠ACB) = 180°，化简得 4x + ∠ACB = 180°，即 4x =180° - ∠ACB。

由于梯形的对角线互相垂直，所以 ∠CAB = ∠ACD。设∠CAB = y，由∠CAB + ∠ACD = 180°得 y + ∠ACD = 180°，化简得 ∠ACD = 180° - y。

将4x =180° - ∠ACB代入∠ACD = 180° - y中，得 180° - y = 180° - (∠ACB/4)，化简得 y = ∠ACB/4。

由于AB∥DC，所以∠CAB = ∠CDA = y。又∠CDA = ∠ABD = x，所以 x = y。所以，∠ACD = 180° - y = 180° - x。

综上，∠ACD的度数为 180° - x。